三視圖的幾個考查方向

林陳阿妹

[摘 要]三視圖是中考的必考內容.文章探討中考三視圖的考查方向，以培養(yǎng)學生的空間想象能力，提升學生分析問題與解決問題的能力.

[關鍵詞]中考;三視圖;考查;方向

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）32-0001-02

立體圖形的三視圖是圖形變化的一部分.中考主要從以下幾個角度考查立體圖形的三視圖.

一、繪制立體圖形的三視圖

繪制立體圖形的三視圖是最基本的要求.繪圖時，應做到“長對正、高平齊、寬相等”.對于實際存在但在視圖中不可見的線條要畫成虛線.

[例1]在平整的地面上，有一個由若干個相同的小立方塊搭成的幾何體，如圖1所示.

（1）分別畫出從正面看到的、從左面看到的和從上面看到的平面圖.

（2）若你手頭還有一些相同的小立方塊，如果保持從上面和左面觀察到的形狀圖不變，那么最多可以添加幾個小立方塊？

分析：（1）從正面看立體圖形，圖形有三列，在每一列上小正方形的數(shù)目分別是3，1，2;從左面看立體圖形，得到的圖形有左、中、右三列小正方形，第一列有3個小正方形，第二列有2個小正方形，第三列有1個小正方形;俯視圖有3列，每列小正方形的數(shù)目分別為3，2，1.

（2）保持俯視圖和左視圖不變，可往第二列前面的幾何體上放一個小正方體，后面的幾何體上放3個小正方體.那么最多可以添加4個小立方塊.

點評：在第（2）小題中，再放4個小立方塊后，俯視圖與左視圖仍不變，它說明只給立體圖形的兩個視圖并不能確定立體圖形的形狀，它可能有多種情況.

二、由兩種視圖判斷小立方體的個數(shù)

由立體圖形可繪出它的三視圖，反之，由立體圖形的三視圖，也可以確定立體圖形的形狀.若只給組合圖形的兩種視圖，不能確定組合圖形的形狀，但可以確定組合圖形中小立方體個數(shù)所處的范圍.

[例2]有一個組合幾何體，它由若干個小正方體組成，它的主視圖與俯視圖已經畫出來.

（1）根據圖2的主視圖和俯視圖，如果用最少的小正方體組合，需要多少個？如果用最多的小正方體組合，需要多少個？

（2）用最多的小正方體組合幾何體時，它的左視圖是什么？用最少的小正方體組合幾何體時，它的左視圖是什么？

分析：（1）在俯視圖中每個小正方形里，依次寫出這個位置上小正方體最多的個數(shù)與最少的個數(shù).如圖3所示，組合這樣的幾何體最多需要的小正方體個數(shù)為3+3+1+3+3+1+3=17;組合這樣的幾何體最少需要的小正方體個數(shù)為1+1+1+1+3+1+3=11.

（2）根據左視圖的定義畫出圖形如圖4所示.

點評：利用俯視圖，在每個小正方形內寫出數(shù)字，表示此處小正方體的個數(shù)，這是研究小正方體個數(shù)較好的方法.若第二個視圖是主視圖，則從每一列上考查最多、最少的小正方體的個數(shù);若第二個視圖是左視圖，則從每一行方面考查最多、最少的小正方體個數(shù).

三、由三視圖計算立體圖形的體積或表面積

在三視圖中，由主視圖可以得到立體圖形的長與高，由左視圖可以得到立體圖形的寬與高，由俯視圖可以得到立體圖形的長與寬.因此，如果已知立體圖形的三視圖，并標上相應的數(shù)據，即可計算立體圖形的體積與表面積.

[例3]如圖5所示的三視圖，原立體圖形是由兩個長方體組合的，三視圖中標出一些數(shù)據（單位：mm），根據數(shù)據計算原立體圖形的總體積和它的表面積.

分析：由三視圖可得上面長方體的長、寬、高，及下面長方體的長、寬、高，由此可以求得兩個長方體的體積;求表面積時，先求兩個長方體的表面積，再減去上、下兩個長方形接觸的面積.

由主視圖可得上面長方體的長為4 mm，高為4 mm，下面長方體的長為6 mm.由左視圖可得上面長方體的寬為2 mm，下面長方體的寬為8 mm，高為2 mm.由俯視圖可得兩個長方體一邊之間的距離為3 mm.所以上面長方體的體積為[4×4×2=32]（mm3），下面長方體的體積為[6×8×2=96]（mm3），所以長方體的體積為128 mm3.上面長方體的表面積為[4×4×2+4×2×2+4×2=56]（mm2），下面長方體的表面積為[6×2×2+8×2×2+6×8×2=152]（mm2）.

所以立體圖形的表面積為56+152-8=200（mm2）.

點評：此立體圖形是一個組合體，它由一個平放的長方體與一個豎立的長方體組合而成，在計算體積時要分別去求各個長方體的體積，然后求和;在計算表面積時要分別去求各個長方體的表面積，求和后要減去相接觸的部分面積.

四、從一種視圖到另兩種視圖

根據組合立體圖形可以畫出它的三視圖.如果已知一種視圖，且在每個小正方形中標示出該位置的小立方體個數(shù)，也可以畫出其他兩種視圖，因為這樣的組合立體圖形的形狀已經確定.

[例4]有一個幾何體，它是由若干個小正方體組合而成的，如圖6所示是俯視圖，小正方形內的數(shù)字表示這個位置的小正方體數(shù)目.請根據題意，想象它的立體圖形，并畫出這個幾何體的主視圖與左視圖.

分析：由題意可知，幾何體的主視圖應有左、中、右三列，左列有3個小正方體，中列有2個小正方體，右列有3個小正方體.它的左視圖應有左、右兩列，左列有3個小正方體，右列有3個小正方體.畫圖如圖7所示.

點評：主視圖、左視圖與俯視圖，在列數(shù)、行數(shù)和層數(shù)方面的關系，如表1所示.

五、三視圖與規(guī)律探究

一摞小正方體高度的增加與小正方體個數(shù)成正比例函數(shù)關系，但一摞碟子高度的增加與碟子個數(shù)成一次函數(shù)關系.這里的函數(shù)關系就是其中蘊含的規(guī)律.當幾摞碟子在桌子上擺放時，可以畫出三視圖，已知三視圖可以得到碟子的個數(shù).

[例5]美苑賓館的伙房內規(guī)整地放著幾摞碟子，1個碟子的高度是2 cm，2個碟子的高度是3.5 cm，3個碟子的高度是5 cm，4個碟子的高度是6.5 cm.

（1）如果m個碟子摞起來，試用含m的代數(shù)式表示總的高度;

（2）如圖8所示是3摞碟子擺在桌面上的三視圖，分別是主視圖、左視圖與俯視圖，如果把這些碟子疊成一摞，總的高度是多少？

分析：（1）通過表格里的數(shù)據可以發(fā)現(xiàn)，第1個碟子的高度是2 cm，后面每多一個碟子，高度就多出1.5 cm，所以當桌面上放有m個碟子時，總高度為2 +1.5（m - 1）=（1.5 m + 0.5）cm;

（2）根據三視圖可得，共有3摞碟子，左邊的前、后兩摞分別有5個與4個，右邊有3個，所以共有12個，當它們疊成一摞后的高度為18.5 cm.

點評：立體圖形的層數(shù)與列數(shù)，應從正面視圖得到，立體圖形的行數(shù)與列數(shù)，應從上面看得到的圖形觀察得到;立體圖形的層數(shù)與行數(shù)，應從左面視圖觀察得到.

（責任編輯 黃桂堅）