解答非慣性參考系內(nèi)動力學(xué)問題的三種思路

[摘 要]解答非慣性參考系內(nèi)的動力學(xué)問題，既可以重選慣性參考系，又可以根據(jù)等效原理把非慣性參考系轉(zhuǎn)換為慣性參考系，還可以對物體添加平衡力使物體的不平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)換為其他的不平衡狀態(tài)，甚至平衡狀態(tài)，再分別進(jìn)行解答。

[關(guān)鍵詞]非慣性參考系;參考系轉(zhuǎn)換法;運(yùn)動狀態(tài)轉(zhuǎn)換法

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）32-0054-03

當(dāng)我們站在電梯中隨電梯勻速上升或者勻速下降時(shí)，感覺和人靜止站立在地面上時(shí)一樣，此時(shí)支持力等于重力，合外力等于零，人相對電梯的加速度也等于零，符合“合外力等于物體質(zhì)量與物體加速度相乘”的牛頓第二定律，電梯是慣性參考系。當(dāng)我們站在電梯中隨電梯開始上升或者開始下降時(shí)，隨電梯即將停止上升或者即將停止下降時(shí)，感覺和人靜止站立在地面上時(shí)不一樣，此時(shí)人“超重”或“失重”，支持力大于或小于重力，合外力不等于零，而人相對于電梯的加速度卻等于零，不符合“合外力等于物體質(zhì)量與物體加速度相乘”的牛頓第二定律，電梯是非慣性參考系。參考系是慣性參考系還是非慣性參考系，是用牛頓第二定律解答動力學(xué)問題之前需要弄清楚的問題，否則就可能會判斷錯(cuò)誤。下面結(jié)合例題進(jìn)行分析探討。

題目：（2015年高考物理海南卷第9題）如圖1所示，升降機(jī)內(nèi)有一固定斜面，斜面上放一物塊，開始時(shí)升降機(jī)做勻速運(yùn)動，物塊相對斜面勻速下滑。當(dāng)升降機(jī)加速上升時(shí)（）。

A.物塊與斜面間的摩擦力減小

B.物塊與斜面間的正壓力增大

C.物塊相對于斜面減速下滑

D.物塊相對于斜面勻速下滑

分析：該題中升降機(jī)開始時(shí)做勻速向上的運(yùn)動，升降機(jī)和斜面對在斜面上運(yùn)動的物塊來說是慣性參考系，物塊的運(yùn)動符合“合外力等于物體質(zhì)量與物體加速度相乘”的牛頓第二定律。此時(shí)在斜面上勻速下滑的物塊受重力、支持力、滑動摩擦力三個(gè)力作用而平衡，支持力與重力沿垂直于斜面斜向下方向的分力抵消，滑動摩擦力與重力沿平行于斜面斜向下方向的分力抵消。升降機(jī)加速上升時(shí)，升降機(jī)內(nèi)物體“超重”，原先在斜面上勻速下滑的物塊受到的支持力、滑動摩擦力都變大了，而重力大小沒有變，滑動摩擦力大于原先與其平衡的重力沿平行于斜面斜向下方向的分力，所以有人就推測出物塊沿斜面減速下滑的結(jié)論，誤選了選項(xiàng)C;這是沒有考慮到斜面隨升降機(jī)加速上升時(shí)斜面相對在斜面上運(yùn)動的物塊來說是非慣性參考系，物塊的運(yùn)動不符合“合外力等于物體質(zhì)量與物體加速度相乘”的牛頓第二定律而導(dǎo)致的。

解答思路一，重選參考系

（1）升降機(jī)做勻速運(yùn)動時(shí)，物塊相對斜面勻速下滑，此時(shí)物塊受重力、支持力、滑動摩擦力三個(gè)力的作用，如圖2所示，合外力為零。將重力沿平行于斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，三力平衡的受力情形就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二力平衡的受力情形。設(shè)斜面的傾角為[θ]，物塊質(zhì)量為[m]，重力加速度為[g]，用[N1]和[f1]分別表示支持力和滑動摩擦力，用[μ]表示動摩擦因數(shù)，則[mgcos θ=N1]，[mgsin θ=f1=μN(yùn)1]，運(yùn)算后可得[μ=sin θcos θ]。

（2）升降機(jī)加速上升時(shí)，由于升降機(jī)和斜面相對于在斜面上運(yùn)動的物塊來說是非慣性參考系，要用牛頓第二定律正確解答該題，需要重選慣性參考系。實(shí)踐表明，對于一般工程技術(shù)中的動力學(xué)問題，在研究地面附近物體小范圍內(nèi)的運(yùn)動時(shí)，地球是一個(gè)良好的慣性參考系，所以要正確解答該題可以選地面為參考系。在升降機(jī)和斜面以加速度[a]向上加速運(yùn)動時(shí)，以物塊為研究對象，將物塊重力和斜面的加速度[a]沿平行于斜面和垂直于斜面兩個(gè)方向正交分解，如圖3所示。用[N2]和[f2]分別表示此時(shí)的支持力和滑動摩擦力，動摩擦因數(shù)不變?nèi)杂肹μ]表示。在地面慣性參考系中，在垂直于斜面斜向左上方的方向上，物塊和斜面緊貼，都以[acos θ] 的加速度斜向左上方直線加速運(yùn)動。由牛頓第二定律可得

物塊對斜面的壓力與支持力是一對作用力和反作用力，二者始終等大反向且同時(shí)變化，支持力增大時(shí)壓力同樣增大，物塊與斜面間的滑動摩擦力就隨壓力的增大而成正比例增大，即[f2=μmgcos θ+macos θ]。在地面慣性參考系中，在平行于斜面的方向上，斜面相對地面以[asin θ]的加速度沿平行于斜面斜向右上方做直線加速運(yùn)動，物塊可能又沿斜面減速下滑。設(shè)物塊相對于斜面的加速度為[a′]，物塊相對于地面慣性參考系、平行于斜面斜向上的加速度為[a′+asin θ]，由牛頓第二定律列出方程[f2-mgsin θ=ma′+asin θ] ，代入[f2=μmgcos θ+macos θ]和[μ=sin θcos θ]，可得相對加速度[a′=0]，所以物塊相對于斜面的下滑是勻速下滑。由牛頓第二定律有[（f2-mgsin θ）÷m=asin θ]，可求出加速度為[asin θ]，要注意這不是物塊相對于斜面這個(gè)非慣性參考系的加速度！這是物塊相對于地面這個(gè)慣性參考系的加速度！這個(gè)加速度與斜面相對于地面沿平行于斜面斜向右上方的加速度[asin θ]等大同向，由此也可判斷出物塊相對于斜面的下滑是勻速下滑。

解答思路二，轉(zhuǎn)換參考系

上述解答說明：解答動力學(xué)問題時(shí)，分析清楚參考系是否為慣性參考系是非常重要的。但重選慣性參考系是容易被忽視的解題步驟，有沒有一種不需要重新選擇慣性參考系的解題思路呢？

愛因斯坦思考了電梯向上加速運(yùn)動造成的電梯內(nèi)物體超重的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)電梯向上加速運(yùn)動時(shí)，電梯這個(gè)加速參考系就相當(dāng)于給物體加了一個(gè)均勻向下的引力。他通過理想實(shí)驗(yàn)推斷，“在一個(gè)加速參考系中做物理實(shí)驗(yàn)觀察到的結(jié)果跟在引力場中的實(shí)驗(yàn)是沒有區(qū)別的”，由此得到了廣義相對論的“等效原理” （ 一個(gè)均勻的引力場與一個(gè)做勻加速運(yùn)動的參考系等價(jià) ）。

按照“等效原理”， 給“向上加速運(yùn)動的升降機(jī)和斜面非慣性參考系”內(nèi)的物塊添加一個(gè)與加速度反向、與合外力大小相等的力后，“向上加速運(yùn)動的升降機(jī)和斜面非慣性參考系” 內(nèi)的物塊就可看作“向上勻速運(yùn)動的升降機(jī)和斜面慣性參考系” 內(nèi)的物塊。這個(gè)被添加的力，通常叫作“慣性力”， 這種解題方法可以稱之為“參考系轉(zhuǎn)換法”。

解答思路三，轉(zhuǎn)換運(yùn)動狀態(tài)

對大多數(shù)學(xué)生來說，“慣性參考系”“非慣性參考系”“等效原理”“慣性力”都是生僻的難以理解的物理概念，“參考系轉(zhuǎn)換法”也是個(gè)難以接受的思路。有沒有立足于基本概念且通俗易懂的解題思路呢？

天空中的云是由許多小水滴和小冰晶組成的，可以懸浮在空中，此時(shí)重力被其他力抵消，小水滴和小冰晶處于平衡狀態(tài)。當(dāng)小水滴和小冰晶越來越大時(shí)，重力變大，小水滴受力不平衡就開始加速下落，但下落中又受到了空氣阻力的作用。隨著運(yùn)動速度的增加空氣阻力逐漸增大、加速度逐漸減小，當(dāng)空氣阻力增大到和重力大小相等時(shí)，加速度減到最小、速度增加到最大，小水滴和小冰晶就重新獲得了平衡，以一定的速度勻速下落，直至落地。

這一自然現(xiàn)象說明，物體處于平衡狀態(tài)是由于物體受力平衡，物體處于不平衡狀態(tài)是由于物體受力不平衡， 處于不平衡狀態(tài)的物體受到了新的作用力后運(yùn)動狀態(tài)會發(fā)生變化，有可能會重新獲得平衡。同理，如果適當(dāng)?shù)亟o受力不平衡的物體添加一些大小和方向確定的作用力，物體的運(yùn)動狀態(tài)就可以發(fā)生轉(zhuǎn)換，甚至轉(zhuǎn)換到物體的平衡狀態(tài)。這個(gè)添加的力可以稱之為“平衡力”，這種解題思路可以稱之為“運(yùn)動狀態(tài)轉(zhuǎn)換法”。

升降機(jī)豎直向上加速運(yùn)動時(shí)，物塊在隨斜面上以加速度[a]豎直向上加速運(yùn)動的同時(shí)，可能又沿著斜面以大小為[a′]的加速度相對于斜面減速下滑。此時(shí)給物塊添加平行于斜面沿斜面斜向下的恒力[ma′]，物塊相對于斜面減速下滑的運(yùn)動狀態(tài)就轉(zhuǎn)換為相對于斜面勻速下滑或相對于斜面靜止的運(yùn)動狀態(tài)，物塊與斜面不同的運(yùn)動狀態(tài)就轉(zhuǎn)換為物塊隨斜面和升降機(jī)一起以加速度[a]相對地面豎直向上加速運(yùn)動的同一運(yùn)動狀態(tài)，如圖5所示。此解法與解答思路一類似，以物塊為研究對象，將物塊重力和斜面的加速度[a]沿平行于斜面和垂直于斜面兩個(gè)方向正交分解，在垂直于斜面方向上和平行于斜面方向上分別由牛頓第二定律列出方程，[N-mgcos θ=macos θ]，[f-mgsin θ-ma′=masin θ]，再由[f=μN(yùn)]，代入[N=mg+macos θ]和[μ=sin θcos θ]運(yùn)算后可得物塊相對斜面的加速度[a′=0]，即物塊相對斜面的下滑是勻速下滑。

若在給物塊添加平行于斜面向下的恒力[ma′]后，再給物塊添加豎直向下的恒力[ma]，在其他受力都不變的前提下，物塊以加速度[a]相對于地面豎直向上加速運(yùn)動的不平衡狀態(tài)就轉(zhuǎn)換為相對于地面豎直向上勻速運(yùn)動的平衡狀態(tài)，如圖6所示。此時(shí)物塊受到的豎直向下的力為[mg]和[ma]，將二力都沿平行于斜面向下方向和垂直于斜面向下方向正交分解，在垂直于斜面方向上物塊受三力平衡，[N=mgcos θ+macos θ]，在平行于斜面的方向上物塊受四力平衡， [f=mgsin θ+masin θ+ma′]，再聯(lián)立[f=μN(yùn)]和[μ=sin θcos θ]運(yùn)算后可得物塊相對斜面的加速度[a′=0]? ，即物塊相對斜面的下滑是勻速下滑。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，1980.

[2]? 宋興會.用“回歸平衡法”巧解非平衡問題[J].中學(xué)物理，2015，33（7）：88-89.

（責(zé)任編輯 易志毅）