對一道電荷量求解問題的探討

高 飛

（安徽省界首第一中學(xué)，安徽 界首 236500）

2021屆“江南十?！币荒Ｂ?lián)考理綜卷第20題選擇題原題如下.

例題.如圖1，矩形導(dǎo)線線框水平固定放置，框中有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場，導(dǎo)線的電阻分布均勻，ab=L，bc=2L，長度L的導(dǎo)線電阻為R.與線框材料相同，橫截面積也相同的導(dǎo)體棒MN兩端搭接在ad和bc上，MN在水平外力F的作用下，從緊挨ab處（與ab不接觸）勻速運(yùn)動到cd附近.MN與線框始終保持良好接觸，在運(yùn)動過程中：

圖1

（A）導(dǎo)體棒MN中電流的方向由N到M.

（B）導(dǎo)體棒MN兩端的電壓變化量與流經(jīng)它的電流變化量的絕對值之比先增大，后減小.

（C）導(dǎo)體棒MN運(yùn)動到線框中點過程中，線框abcd中電流功率先增大，后減小.

（D）導(dǎo)體棒MN運(yùn)動到線框中點過程中，通過MN的電荷量為

本題前3個選項不做求解，重點分析第4個選項的求解過程.

錯解1：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了法拉第電磁感應(yīng)定律，教師也重點強(qiáng)調(diào)過相關(guān)計算導(dǎo)體棒運(yùn)動過程中電荷量的計算公式，

由（1）-（3）式得

由（4）、（5）式得

此解錯誤的原因主要是在計算過程中只考慮在導(dǎo)體棒向右運(yùn)動到中點過程中，左側(cè)面積的變化，忽略了右側(cè)面積的變化，沒有理解該公式應(yīng)用的實質(zhì)條件.

錯解2：對于基礎(chǔ)知識稍微強(qiáng)的學(xué)生，可能會考慮到面積左右兩側(cè)變化，不能直接運(yùn)用（4）式公示進(jìn)行求解，對導(dǎo)體棒應(yīng)用動量定理來求解.

由（7）、（8）式得

由（9）式得

由于導(dǎo)體棒從左向右勻速運(yùn)動，所以時間

由（10）、（11）式得

通過計算得出這個結(jié)果，雖能排除第4個選項不正確，但是，這個結(jié)果也是不正確的.其一是在計算過程中，學(xué)生忽略了拉力F不是恒力，而是變力；其二，勻速運(yùn)動過程中速度v并未給出.

本題正確解法：可以通過電荷量的定義式來處理，但是由于在運(yùn)動過程中，整個回路中電流發(fā)生改變，用微積分思想來處理.

圖2

如圖2所示，假設(shè)單位長度電阻r，導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動的速度為v，當(dāng)勻速運(yùn)動時間t時，導(dǎo)體棒左側(cè)回路電阻

右側(cè)回路電阻

則回路中總電阻

導(dǎo)體棒切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生電動勢為

流過導(dǎo)體棒總電流

則流經(jīng)導(dǎo)體棒的電荷量微分表達(dá)式

由（13）-（18）式得

有積分公式

將x=vt-L代入（20）式并聯(lián)立（19）、（20）式得

（21）式應(yīng)該是本題第4問所要求的解，考慮到單位長度電阻R=Lr，則（21）式可寫為

為了更能形象地反映出在導(dǎo)體棒運(yùn)動過程中流過導(dǎo)體棒的總電荷量隨時間的變化關(guān)系，這里通過matlab編程計算，并對（21）式中B、L、r賦值，賦B=0.1T，r=0.017Ω/m，L=2m.通過excel作圖畫出了qt的變化關(guān)系圖，如圖3所示.

圖3

通過圖像擬合，近似是一條一元二次函數(shù).隨著時間的增加，流過導(dǎo)體棒的總電量也在逐漸增加，但增加的越來越慢.

對于一道物理常規(guī)考題，可以通過學(xué)生不同解法，反映出學(xué)生對該知識點的理解和認(rèn)識程度.同時可以通過圖像，向?qū)W生展示美麗的物理圖像，進(jìn)而讓學(xué)生領(lǐng)悟到最終簡潔與和諧之美，即理性之美.［1］在以后競賽輔導(dǎo)中也可以從一般考題逐漸提升到競賽，使學(xué)生做到對某一知識點掌握系統(tǒng)且深入，真正達(dá)到學(xué)以致用.