微分分次Frobenius代數(shù)

胡清秀，何濟位

(杭州師范大學數(shù)學學院，浙江 杭州 311121)

1 預備知識

在研究非交換奇點解消理論中,需要考察分次Frobenius代數(shù)上的微分結(jié)構(gòu),再由Koszul對偶理論,將非交換奇點問題轉(zhuǎn)化為研究微分分次模范疇的問題,為此本文引入了微分分次Frobenius代數(shù)的概念.文獻[1]中給出了Frobenius代數(shù)的4個等價定義,在此基礎上本文得到了微分分次Frobenius代數(shù)的另外3個等價定義,并研究了如何在三階外代數(shù)上構(gòu)造微分分次Frobenius代數(shù).下面我們明確符號的約定以及一些預備知識.

定義1[1]令A為域K上的有限維代數(shù).若存在一個映射σ∶A×A→K,對任意的x,y,z,x1,x2,y1,y2∈A,k∈K,滿足以下條件:

1)σ(xy,z)=σ(x,yz);

2)σ(x1+x2,y)=σ(x1,y)+σ(x2,y);

3)σ(x,y1+y2)=σ(x,y1)+σ(x,y2);

4)σ(kx,y)=σ(x,ky)=kσ(x,y);

5)σ是非退化的,即僅當y=0時,對任意x都有σ(x,y)=0.

那么A就稱作是一個Frobenius代數(shù),σ稱作A的Frobenius結(jié)構(gòu)映射.滿足條件1)～4)的映射稱為結(jié)合的雙線性映射.

定理1[1]若A是一個有限維代數(shù),A*是A的對偶空間,則以下條件是等價的:

1)A是Frobenius代數(shù);

2)A與A*作為左A-模是同構(gòu)的;

3)A與A*作為右A-模是同構(gòu)的;

4)A*作為左A-?；蛘哂褹-模是循環(huán)模.

定義2[2]設A=⊕i∈Ai是一個-分次代數(shù).若存在一個次數(shù)為1的分次線性映射d∶A→A使得對任意齊次元a,b∈A滿足:

1)d2=0;

2)d(ab)=d(a)b+(-1)|a|ad(b).

那么A就稱作是一個微分分次代數(shù),d稱作是A的微分.

定義3[3]令A=⊕i∈Ai是一個微分為d的微分分次代數(shù),設M=⊕i∈Mi是一個分次左A-模.若存在次數(shù)為1的線性映射d′∶M→M使得對任意m∈M,a∈A滿足:

1)d′2=0;

2)d′(am)=d(a)m+(-1)|a|ad′(m).

那么M就稱作是一個微分分次左A-模.

定義4[3]令A=⊕i∈Ai是一個微分為d的微分分次代數(shù),設M=⊕i∈Mi為分次右A-模.若存在次數(shù)為1的線性映射d′∶M→M使得對任意m∈M,a∈A滿足:

1)d′2=0;

2)d′(ma)=d(m)a+(-1)|m|ad′(a).

那么M就稱作是一個微分分次右A-模.

2 微分分次Frobenius代數(shù)

令A=⊕i∈Ai是一個以d為微分的微分分次代數(shù),則A*是一個微分分次左A-模,其左A-模結(jié)構(gòu)以及微分由如下定義:

對任意的a,x∈A,f∈A*,令(af)(x)=(-1)|a|(|f|+|x|)f(xa),定義次數(shù)為1的線性映射d′∶A*→A*,對任意f∈A*[-n],x∈A,

d′(f)(x)=(-1)|f|+1f(d(x)).

(1)

可以驗算:

d′2(f)(x)=(-1)|d′(f)|+1d′(f)(d(x))=

(-1)|f|(-1)|f|+1f(d2(x))=-f(0)=0,

即d2(f)=0.

且對任意x,a∈A,f∈A*[-n],

d′(af)(x)=(-1)|af|+1(af)(d(x))=

(-1)|a|+|f|+1(-1)|a|(|f|+|d(x)|)f(d(x)a)=

(-1)|a|(|f|+|x|)+|f|+1f(d(x)a);

(d(a)f)(x)=(-1)|d(a)|(|f|+|x|)f(xd(a))=(-1)(|a|+1)(|f|+|x|)f(xd(a));

(-1)|a|(ad′(f))(x)=(-1)|a|(-1)|a|(|f|+|x|+1)d′(f)(xa)=

(-1)|a|(|f|+|x|)(-1)|f|+1f(d(xa))=

(-1)|a|(|f|+|x|)+|f|+1f(d(x)a+(-1)|x|xd(a))=

(-1)|a|(|f|+|x|)+|f|+1f(d(x)a)+(-1)|a|(|f|+|x|)+|f|+|x|+1f(xd(a))=

(-1)|a|(|f|+|x|)+|f|+1f(d(x)a)+(-1)(|a|+1)(|f|+|x|)+1f(xd(a)).

即d′(af)=d(a)f+(-1)|a|ad′(f).從而A*是一個微分分次左A-模.

同理可以驗算A*是一個微分分次右A-模,其微分同等式(1),右A模結(jié)構(gòu)為對任意a,x∈A,f∈A*, (fa)(x)=f(ax).

定義6令A=⊕i∈Ai是一個有限維微分分次代數(shù),若存在一個結(jié)合的分次非退化雙線性型σ∶A×A→K使得對任意齊次元a,b,c∈A都有

σ(d(a),b)=(-1)|a|+1σ(a,d(b))，

(2)

其中d為A的微分,則稱A是一個微分分次Frobenius代數(shù).

本文主要考慮正分次的微分分次Frobenius代數(shù),即A=⊕i∈Ai,對于i<0,Ai=0.

定理2若A是一個有限維正分次的微分分次代數(shù),則以下命題等價:

1)A是微分分次Frobenius代數(shù);

2)存在n∈,A與A*[-n]作為微分分次左A-模是同構(gòu)的;

3)存在n∈,A與A*[-n]作為微分分次右A-模是同構(gòu)的;

4)存在n∈,f∈A*,使得Af=A*[-n]且d′(f)=0.

證明1)?2).A=A0⊕A1⊕…⊕An,則A*=Hom(An,K)⊕Hom(An-1,K)⊕…⊕Hom(A0,K).記B=A*[-n],則作為向量空間Bi=Hom(An-i,K),i∈.定義映射

(3)

這里,對任意齊次元a,x∈A,

σ(-,a)(x)=(-1)|a||x|σ(x,a)=(-1)|a||x|σ(xa,1).

由1∈A0,那么僅當|x|+|a|=n時,σ(-,a)(x)有可能不為0.若a∈Ai,當|x|≠n-i時,σ(-,a)(x)=0,也就是說:σ(-,a)∈Hom(An-i,K)=Bi,即φ是保持次數(shù)的.

再證φ是左A-模同構(gòu)映射.對任意齊次元a,b,x∈A,

(aφ(b))(x)=(-1)|a|(|φ(b)|+|x|)φ(b)(xa)=(-1)|a|(|b|+|x|)σ(-,b)(xa)=

(-1)|a|(|b|+|x|)(-1)|b|(|x|+|a|)σ(xa,b)=(-1)(|a|+|b|)|x|σ(x,ab)=

σ(-,ab)(x)=φ(ab)(x).

從而φ是A與B的左A-模同態(tài).若對?b∈A,都有σ(-,a)(b)=(-1)|a||b|σ(b,a)=0,則由σ是非退化的,得a=0,即僅當a=0時φ(a)=0,所以φ是單射.又dim(A)=dim(A*),從而φ是雙射,因此A與A*[-n]作為左A-模是同構(gòu)的.

最后證明φ與微分是交換的.記f=σ(-,1),則|f|=0.對任意a∈A,

φ(a)=φ(a·1)=aφ(1)=af,

那么就有

φ(d(a))=d(a)f;

d′(φ(a))=d′(af)=d(a)f+(-1)|a|ad′(f).

而對任意x∈A,

(ad′(f))(x)=(-1)|a|(|d′(f)|+|x|)d′(f)(xa)=

(-1)|a|(|d′(f)|+|x|)(-1)|f|+1f(d(xa))=

(-1)|x|f(d(x)a+(-1)|x|xd(a))=

(-1)|x|(σ(-,1)(d(x)a)+(-1)|x|σ(-,1)(xd(a)))=

(-1)|x|(σ(d(x)a,1)+(-1)|x|σ(xd(a),1))=

(-1)|x|(σ(d(x),a)+(-1)|x|σ(x,d(a)))=0.

從而φd=d′φ,所以A與A*[-n]作為微分分次左A-模是同構(gòu)的.

1)?3).類似于1)?2).

2)?4).假設A與A*[-n]作為左A-模同構(gòu)的映射為φ,則對任意a∈A,

φ(a)=φ(a·1)=aφ(1),

從而A*[-n]=φ(A)=Aφ(1).令f=φ(1),則A*[-n]=Af.由φd=d′φ,對任意a∈A,

φ(d(a))=d′(φ(a)),

d(a)f=d′(af),

d(a)f=d(a)f+(-1)|a|ad′(f).

再由a的任意性,d′(f)=0.

同理可證3)?4).

4)?1).假設存在f∈A*[-n]使得Af=A*[-n]且d′(f)=0.對任意a,b∈A定義雙線性映射σ∶A×A→K,σ(a,b)=f(ab),則對任意a,b,c∈A,

σ(ab,c)=f((ab)c)=f(a(bc))=σ(a,bc).

若對?a∈A,都有σ(a,b)=f(ab)=0,則b=0,從而σ是非退化的.

對?a,b∈A,由d′(f)=0有

d′(f)(ab)=0,

(-1)|f|+1f(d(ab))=0,

f(d(a)b+(-1)|a|ad(b))=0,

f(d(a)b)=(-1)|a|+1f(ad(b)),

σ(d(a),b)=(-1)|a|+1σ(a,d(b)).

定理得證.

3 三階外代數(shù)上的微分分次Frobenius結(jié)構(gòu)

本節(jié)主要討論三階外代數(shù)上的所有可能的微分分次Frobenius代數(shù)結(jié)構(gòu),并作出同構(gòu)分類.首先我們不難驗證下面這個引理.

引理1令A=K⊕A1⊕A2⊕…⊕An是由A1生成的微分分次代數(shù),d是A的微分.設x1,x2,…,xj∈A1,則

(4)

現(xiàn)在考慮三階外代數(shù),研究其構(gòu)成微分分次Frobenius代數(shù)的條件.

定理3令V是以{x,y,z}為一組基的三維線性空間,∧(V)為V生成的外代數(shù),定義d∶V→V∧V如下:

則d定義了∧(V)上的微分當且僅當

(5)

A0=K;A1=span{x,y,z};

A2=span{y∧z,z∧x,x∧y};A3=span{x∧y∧z}.

考慮A2中元素:

d(y∧z)=d(y)∧z+(-1)|y|y∧d(z)=d(y)∧z-y∧d(z)=

(k4y∧z+k5z∧y+k6x∧y)∧z-y∧(k7y∧z+k8z∧x+k9x∧y)=

k6x∧y∧z-k8y∧z∧x=(k6-k8)x∧y∧z;

d(z∧y)=d(z)∧y+(-1)|z|z∧d(y)=d(z)∧y-z∧d(y)=

(k7y∧z+k8z∧x+k9x∧y)∧y-z∧(k4y∧z+k5z∧y+k6x∧y)=

k8z∧x∧y-k6z∧x∧y=(k8-k6)x∧y∧z.

因此d(y∧z)=-d(z∧y).

同理可證:

d(z∧x)=-d(x∧z)=(k1-k3)x∧y∧z;

d(x∧y)=-d(y∧x)=(k2-k4)x∧y∧z.

而由于d(A3)∈A4,那么必然有d(A3)=0.這樣d(ab)=d(a)b+(-1)|a|ad(b)對任意a,b∈A都成立.

接下來考慮如何使得d2=0.由于d(A0)=0,d(A3)=0,d2(A2)∈A4,故只需再令d2(A1)=0 即可.

d(d(x))=d(k1y∧z+k2z∧x+k3x∧z)=

k1d(y∧z)+k2d(z∧x)+k3d(x∧z)=

k1(k6-k8)x∧y∧z+k2(k1-k3)x∧y∧z+k3(k2-k4)x∧y∧z=

(k1k6+k1k8+k1k2+k3k4)x∧y∧z.

同理可證:

d(d(y))=(k4k8-k5k7+k3k5-k2k6)x∧y∧z;

d(d(z))=(k6k7-k3k8+k2k9-k4k9)x∧y∧z.

即d2(A1)=0,當且僅當

從而定理得證.

更進一步地,在上述的微分分次代數(shù)A上構(gòu)造如下雙線性映射σ,對任意齊次元a,b∈A,

(6)

容易驗證σ是一個結(jié)合的非退化雙線性型.

定理4保留上述符號,A是以d為微分、σ為Frobenius結(jié)構(gòu)映射的微分分次Frobenius代數(shù)的充要條件是D為對稱矩陣.

證明必要性:若A是以d為微分、σ為Frobenius結(jié)構(gòu)映射的微分分次Frobenius代數(shù),那么對任意齊次元a,b∈A都有σ(d(a),b)=(-1)|a|+1σ(a,d(b)).即

σ(d(a),b)+(-1)|a|σ(a,d(b))=0,

σ(d(a)∧b,1)+σ((-1)|a|ad(b),1)=0,

σ(d(a)∧b+(-1)|a|ad(b),1)=0,

σ(d(a∧b),1)=0.

由于σ是Frobenius結(jié)構(gòu)映射,可得d(A2)=0,即

從而

D為對稱矩陣.

充分性:若D是對稱矩陣,容易驗證A是以d為微分、σ為Frobenius結(jié)構(gòu)映射的微分分次Frobenius代數(shù).

□

引理2設V為三維向量空間, {x,y,z}和{a,b,c}是V的兩組基,若(∧(V),d)為微分分次Frobenius代數(shù),且

則存在可逆矩陣M使D1=MD2MT.

其中,Nij(i,j∈{1,2,3})是nij的余子式,N*是N的伴隨矩陣,(N*)T是N*的轉(zhuǎn)置.那么就有

從而

□

定理5設V是復數(shù)域上三維向量空間,若(∧(V),d)為微分分次Frobenius 代數(shù),則在適當選擇V的基的情況下,微分d必為以下4種情況之一:

(7)

令

同理可證當秩(A)=0,1,2時,A分別合同于D0,D1,D2.由引理2,對于任意三階微分分次Frobenius代數(shù),可以選取適當?shù)幕沟闷鋵奈⒎肿饔玫木仃嚍閷蔷仃?

□