GeoGebra軟件在直線運(yùn)動(dòng)教學(xué)中的應(yīng)用

韋清漓

[摘 要]文章以直線運(yùn)動(dòng)中微元法為例，探討利用GeoGebra軟件動(dòng)態(tài)展現(xiàn)微元法在速度概念以及勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移公式教學(xué)中的應(yīng)用。利用GeoGebra軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)展現(xiàn)，可將教學(xué)過程中的數(shù)學(xué)思想可視化，可使教學(xué)過程中的抽象問題形象化，從而降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)效。

[關(guān)鍵詞]GeoGebra軟件;物理教學(xué);直線運(yùn)動(dòng)

[中圖分類號(hào)]? ? G633.7? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）32-0043-02

一、GeoGebra軟件與物理教學(xué)

直線運(yùn)動(dòng)這一板塊的學(xué)習(xí)，會(huì)碰到[x-t]圖像、[v-t]圖像、平均速度與瞬時(shí)速度的概念、加速度的概念以及勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移，這些知識(shí)內(nèi)容都涉及一定的數(shù)學(xué)思想，需要進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，其中需要運(yùn)用極限法和微元法，這也是初入高中的學(xué)生碰到的一個(gè)攔路虎，又是學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)思想方法和必須達(dá)到的物理思維水平。

GeoGebra是一款非常優(yōu)秀的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，在數(shù)形結(jié)合上表現(xiàn)十分優(yōu)異，適宜用在中小學(xué)及大學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)生的自主學(xué)習(xí)中。在物理課堂教學(xué)中，利用GeoGebra也可以將抽象問題形象化，使數(shù)學(xué)思想可視化，讓數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程動(dòng)態(tài)化。

二、GeoGebra軟件在瞬時(shí)速度定義中的應(yīng)用

人教版高中物理必修1是這樣引出瞬時(shí)速度定義的：為了使描述精確些，可以把[Δt]取得小些，物體在從[t]到[t+Δt]這樣一個(gè)比較小的時(shí)間間隔內(nèi)，運(yùn)動(dòng)快慢的差異也就小一些。[Δt]越小，運(yùn)動(dòng)的描述就越精確。當(dāng)[Δt]非常非常小時(shí)，我們把[ΔxΔt]稱作物體在時(shí)刻[t]的瞬時(shí)速度。

物理教材對(duì)瞬時(shí)速度的定義是：可以理解為當(dāng)[Δt]趨近于零時(shí)，從[t]到[t+Δt]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度趨近于t時(shí)刻的瞬時(shí)速度。這里采用了微分的思想，對(duì)初入高中的學(xué)生而言，他們既沒有掌握極限這一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，又無(wú)法想象具體情境，很難理解。

運(yùn)用GeoGebra軟件可以有效解決這個(gè)問題，具體可以先畫出物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的[x-t]圖像。在軟件做出的圖像上可以分別取[tA]、[tB]兩個(gè)時(shí)刻。[tA]到[tB]這段時(shí)間里，A到B的位移與對(duì)應(yīng)時(shí)間的比值，即圖像中的AB連線（割線）的斜率即為物體的平均速度。

運(yùn)用GeoGebra軟件作圖時(shí)，可以通過拖動(dòng)描點(diǎn)B，如圖1，使[tA]到[tB]的時(shí)間間隔[Δt]減小，這樣學(xué)生就可以動(dòng)態(tài)觀察對(duì)應(yīng)時(shí)間內(nèi)位移、平均速度的變化了。

當(dāng)A、B兩點(diǎn)幾近重合，即[Δt]趨近于零時(shí)，割線已無(wú)限接近A點(diǎn)的切線（如圖2），對(duì)比割線斜率與切線斜率，可以讓學(xué)生在直觀理解課本所述概念的同時(shí)，也能動(dòng)態(tài)地理解極限是怎樣的一種狀態(tài)，并在此基礎(chǔ)上總結(jié)出[x-t]圖像上的點(diǎn)的切線表示瞬時(shí)速度。

實(shí)際上，在教學(xué)加速度新課時(shí)，也可以用GeoGebra軟件開展教學(xué)，這樣方便教師引導(dǎo)學(xué)生理解瞬時(shí)加速度和平均加速度的概念，幫助學(xué)生初步了解微元法解決物理問題的方法。

在這個(gè)基礎(chǔ)上，教師還可以通過GeoGebra軟件畫出變速運(yùn)動(dòng)的[x-t]圖像，并作出圖像上的點(diǎn)的切線，如圖3所示。改變C點(diǎn)的位置，由軟件表示出C點(diǎn)的切線及對(duì)應(yīng)的斜率，方便學(xué)生更深刻地理解在變速直線運(yùn)動(dòng)中[x-t]圖像的切線斜率表示速度，并且，當(dāng)斜率為正時(shí)可以表示速度的方向?yàn)檎颍甭蕿樨?fù)時(shí)，則速度的方向?yàn)樨?fù)向。這樣的過程也同樣可以將其改變?yōu)閇v-t]圖像，方便學(xué)生直觀理解加速度。

三、GeoGebra軟件在推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移公式中的應(yīng)用

高中物理必修1推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移公式時(shí)，同樣采用了微元思想。教材從勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移在[v-t]圖像中的表示方式入手，引導(dǎo)學(xué)生將勻變速直線運(yùn)動(dòng)等效成若干個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)，由此歸納出速度—時(shí)間圖像圍成的面積表示位移。這樣的思維方式和數(shù)學(xué)要求，在具體的教學(xué)中，同樣有一部分學(xué)生表示難以理解和接受。

筆者在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，為了讓這樣的近似與等效的過程變得直觀，曾采用PPT作圖來(lái)完成。但若要改變初速度與加速度使規(guī)律具有普遍性，或近似變得更為連貫需要大量的作圖和多張PPT來(lái)實(shí)現(xiàn)。

而運(yùn)用GeoGebra軟件可以輕松解決這些問題。運(yùn)用GeoGebra軟件作出勻變速直線運(yùn)動(dòng)的[v-t]圖像，選定時(shí)間軸上由0開始的一段時(shí)間并劃分為n段。

n的數(shù)值和勻變速直線運(yùn)動(dòng)初速度、加速度的改變都可以通過移動(dòng)滑動(dòng)條來(lái)完成，使得此情境下獲得的結(jié)論具有普遍性。

近似的過程，可以先取[n=5]，再利用“Low Sum（下和）”函數(shù)計(jì)算5段小矩形面積之和，接著利用“Upper Sum（上和）”函數(shù)計(jì)算出對(duì)應(yīng)小矩形面積之和，如圖4、圖5所示。

兩者對(duì)比，可以讓學(xué)生理解：如果以5個(gè)小矩形面積之和算出的位移代表物體在整個(gè)過程中的位移，選初速度來(lái)畫小矩形則位移偏小，若是用與所選每一小段運(yùn)動(dòng)的末速度圍成的小矩形面積之和求位移，則結(jié)果又偏大。

如果拉動(dòng)滑動(dòng)條來(lái)增大n值，將確定的時(shí)間分得更細(xì)，學(xué)生不僅可以從軟件的動(dòng)態(tài)演示中理解“隨著n值的增大，所取的時(shí)間段越小，速度變化就越小”，也可以觀察到上和值減小，下和值增大，且兩者隨著n的增大都在逼近實(shí)際值。學(xué)生還可以通過此過程理解此時(shí)以初速度或者末速度圍成的小矩形面積之和來(lái)求位移的精確度會(huì)增大。當(dāng)n值較大時(shí)，所取的時(shí)間段趨近于零，物體的速度變化量非常小，使得小矩形頂端的“鋸齒”看不出來(lái)，矩形的面積幾乎填充整個(gè)梯形，從而使勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移公式的得出變得非常自然。

非勻變速直線運(yùn)動(dòng)的[v-t]圖像也可以用相同的辦法來(lái)處理，如圖6，使得微元法的應(yīng)用具有一般意義。以此為基礎(chǔ)，今后求變力做功等較為復(fù)雜的變化問題時(shí)，學(xué)生也能夠想到用類似的方法處理。

四、結(jié)語(yǔ)

GeoGebra軟件在直線運(yùn)動(dòng)教學(xué)中的應(yīng)用并不局限于學(xué)生對(duì)微元法和圖像問題的理解。實(shí)際上，得益于優(yōu)秀的數(shù)形結(jié)合，GeoGebra軟件也可以描繪追及問題中物體的[x-t]圖像與[v-t]圖像，甚至在追及過程中物體的運(yùn)動(dòng)軌跡也可以比較簡(jiǎn)便地畫出，極大地方便了學(xué)生理解運(yùn)動(dòng)問題，也可以使得教師的課堂教學(xué)變得更為靈活。

上述這些有關(guān)GeoGebra軟件的應(yīng)用，不僅可以在電腦軟件中使用，還可以在具體的教學(xué)中通過插件加入PPT中，讓教師的教學(xué)保持流暢和高效。教師還可以通過手機(jī)APP、網(wǎng)頁(yè)鏈接等多平臺(tái)展示成果，還能讓學(xué)生在課后親自移動(dòng)動(dòng)點(diǎn)或滑動(dòng)條，加深對(duì)概念的理解。

（責(zé)任編輯 易志毅）