具有性和吸毒交互傳播的時滯HIV/AIDS傳播模型

王來全，夏米西努爾·阿布都熱合曼

HIV/AIDS是一種慢性而致命的傳染性疾病，主要的傳播途徑是通過性接觸傳播，血液傳播及母嬰直接傳播，性傳播是最主要的傳播途徑，高危易感人群為不潔性交者，注射吸毒者等人群.為了揭示HIV/AIDS的傳播規(guī)律，預(yù)測流行趨勢，作為傳染病和數(shù)學(xué)理論交叉的傳染病數(shù)學(xué)模型快速發(fā)展起來，許多學(xué)者對建立傳染病模型及模型平衡點的穩(wěn)定性作了研究，并得出很好的結(jié)論.DOYLE等研究了人群性行為對HIV/AIDS傳播的影響［1-4］；MUKANDAVIRE等討論了對易感者實施單一的教育活動對預(yù)防HIV/AIDS傳播的影響［5］，預(yù) 測 了HIV/AIDS的 流 行 趨 勢；DEL VALLE等研究了對一些同性戀患者易感人群實施疫苗治療［6］，對預(yù)防HIV/AIDS的蔓延具有良好效果；ZINDOGA等發(fā)現(xiàn)易感人群的吸毒和性行為都可以加速HIV/AIDS的傳播［7］.但是很少有人研究具有性和吸毒交互傳播的時滯HIV/AIDS傳染病模型.本文討論了吸毒易感人群和不潔性交易感人群在不同感染率下，建立了一類性和吸毒交互傳播的時滯HIV/AIDS模型，分析了無病平衡的穩(wěn)定性，進(jìn)一步驗證適時控制吸毒易感人群和不潔性交易感人群可以有效地預(yù)防HIV/AIDS的傳播.

1 模型的建立

本文把人群分為注射吸毒人群N1(t)及不潔性交人群N2(t)，假設(shè)人群Ni(t)=Si(t)+Ii(t)+Ai(t)（i=1，2），其中Si(t)表示易感者，Ii(t)表示接觸感染者，Ai(t)表示HIV/AIDS確診患者（i=1，2），Mi（i=1，2）為易感人群的輸入?yún)?shù)，使得S1(t)向S2(t)的 轉(zhuǎn) 化 量 為θ1S1(t)，S2(t)向S1(t)的轉(zhuǎn)化量為θ2S2(t)，且0<θ1<1，0<θ2<1，假設(shè)μ為各類人群的死亡率，m為溢出率（對吸毒易感人群和不潔性交易感人群實施干預(yù)措施），τ為潛伏期，且k=e-(μ+m)，c表示性伴個數(shù)，又假設(shè)易感人群的感染率為標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率，即S1(t)和S2(t)的感染率分別為和，且β1≠β2.根 據(jù)生物學(xué)意義，以上參數(shù)均為正數(shù).建立如下數(shù)學(xué)模型：

系 統(tǒng)（1）的 初 值 條 件 為S1(θ)=?11，I1(θ)=?12，A1(θ)=?13，S2(θ)=?21，I2(θ)=?22，A2(θ)=?23，θ∈[-τ,0]，其中?=(?11,?12,?13,?21,?22,?23)T∈C，?≥0.C([-τ,0]，R6)表示把連續(xù)函數(shù)從[-τ,0]映射到R6={(S1,I1,A1,S2,I2,A2)∈R6|Si≥0，Ii≥0，Ai≥0，i=1，}2的Banach空間.

2 解的正性及解集

定理1對任意t≥0，在初值條件下，系統(tǒng)（1）的所有解為正解，且所有解進(jìn)入集合Ω.

注：證明過程與文獻(xiàn)［8］定理1類似.

3 平衡點和基本再生數(shù)

易得系統(tǒng)（1）的無病平衡點E0(S10,0,0,S20,0,0).其中：

定義系統(tǒng)（1）的基本再生數(shù)

當(dāng)R01>1和R02<1時，系統(tǒng)（1）存在一個邊界平衡點E1(S11,I11,A11,S21,0,0).如果R01<1和R02>1時，系統(tǒng)（1）存在一個邊界平衡點

其中：

4 無病平衡點的穩(wěn)定性

定理2如果R0<1，那么系統(tǒng)（1）的無病平衡點E0在Ω局部漸進(jìn)穩(wěn)定，當(dāng)R0>1時，無病平衡點E0在Ω不穩(wěn)定.

證明 系統(tǒng)（1）在E0處的線性近似方程為：

其中：

故相應(yīng)的特征方程為|λE-B1-B2e-λz|=0，該特征方程的特征根 為：λ=-(μ+m)，-(μ+m)，-(μ+m+θ1)，-(μ+m+θ2).

特征方程的另一個特征根為方程（2）的解：

如果τ>0及Reλ≥0，則

由此可知，如果R0<1，則對所有的Reλ≥0，方程（2）沒有正實部的特征根，E0穩(wěn)定，顯然，如果R0>1，則方程（2）至少存在一個正實部的特征根，從而E0不穩(wěn)定.

下面討論系統(tǒng)（1）無病平衡點的全局穩(wěn)定性.在本部分為了將系統(tǒng)（1）的第二式和第五式統(tǒng)一起來，作如下的假設(shè)：如果i=1，則c1=1，如果i=2，則c2=c.

定理3如果R0<1，那么系統(tǒng)（1）的無病平衡點E0在Ω全局漸進(jìn)穩(wěn)定.

證明 由系統(tǒng)（1）第二式和第五式，得到積分方程：

其中：Ni(u)=Si(u)+Ii(u)+Ai(u).

設(shè)x=t-u，在Ii(t)兩邊同時取limsup，根據(jù)limsup∫f≤∫limsupf，得出

由R0<1得，要使得limsupIi(t)≤limsupIi(t)成立，當(dāng)且僅當(dāng)limsupIi(t)=0，從而證得無病平衡點E0在Ω全局漸進(jìn)穩(wěn)定.

5 結(jié)語

本文考慮了一類時滯的性和吸毒交互的HIV/AIDS傳播模型，當(dāng)R0<1時，無病平衡點全局漸近穩(wěn)定.在傳染病學(xué)中基本再生數(shù)R0是用來區(qū)分疾病流行與否的閾值，從系統(tǒng)（1）的基本再生數(shù)R0的相關(guān)參數(shù)關(guān)系可以得到，有效控制吸毒易感人群和不潔性交易感人群可以預(yù)防HIV/AIDS蔓延.