重視數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng) 提升數(shù)學(xué)建模能力

林國(guó)財(cái)

（長(zhǎng)樂(lè)區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)，福建 福州 350200）

運(yùn)用字母、數(shù)字和其他數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示的關(guān)系式、代數(shù)式、不等式、方程和各類(lèi)圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型。［1］數(shù)學(xué)建模是指把數(shù)學(xué)問(wèn)題加以抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)、引入變量等處理之后，用數(shù)學(xué)化的方式對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行呈現(xiàn)，而構(gòu)建起來(lái)的一般化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。實(shí)踐活動(dòng)是兒童認(rèn)識(shí)客觀世界的重要途徑，是感悟數(shù)學(xué)與客觀世界之間密切聯(lián)系的重要渠道。通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)與數(shù)學(xué)模型思想的有機(jī)結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生初步體驗(yàn)和深入理解數(shù)學(xué)與客觀世界之間的聯(lián)系，使數(shù)學(xué)問(wèn)題通俗易懂。數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)具有開(kāi)放性、趣味性、靈活性的特點(diǎn)，深受學(xué)生的歡迎和喜愛(ài)。本文以數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)為切入點(diǎn)，通過(guò)“聯(lián)系對(duì)比、探究體驗(yàn)、歸納概括、實(shí)踐應(yīng)用”等策略，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)模型思想的提升。

一、貼近生活，在聯(lián)系對(duì)比中感知數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)與學(xué)生的學(xué)習(xí)生活聯(lián)系緊密，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)也應(yīng)該依托學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活情境。教師應(yīng)適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生走出課堂，貼近現(xiàn)實(shí)生活，幫助學(xué)生從生活的原型中將數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象出來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、對(duì)比、分析，探尋各種信息之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而抓住問(wèn)題的本質(zhì)，掌握其中蘊(yùn)含的規(guī)律，感知數(shù)學(xué)模型的客觀存在，為進(jìn)行初步的數(shù)學(xué)建模做必要的準(zhǔn)備。

例如，掌握“比”的相關(guān)知識(shí)后，組織學(xué)生走出課堂，開(kāi)展“旗桿有多高”的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)。首先，對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，每組5 人左右，小組長(zhǎng)安排組員分工。接著，各組準(zhǔn)備好所需的材料，包括米尺、不同長(zhǎng)度的木棍（或竹竿、PVC 管等）、記錄本以及設(shè)計(jì)好的表格等。最后，明確測(cè)量方法，并注意各組要同時(shí)開(kāi)始測(cè)量。引導(dǎo)學(xué)生將測(cè)量的木棍等物體的高度與相應(yīng)的影子的數(shù)據(jù)列入表中，對(duì)比各組數(shù)據(jù)，感知其中的規(guī)律：越高的物體影子越長(zhǎng)。教師提問(wèn)：“測(cè)量的木棍的高度與影子的長(zhǎng)度之間是否存在一定的關(guān)系？”學(xué)生通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)：在同一地點(diǎn)，同一時(shí)刻，實(shí)物的高與影子的長(zhǎng)的比值是固定的。從而感知數(shù)學(xué)模型的存在，并建構(gòu)出數(shù)學(xué)模型：（A 的高度）∶（A 的影長(zhǎng)）=（B 的高度）∶（B 的影長(zhǎng)）。教師追問(wèn)：“旗桿的高度與影子的長(zhǎng)度是否也存在這樣的關(guān)系？你有什么好辦法能求出旗桿的高度呢？”引導(dǎo)學(xué)生在充分合作交流的基礎(chǔ)上，通過(guò)分析、對(duì)比，初步感知“在同時(shí)刻，同地點(diǎn)，物體高度與影子長(zhǎng)度的比值是相同的”這一數(shù)學(xué)模型。

二、動(dòng)手操作，在探究體驗(yàn)中嘗試數(shù)學(xué)建模

模型的構(gòu)建重在體驗(yàn)和探究，學(xué)生的學(xué)習(xí)也是體驗(yàn)和探究知識(shí)的過(guò)程。［2］數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)為學(xué)生提供體驗(yàn)、探究的機(jī)會(huì)，它以問(wèn)題為主線，引領(lǐng)學(xué)生參與活動(dòng)的全過(guò)程。通過(guò)動(dòng)腦思考、動(dòng)手操作、用眼觀察、用耳傾聽(tīng)、用口表達(dá)，多種感官直接體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望，在收集、分析、探尋數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在聯(lián)系的過(guò)程中，嘗試建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

例如，教學(xué)《圓的周長(zhǎng)》時(shí)，教材呈現(xiàn)生活中的情境：“圓桌和菜板都有點(diǎn)開(kāi)裂，需要在它們的邊緣箍上一圈鐵皮。請(qǐng)問(wèn)分別需要多長(zhǎng)的鐵皮？”學(xué)生討論交流后，有的提出用“圓片滾動(dòng)法”，有的提出用“卷尺測(cè)量法”。教師提問(wèn)：“如果在黑板上畫(huà)圓，還能用這兩種方法進(jìn)行測(cè)量嗎？”引發(fā)學(xué)生探索測(cè)量圓的周長(zhǎng)的一般辦法。先讓學(xué)生觀察大小不同的圓，思考它們的周長(zhǎng)和什么有關(guān)系？再組織學(xué)生測(cè)量準(zhǔn)備好的圓形物品如瓶蓋、硬幣等，以厘米為單位，精確到毫米，將測(cè)量結(jié)果填寫(xiě)在表格中。組長(zhǎng)安排分工：兩個(gè)學(xué)生測(cè)量時(shí)，一個(gè)記錄，另一個(gè)計(jì)算周長(zhǎng)除以直徑的值。學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個(gè)圓的周長(zhǎng)總是它的直徑的3 倍多一些。在測(cè)量過(guò)程中，要確保操作的準(zhǔn)確性，就需要調(diào)動(dòng)多種感官參與，手眼腦協(xié)調(diào)配合，組員間隨時(shí)交流討論，在探究體驗(yàn)中逐漸建構(gòu)“π”的數(shù)學(xué)模型，并推導(dǎo)出圓的周長(zhǎng)C=πd 或C=2πr。從已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考、動(dòng)口闡述，經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，感受數(shù)學(xué)問(wèn)題所具有的“模型”力量。學(xué)生獲得的不僅僅是知識(shí)與技能，更是透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的思想方法，促進(jìn)對(duì)知識(shí)的理解和模型意識(shí)的培養(yǎng)。

三、歸納概括，在調(diào)整修正中完善數(shù)學(xué)建模

建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程包含“觀察對(duì)比，提出問(wèn)題，初建模型，獲得結(jié)果，檢驗(yàn)修正”等環(huán)節(jié)。［3］在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)過(guò)程中，學(xué)生利用已有的信息，分析各種信息間內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，尋找解決問(wèn)題的思路。重視發(fā)揮小組合作學(xué)習(xí)的優(yōu)勢(shì)，鼓勵(lì)組員充分發(fā)表意見(jiàn)，產(chǎn)生思維的碰撞，促進(jìn)適當(dāng)?shù)恼{(diào)整、優(yōu)化，逐步歸納概括出解決此類(lèi)問(wèn)題的一般方法，從而完善數(shù)學(xué)建模。

例如，在教學(xué)《找次品》一課時(shí)，課前為學(xué)生準(zhǔn)備學(xué)具，用雪糕棒代替天平（平放在桌面上），用1 角硬幣代替瓶裝“木糖醇”，抽象出天平的“模型”。演示稱(chēng)量的過(guò)程時(shí)，化繁為簡(jiǎn)，先探究從3 瓶中找1 瓶次品的情況，并對(duì)“2 瓶找1 瓶”與“3 瓶找一瓶”的情況進(jìn)行次數(shù)的對(duì)比，提出問(wèn)題：“為何瓶子的總數(shù)增加了1 瓶，但需要稱(chēng)量的最少次數(shù)卻沒(méi)有增加？”學(xué)生感受到，找次品時(shí)并不一定每一瓶都要稱(chēng)量，當(dāng)天平兩端保持水平時(shí)，可以通過(guò)推理，判斷出在天平外的那一瓶是次品，為分組推理探究做好鋪墊。通過(guò)對(duì)比分析，歸納概括出初步模型：將瓶子的總數(shù)分成3 份，利用邏輯推理，得知不需要每瓶都稱(chēng)量，這樣稱(chēng)量的次數(shù)最少。然后探究8 個(gè)中找1 個(gè)次品的情況，發(fā)現(xiàn)并不能平均分，這是與一開(kāi)始建立的模型有沖突的地方。于是對(duì)“模型”進(jìn)行調(diào)整和完善：一是把物品分成3 份。二是倘若總瓶數(shù)可以平均分，就把它們平均分成3 份；如若總數(shù)不能平均分，則多的與少的一份中的數(shù)量相差1。在實(shí)踐活動(dòng)中，學(xué)生經(jīng)歷化繁為簡(jiǎn)、比較抽象、由淺入深的探究過(guò)程，初步構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。在待測(cè)物品的數(shù)量增加后，發(fā)現(xiàn)其中的矛盾之處，再調(diào)整和修正數(shù)學(xué)模型，使模型更加完善、嚴(yán)謹(jǐn)。

四、實(shí)踐拓展，在解決問(wèn)題中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模

在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值。在建立數(shù)學(xué)模型后，及時(shí)組織學(xué)生應(yīng)用模型解決具體的問(wèn)題，幫助學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步鞏固、強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)知。同時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題加以拓展延伸，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、靈活解決問(wèn)題的能力，真正發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

例如，在教學(xué)“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)，首先通過(guò)畫(huà)圖法、列表法、假設(shè)法開(kāi)展探究活動(dòng)。學(xué)生運(yùn)用直觀的圖示或符號(hào)表示雞和兔的“身體”和“腿”，通過(guò)不斷地調(diào)整和嘗試，先解決較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，再歸納概括，建構(gòu)出“雞兔同籠”問(wèn)題的初步模型。然后，教師呈現(xiàn)“龜鶴問(wèn)題”“人狗問(wèn)題”“大小船問(wèn)題”“小車(chē)摩托車(chē)問(wèn)題”等不同的問(wèn)題形式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)各種問(wèn)題情境進(jìn)行對(duì)比，體會(huì)“雞兔同籠”只是一般“模型”，可以舉一反三；雖然問(wèn)題的“角色”有所改變，但是問(wèn)題的本質(zhì)——數(shù)量之間的關(guān)系并沒(méi)有發(fā)生根本上的變化。還可以繼續(xù)拓展延伸，如“運(yùn)費(fèi)問(wèn)題”“比賽計(jì)分問(wèn)題”“大小和尚吃饅頭問(wèn)題”等。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的不斷應(yīng)用，由簡(jiǎn)入繁，由淺入深，幫助學(xué)生完成知識(shí)的內(nèi)化，更好地解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。

總之，要將實(shí)踐活動(dòng)與數(shù)學(xué)建模有效融合，發(fā)揮實(shí)踐活動(dòng)所特有的開(kāi)放性、趣味性、靈活性的優(yōu)勢(shì)，豐富學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，讓學(xué)生在做中學(xué)，在學(xué)中思，在思中悟，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的完整過(guò)程，提高建模能力，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。