火：二階規(guī)則與遞歸

朱 銳

一、火神廟

火神廟位于北京什剎海旁。始建于唐貞觀六年（632），稱為火德真君廟。廟內有殿宇閣三重，早年供奉火神、關帝和玉皇。這座火神廟是京城最早，也是唯一的皇家廟宇。香火旺盛，是過去皇家、達官貴人和當今民眾禳災祈福的地方（圖1、圖2）①參見百度“北京火神廟”詞條。。

圖1 北京火神廟（作者供圖）

圖2 北京火神廟（作者供圖）

我們這里把文化籠統(tǒng)地看作指導和建構人類行為的二階規(guī)則。它和人的本能及一階、自然的行為規(guī)則（如動物見到野火就會跑開——這是由遺傳基因所編碼的行為規(guī)則）相對應。一般說來，二階規(guī)則是對一階規(guī)則的表征、干涉以及在此基礎上相對獨立的自我演繹（見下文）。在火神廟，我們可以看到中華文化所用以自我演繹的各種關于火的二階規(guī)則，包括對火神、火祭，火與自然、命運等關系的文化符號和神話表征。譬如火神祝融，同時也是南海的神，象征著火與水的“統(tǒng)一”，體現(xiàn)著中國人所特有的陰陽二元本體論。火神信仰，正如大多數文化符號一樣，隨著時代的變遷也不斷吸取著新的元素和邏輯。人們在火神廟祈福，不僅僅是為了避免火災和保護財產，也為了金榜題名、婚姻嫁娶、命運通達，等等。

火與文明的密切關系是眾所周知的。火的二階表征，應該是普遍的文化現(xiàn)象（圖3）。古希臘人也重視火。著名的普羅米修斯神話，描述普羅米修斯把火從神那里偷出來，給了人類，因而遭到懲罰，被鎖在高加索山巔，肝臟日日遭到鷹的啄食，而晚上又長回來。這種循環(huán)往復，似乎也印證著西方文化中比較典型的“重生”（包括“浴火重生”）的理念。中國人有類似的神話，卻又具有相反的鏡像模式。禹的父親鯀為了治水，把息壤從天帝那里偷出來，建成壩來阻礙水的蔓延。帝怒，遣南海神祝融殺之。之所以遣祝融，估計是因為他管水，而鯀對水的阻礙也許有僭越之嫌。但祝融是火神，而不首先是水神。這其中的文化奧妙，有待我們繼續(xù)揣測。

圖3 藏傳佛教中的火符號

二、二階規(guī)則的演繹

總之，二階規(guī)則是文化和人類心靈活動的本質。一方面，人和動物一樣，都會對自己環(huán)境中所遇到的對象做各種身體和行為上的表征（包括神經表征）。在這個意義上，跑開是動物對火的一種行為表征。而這是一階表征。另一方面，只有人類才會形成對表征的表征，即在概念上“畫出”各種邏輯關系圖式，來進一步表征自己的行為。這是表征的表征，是二階表征。而由二階表征所表達和建構的行為規(guī)則，是文化活動的基本機制。

在這個意義上，火文化是二階規(guī)則文化。人在掌握火的過程中，根據自己對火的理解進行二階表征，形成有關火的符號系統(tǒng)。其關鍵是火的掌握對建立人類心智在人類發(fā)展史上所起的作用。沒有對火的掌握，人類心智就不具備文化符號所必需的二階表征模式。之所以這樣說，是因為火的使用包含著一個必然的二階規(guī)則（即遞歸函數，見下文）。它要求人類不僅要理解火的特性（火的“破壞性”“自生性”等），而且要求人類理解該理解，即對有關火的一階行為規(guī)則（“跑”“小心”等）進行二階表征，從而進行干涉和修正（如“不再跑開”“小心收集火種”等等）。

在詳細說明這個道理之前，有必要舉一個有關二階規(guī)則的實例，以便有一個直覺上的理解。我們可以簡單回顧一下藝術史上有名的關于女神維納斯這個文化符號的演繹。我們把喬爾喬內和提香的《德累斯頓維納斯》看成是演繹的第一步和“前提”（圖4），而其中所表征的古典主義規(guī)則包括：（1）女神的“棲居”是在野外；（2）女神閉著眼睛，呈睡眠狀態(tài)，這一方面體現(xiàn)著古典主義美的理念，另一方面又“拒絕”觀眾的眼神，保持距離。

圖4 喬爾喬內、提香《德累斯頓維納斯》①圖片來源：Google Art Project。

第二步是提香的《烏爾比諾維納斯》（圖5）。這幅作品延續(xù)著《德累斯頓維納斯》的古典主義美的表征，但在關鍵方面做了修改和“再演繹”：（1）改變維納斯的“棲居”，把她放在室內，縮短了神與人的距離；（2）把“睡眠狀態(tài)”歸約為“睡眠姿勢”，她的眼睛回應著人類的注視，富有挑逗和性暗示。不言而喻，提香的做法極其大膽，富有冒險主義精神。

圖5 提香《烏爾比諾維納斯》②圖片來源：Museo del Prado,Spain。

第三步是戈雅的瑪哈（《裸體瑪哈》，圖6）。在這里，主題依然是帶有古典主義色彩的美，但畫里不再是神，而是人，她的名字叫瑪哈。戈雅因為這幅畫遭到宗教裁判所審判，差點丟了性命。

圖6 戈雅《裸體瑪哈》

第四步是馬勒的《奧林比亞》（圖7）。和戈雅一樣，馬勒畫的也是人。但黑人出現(xiàn)在圖中。更有甚者，馬勒畫的不再是維納斯式的美人，而是帶有中性色彩、甚至不美或者“美的否定”。她的眼神和手的姿勢帶有敵意和拒絕的意味。馬勒開始把“維納斯美”的主題通過二階演繹逐步帶入女權和性解放、種族主義等更加復雜的文化領域。

圖7 馬勒《奧林比亞》①圖片來源：Musee d’Orsay。

第五步，也算是最后一步，是對第四步的無情嘲諷。漫畫家Bertall 不懂馬勒，也不懂藝術。即使如此，他對馬勒的再演繹（圖8），也是文化發(fā)展的一部分。文化主題的演繹，既可以把下里巴人推向陽春白雪，也可以化神奇為腐朽，把陽春白雪推向下里巴人。

圖8 Bertall《奧林比亞》②Karikatur zu Olympia von Edouard Manet,圖片來源：WikiCommons。

這種二階規(guī)則游戲，是文化的根本特征，也是人類心智活動的基本模式。上面所說的“演繹”，實際上就是我們在文學上所熟悉的“用典”（allusion）。而用典只是二階規(guī)則演繹的一個特例。人類智能，基本上可以說是這種二階表征層面上的智能。我們這里稱之為“遞歸智能”。所有的人類文化活動，基本上可以說是遞歸智能在二階規(guī)則層面上通過對規(guī)則進行不斷修改和拓展所取得的成果。

三、遞歸智能

在《語言官能：是什么，誰擁有之，以及怎樣進化的？》一文中[1]，郝瑟、喬姆斯基和芬奇強調語言官能（the faculty of language）的核心（“狹義語言技能”，F(xiàn)LN）是在于人類獨有的遞歸智能③他們并沒有明確使用“遞歸智能”這個術語，而只是用“遞歸”（recursion）這個概念來表達智能的涵義。嚴格說來，這是一個不必要的失誤。因為動物行為甚至包括自然界所有的產物，都可能是遞歸或者遞歸運算的結果。如果遞歸是宇宙的基本機制，那么宇宙本質上就是一臺計算器。這個觀點看起來極端，但其內在合理性是難以挑戰(zhàn)和駁斥的。參見下一條腳注。，并認為遞歸應該不是“語言適應”，不是因前語言或者亞語言活動進化得來，而很可能來自語言之外的物種進化史上其他的活動機制。為了響應并試圖解答郝瑟假設，同時也為了解釋為什么火唯有人才能掌握，《火：工具與心靈》一文提出火之使用蘊含著一個遞歸函數[2]。而火的使用要求人在掌握火的過程中逐漸發(fā)展出遞歸智能，使人與動物開始分離。動物不具有遞歸智能，無法掌握火。另一方面，人類對火的掌握，也為掌握語言埋下了伏筆。

總之，火的掌握，讓人類逐漸進入了二階規(guī)則世界，而它也是相對獨立于一階物質規(guī)則的心靈世界。在這里，我們基于對二階規(guī)則的闡述來進一步說明火的遞歸函數和它與心理表征之間的關系。同時我們也有必要澄清一個疑點：正如不少人認為的，遞歸有可能是整個宇宙的工作原則④即所謂“宇宙是臺計算機”命題。然而彭羅斯認為，盡管遞歸是宇宙中無處不在的現(xiàn)象，但終究有一些東西不是由遞歸得來的。為了證明后者，彭羅斯先后寫了“皇帝的新心”和“心靈的影子”兩本鴻篇巨制。遞歸在本體論上的地位，還有待繼續(xù)討論。。這意味著動物行為包括蜂筑蜂巢、白蟻建白蟻“城市”等都應該體現(xiàn)著遞歸原理。于是，在何種意義上火的使用代表著人類所特有的遞歸智能？

為了避免混淆，我們根據前面所說的二階概念來區(qū)分三個層次上的遞歸：第一層遞歸或者一階遞歸，是物質載體的遞歸運算，包括動物和人的腦神經回路或者機器的神經網絡，它們的運算活動表征著某種自然或者人工的遞歸函數，它們只執(zhí)行可能的遞歸運算，但并不懂或者理解遞歸；二階遞歸是這里所強調的“遞歸智能”，是人類在日常生活中，通過各種邏輯推理和規(guī)則運用所體現(xiàn)出來的對遞歸的直覺（intuition）和隱性理解（implicit understanding）；而更高一級的遞歸智能是當代計算機編程所體現(xiàn)出來的人類對遞歸原理的顯明理解（explicit understanding），即從數學上能寫出遞歸函數，說明遞歸原理。

基于這個區(qū)分，我們說即使遞歸是世界運行的基本機制，遞歸運算本身并不代表遞歸智能。遞歸智能不僅僅指行為本身能體現(xiàn)遞歸原理，而更是指人能制定和完善各種行為和推理規(guī)則去有效地尋求問題的解決。也就是說，遞歸智能主要表現(xiàn)在人類的二階游戲規(guī)則：這些規(guī)則與腦神經回路不同，它們總是包含著二階心理表征，屬于“二階規(guī)則”，從而構成對一階表征的表征（廣義的“表征”包括對表征圖式的干涉和修改）。然而，遞歸智能并不要求能寫出規(guī)則背后的遞歸函數。能寫出和說明遞歸原理是更高一級、高度自覺的智能。畢竟，人類也只是近幾十年在哥德爾、圖靈、丘奇等的努力下，才算懂得了遞歸原理。

總之，身體或物理遞歸是一階遞歸，遞歸智能是二階遞歸，包含心理對物理表征的表征，而明確從數學上表征遞歸函數、說明遞歸原理是三階智能現(xiàn)象。當然，這只是標簽，本身不說明任何實質性的理論問題。但這個界定已足以說明，即使整個宇宙系統(tǒng)都可能是遞歸運算，只有人才稱得上真正“懂得”遞歸，即能自覺地運用二階符號規(guī)則和心理表征圖式①如珀爾的因果圖式（見Pearl,J.&Mackenzie,D.,The Book of Why,New York:Basic Books,2018）。，去做事實、反事實推理并主動尋求問題的解決。盡管動物可以靠自然選擇的“編程設計”或者模仿等手段來執(zhí)行自然形成的遞歸算法，但只有人才具有包含二階心理表征的遞歸智能。總之作為智能，遞歸智能是二階的。這也足以說明為什么一方面機器是遞歸機器，卻不具有人所獨有的“遞歸智能”。由于目前的圖靈機器只能執(zhí)行編程所預先設定的一系列遞歸運算，而本身并不理解編程語言，不懂自己所執(zhí)行的規(guī)則和問題解決，因此現(xiàn)有人工智能技術所體現(xiàn)的遞歸運算只能算是一階遞歸。它們在智能概念上與動物本能屬于同一層級。

四、有關遞歸的直覺

不少學者之所以相信遞歸是宇宙運行的基本機制，與復雜性概念有關。為了認識遞歸，我們可以先來檢查人類對于復雜性的直覺。而這種直覺可以從以下幾個方面來表述：復雜系統(tǒng)應該來自簡單系統(tǒng)，而不是相反。也就是說，簡單系統(tǒng)先于復雜系統(tǒng)存在。這是其一。其二，復雜系統(tǒng)應該是由簡單系統(tǒng)的疊加、耦合等機制建構而成。簡單系統(tǒng)的組合能產生復雜系統(tǒng)。其三，一般說來，只要系統(tǒng)本身有秩序和規(guī)律，或者“可計算”②因篇幅關系，我們這里不討論計算復雜性問題。至于什么是“可計算”，這里不做進一步說明。，原則上我們可以一步一步通過從簡單到復雜的更替和迭代來實現(xiàn)建構復雜系統(tǒng)所需要的復雜性。

同樣的道理也表現(xiàn)在問題解決上。在日常生活中，問題解決常常遵循由易入難的法則。我們把難的、復雜的問題化解成相對容易、簡單的問題，然后再繼續(xù)分解成更容易更簡單的問題，以至于問題解決所需要的簡單度，比如連機器都可以操作的程度。這種“千里之行始于足下”“一生二，二生三，三生萬物”的原則盡管在嚴格意義上還不構成遞歸，但其基本精神卻可以說與遞歸密切相關。簡單說來，遞歸也是從簡單到復雜的逐步構建，其過程包含某種基本機制在不同條件參數下的重復運用。

回到復雜性概念。在自然界系統(tǒng)中，系統(tǒng)復雜性很少能超越生命體的復雜性。而生命系統(tǒng)的復雜性從何而來？難道生命是由原子遞歸構成的？薛定諤曾就個體生命機制提出這樣的疑問：從生命遺傳的角度看，實現(xiàn)生命規(guī)律的原子數極其微小。個體生命從單個細胞發(fā)育成長過來，生命源于單個細胞（受精卵）的不斷分裂。而這一過程僅僅由小小的細胞核中所包含的內容控制。在薛定諤看來，細胞核是如此之小，小到連一般“簡單”物理規(guī)律所要求的大量原子堆積都滿足不了，而生命規(guī)律卻又是如此之復雜[3]！在這個時候，如果他是一般人，薛定諤也許會認為自己找到了上帝存在的證明，因為現(xiàn)有的物理模式無法說明生命現(xiàn)象。然而他沒有那樣做。相反，他提出這樣的假設，即染色體內部應該包含某種可以繞開物理熱運動規(guī)律的生命密碼。個體生命規(guī)律只有以密碼形式儲存在細胞核內部，這樣才能擺脫大量原子堆積的規(guī)律性前提（因為密碼的儲存和解讀不需要熱消耗）。薛定諤的假設激發(fā)并引導了Watson and Crick去揭示DNA的雙螺旋結構。在薛定諤看來，既然原子不能夠實現(xiàn)生命規(guī)律，那么生命規(guī)律很有可能來自染色體內部的某種編碼。然后DNA結構真的被發(fā)現(xiàn)了。

原子概率規(guī)律解釋不了生命規(guī)律，而薛定諤之所以沒有放棄，其根本原因還是因為他實質上相信遞歸所代表的基本原理：即復雜來自簡單，而不是來自更復雜，比如上帝。當物理模式無法確立能解釋生命規(guī)律的基本原則，薛定諤提出了“生命密碼”的假設。然而在另一方面，薛定諤也犯了個關鍵性的錯誤。這個“錯誤”由Sydney Brenner 指出。根據Brenner 的說法，當薛定諤說染色體內部包含著遺傳編碼的時候，他認為編碼不僅僅包含一個對編碼的描述（the description of the description or code），而且包含執(zhí)行為編碼所確定的任務的工具（the means of executing the code）[4-5]。也就是說，薛定諤似乎還沒有真正理解到所謂“描述的描述”“表征的表征”在遞歸過程中所起的作用和意義。為構建生命系統(tǒng)，遺傳密碼不需要包含執(zhí)行任務的物質性工具。實際情形如Brenner 所指出的，所謂“描述的描述”就足夠滿足生命復制所需要的條件之一，而不需要再在物質層面上附加物質性的復制機制。

Brenner 所說的生命復制情形和圖靈機情形類似。圖靈機的工作原理，也不需要包含執(zhí)行程序所需要的物理工具，而只需對圖靈機如何運行進行進一步的描述即可。由于圖靈機本身是一種“描述”，給圖靈機編程于是可以被理解成是Brenner所說的“描述的描述”。

一般說來，生命科學家們通常把自我復制本身也做層級區(qū)分，有復雜的自我復制，也有簡單無聊的自我復制，后者如龍卷風的自我復制、漩渦的自我復制等。復雜復制的關鍵在于復制過程中存在某種主動的復制器（所謂“馮·諾依曼閾值”）。蠟燭的火焰可以像生命體一樣不斷地從外部吸收能量來復制自身，但是它不是生命，因為其復制是被動的，不是由某種內部的復制器所啟動。相反，復雜復制必須事先對復制進行“編程”，根據該程序執(zhí)行復制，也就是說復制過程在某種意義上是被監(jiān)督、被控制的。

與遞歸相關的另外一個復雜性概念涉及無限和有限的區(qū)分。嚴格說來，有限—無限的區(qū)分更涉及遞歸智能，而與執(zhí)行遞歸的物質過程只有間接的關聯(lián)。這是因為物質世界總是有限的，而無限只是一個理論問題。有限—無限之所以對遞歸如此重要，是因為人類的遞歸智能總包含有實質性的無限，即在有限的物質條件下，能產生無限二階表征的能力。

譬如一個困擾哲學家、語言學家、動物行為學家和人工智能學者多年的問題，就是如何說清人的理解力與機器、動物理解力之間的差別。這包括對塞爾中文屋無休止的爭論，即中文屋里面的主體是否真的理解中文？實際上，我們可以從有限—無限的角度來看待這個問題。根據郝瑟的說法，“任何一個語言使用者都在直覺上熟悉什么叫離散無限（discrete infinity）”。喬姆斯基也強調，人的語言能力包含著無限性。人能運用簡單短語結構的不斷組合（稱之為compositionality 或者merger，見下文），來實現(xiàn)從有限物理世界到無限心靈世界的跨越。比如狗或者鸚鵡也許可以學會并理解一個句子，“張三喜歡李四”，但這個理解并不包括對“王五喜歡張三”的理解，也不包括對“李四喜歡張三喜歡王五”“張三喜歡李四喜歡張三喜歡王五”等的理解。人的理解力含有舉一反三、在不同語境下重復運用某種基本語言短語或者其他函數的能力。

同樣的道理，機器學習往往需要海量數據，而人的學習卻可以依賴對個例（single sampling）或者少量數據進行抽象概括，得出一般性規(guī)則。這些現(xiàn)象也蘊含著有限和無限之間的區(qū)分。人的理解力之所以是無限的，它和個例學習是基于同一個道理：人的理解力包含著舉一反三式的遞歸智能。

David Ager曾這樣來解釋動物與人的差別：

猿、黑猩猩和倭黑猩猩都非常聰明，它們是非凡的造物。但倭黑猩猩不懂句法，如果你仔細觀察我們試圖教它們語言時，它們是如何反應的，就會發(fā)現(xiàn)，它們在運用一般智力來理解它們認為我們可能想要的東西、想說的話。人類的語言通過將事物相組合的方式來賦予其意義，我們沒法讓動物做到這一點……遣詞造句是一項奇跡，這是我們人類宇宙中了不起的地方，它賦予我們有限的生命以幾近無限的能力去創(chuàng)造想象的新世界。

人類語言的真正核心就在于創(chuàng)造了層級分明的句式結構，稱作“合并”（Merge）……有某種潛在的深層結構隱含在人類語言組織句子的方式里[6]。

Ager所說的深層結構實際上就是“組合”或者遞歸。它是超越有限物理世界、抵達無限心靈世界的階梯。這種超越不僅僅局限于語言，而是人類心智的根本特征。人類心智靠一種物理世界中普遍存在的從簡單到復雜的建構機制，加上對物理關系進行心理表征，從而構建出人類所特有的遞歸智能。盡管物理世界的遞歸，原則上也具有無限性，然而由于物理系統(tǒng)總是包含某種“終止條件”，如編程中的“base case”、基因組中的調控“終止”基因等，物理世界在事實上總是有限的。物理遞歸的有限性來自熱消耗的有限性。相反，人類心靈靠“表征的表征”，靠“描述的描述”，能規(guī)避熱消耗，從而實現(xiàn)自然界中本來不存在的實質無限性。在這個意義上，人類理解力不同于機器、動物的理解力，因為人類理解力包含著二階的遞歸智能。這就是理解的無限。相反，目前即使是最聰明的機器，其理解力也是有限的。它固然可以無限地運算下去，但這只代表時間本身的無限性，如果時間是有限的，機器運算也隨之變得有限。人心靈的無限性并不受時間限制。

總之，為了認識遞歸，我們需要把它同復雜性問題聯(lián)系起來。復雜系統(tǒng)來自簡單系統(tǒng)的組合建構，而不是來自更復雜的東西，這是遞歸背后的第一原則。另外，二階表征的遞歸和演繹，通過對熱消耗的規(guī)避，能實現(xiàn)理解的無限。這可以說是遞歸智能背后的基本原則。

五、遞歸的數學描述

遞歸是計算機科學的核心概念。圖靈-丘奇（the Turing-Church Thesis）命題證明所有可計算（可機器計算）的問題都可以用圖靈機來進行遞歸計算。目前這種對計算的理解——所有計算本質上都是遞歸計算——奠定了遞歸在數學和計算機科學中的核心地位①然而，這并不等于說，所有的編程都是靠遞歸函數來實現(xiàn)的。遞歸函數在技術應用中并不特別經濟有效，因此直接用遞歸函數來編程，實際上并不多。。

用遞歸函數來編程，其特點是被定義的函數在定義中包括自身，必須具備“終止條件”/“遞歸基”（base case）和“遞歸規(guī)則”（recursive rule）兩個要素。遞歸函數根據它的遞歸規(guī)則一次次調用自身，最終所有情況都能被歸結到它的遞歸基②感謝周陳瑜同學為這一節(jié)和下一節(jié)的寫作所做的貢獻。。在實際語境中，人們對遞歸的理解常常具有一定的模糊性，可能會把它同迭代（iteration）、嵌套等同或者過度區(qū)分③參見關于語言遞歸的討論，其中尾遞歸（tail recursion）概念（相對于內遞歸，nested recursion）似乎過于寬泛。參見:Chomsky Noam,“Some simple evo devo theses:How true might they be for language?”in Larson R.K.,Viviane D.,Hiroko Y.,The Evolution of Human Language,New York:Cambridge University Press,2010,pp.45-62；Corballis Michael C,“Recursive cognition as a prelude to language”, in Francis Lowenthal and Laurent Lefebvre eds., Language and Recursion, Berlin: Springer, 2014, pp.27-38；Martins, Maurício Dias and William Tecumseh Fitch,“Investigating recursion within a domain-specific framework”, in Francis Lowenthal and Laurent Lefebvre, eds., Language and Recursion.Berlin:Springer,2014,pp.15-26。。根據前面的討論，我們可以說，一個作為遞歸的函數必須滿足兩個條件：一方面它必須包含從簡單到復雜的逐步演繹和建構，另一方面必須包含從有限到無限的飛越④克服物理有限性，實現(xiàn)思維的無限性飛越——這是遞歸智能的本質特征。由于篇幅關系，這里不能詳細論述該命題。前文提到物理計算和機器計算都必須包含終止條件，這是因為無論物理遞歸或者機器遞歸都是有限的，不可無窮盡進行下去。而人類思維的遞歸，盡管在個體和具體操作層次上也是有限的，但在群體和操作能力方面本質上卻是無限的。感謝本刊編輯對該問題的評注。。簡單的重復不是遞歸，因為它不具有真正的復雜性，不符合前面提到的馮·諾依曼閾值。同樣的道理，簡單的重復即使在時間上可能是無限的，但并沒有真正實現(xiàn)內在的無限性。

一元遞歸函數的嚴格定義如下：

其中，C是一個常數，G是一個二元函數，H是被定義的一元遞歸函數。H和G至少形式上是不一樣的，因為它們的元數不同。

上述定義的含義是：對于一個遞歸函數H，H(n+1)的計算被歸結為H(n)的計算（假設計算結果為m）和G(n,m)的計算（假設G(n,m)是可計算的）；也就是說，變元x取值n+1時H(x)的計算，被歸結為變元x取值n時H(x)的計算（以及另一個函數H的計算）。

不過，遞歸函數H(x)一旦定義出來之后，可以和自己進行“復合”，生成一個新的函數H(H(x))，這個新函數還是遞歸函數。H(H(n))計算方法是：先用H的定義計算出H(n)=m，再用H的定義計算出H(m)的結果，這個結果就是H(H(n))的結果①感謝陳小平教授在表述上的指導和幫助。。

在上面的表述中，“H(0)=C(常量)”，嚴格說來并不屬于遞歸的一部分，因為它只是“base case”，是機器運算所必需的終止條件。否則機器會無限運算下去，得不出我們所需要的結果。而狹義的遞歸運算規(guī)則在第二項“H(n+1)=G(n,H(n)),n＞0”，其基本涵義可以簡單地表達為：用上一步的計算結果來計算該步驟的計算結果。

階乘函數（the factorial function）,一般表達為n!，是用來解釋遞歸的范例。一個自然數的階乘是自身和所有小于自身的自然數的乘積。

階乘的一個特點是，5!可以被表達為5!=5×4!

而4的階乘又可以表達為4!=4×3!

可以看出階乘實際上可以用一個自己定義自己的遞歸函數來表達。于是n的階乘可以靠上一步的階乘，即n-1 的階乘來定義：n!=n×(n-1)!，其中n＞0。當然這會導致0 的階乘是多少的問題，因為1 的階乘是1×0!。在數學上，0 的階乘是一個常數，等于1。它構成自然數階乘的終止條件，即所謂的“base case”。相反，如果0 階乘沒有被定義為常數1，原則上0!=0x×1!。這樣一來，階乘的遞歸運算就應該繼續(xù)，甚至永無終止②這里的圖式及例子的使用主要來自于https://www.sparknotes.com/cs/recursion/whatisrecursion。。

如前所述，遞歸的奧秘是在于它能把復雜的問題化解成簡單、甚至機器都可以執(zhí)行的算法（algorithm），也稱有效程序（effective procedure）。當機器都可以執(zhí)行該程序，運算就可以自動化。這構成遞歸和人工智能在概念上的聯(lián)系。

實際上，數學上的遞歸運算古代就有，并不是現(xiàn)代人的發(fā)明。比如歐幾里得的最大公約數算法就運用了遞歸。但只有現(xiàn)代人才真正從數學上對遞歸做了一般性定義，并用遞歸來規(guī)定和描述算法。哥德爾等人，把最簡單的遞歸給出明確定義，稱之為“原始遞歸”。我們前面所說的一元遞歸函數h，實際上是原始遞歸的特例，把它一般化，我們就可以得到哥德爾式的原始遞歸函數定義：

假定兩個函數，f(x1,x2,…,xn)和g（x,y,z），可以用它們來定義原始遞歸函數h：

(1)h(x1,x2,…,xn,0)=f(x1,x2,…,xn)；

(2)h((x1,x2,…,xn),y+1)=g(x1,x2,…,xn,y,h(x1,x2,…,xn,y)).[7]

在《火：工具與心靈》一文中，我們強調火的使用“規(guī)則”實際上隱含著一個遞歸函數：任何動物不能直接用火，這包括人；火不是棍子或者石頭，可以直接拿來使用；你必須用別的工具來使用火；火作為工具的一個本質特征就是它要求你從概念上理解工具的遞歸，即用工具來使用工具。

我們這里可以設定一個一般性的一元工具函數，T（代表“用工具，tooling”）。工具x的使用，表達為T（x）。x是石頭、棍子等。當“x=火”的時候，“T（x）”無定義。也就是說，火不屬于一元函數T的定義域，不能被直接使用。為了能用火，我們需要一個二元函數，F(xiàn)（代表“用火，firing”），而F由函數G，G（x,y,n,F（x,n））來定義：

(1)F(x,0)=C；

(2)F(x,n+1)=G(x,y,n,F(x,n)).

(1)和(2)的組合構成火的使用規(guī)則；這里，C是常量值，也是遞歸的終止條件。而G函數為四元函數，（x,y,n,f），其中x=火，y=棍子之類的用火工具，且y≠x,n為自然數，且n＞0，f取值F。

總之，(1)與(2)的組合，構成用火的規(guī)則表征。我們設定G函數是可計算的，否則遞歸不成立?？傊?，如果上文的假設成立，火的使用函數蘊含著遞歸?；鸬氖褂靡笕嘶蛘邉游锉仨毷孪葘@個遞歸規(guī)則有某種隱性的理解和表征，否則火是無法使用的。而正是這種特殊的用火規(guī)則所要求的智能和理解力，是動物大腦無法達到的遞歸智能。

六、遞歸與規(guī)則

如前所述，遞歸本身不代表有遞歸智能，后者是人類在各種游戲規(guī)則的使用中所表現(xiàn)出來的對遞歸的理解，這種理解基本上都是隱性和直覺的。也就是說，當人們在運用遞歸程序來解決問題的時候，一方面他們可以像動物和機器一樣不理解自己為什么這樣做，但另一方面，他們又是在積極地使用二階表征，在自覺地運用“組合”“化繁為簡”等遞歸原則來實現(xiàn)對復雜問題的解決。這就好比歐幾里得用遞歸來尋找最大公約數，盡管他沒有從數學上說明什么是遞歸，以及原始遞歸函數是什么。

人之所以能從遞歸的運用中獲得遞歸智能，而動物和機器卻不能，是因為在人類學的意義上，火的掌握使得人的理解力能夠從一階的物質表征層次上升到二階的心靈表征層次?；鸬牟僮髟谝话闱樾蜗露继N含著心對火的積極表征。我們總是會帶著對火的某種理解，擁有著對火“下一步行為”的某種遠見，去使用火。

首先火作為工具，之所以與其他工具不同，是因為它不能被隨便用。正如Johan Goudsblom 在《火與文明》一書中強調的，用火“需要遠見和細心”，“控制火是人類共有且特有的一種能力”[8]30。而且，相比起使用語言和工具，用火更是為人類所獨有。這種細心，嚴格說來并不是簡單地關注。一個狒狒在用棍子獵食螞蟻時，它可以很關注，但它所關注的往往不是棍子本身，而是螞蟻或者螞蟻是否能上棍子。棍子的工具性在使用過程中是或者至少應該是自我隱藏的，因此才有所謂忘筌、忘言之說。而火則不同。一般說來，任何人在使用火的時候都需要時刻關注火本身，并遵循心靈對火的表征去使用火。用火需要細心，需要對火有理解和遠見。這是火本身的特性所造成的。

Goudsblom 把這種特性稱作“破壞性，不可逆轉性，無目的性，自生性”[8]14。正由于這些性質，對于任何動物而言，如果不小心，玩火就等于自焚。于是火與心的必然聯(lián)系也正表現(xiàn)在這種“細心”和“小心”上面。你可以無心地撿起一塊石頭，然后利用它達到你的目的，然而不要無心地去用火來做任何事情。

因此，使用火不僅僅是一種外在行為，而且包含內在的對火和使用火的表征。在描述用火行為的時候，單是外在的行為描述是不完整的，而必需包括對內在心理狀態(tài)的描述。這種內在心理狀態(tài)可以是復雜也可以是簡單，但不能沒有對當下行為的理解和關注。

總之，用火行為，實際表達的是一個二階規(guī)則，它包含對一元T 函數的遞歸，這個規(guī)則是每個用火者必須在直覺上先理解了以后才能使用火。這種二階規(guī)則理解實質上代表著人所特有的新的心智能力，他能夠按規(guī)則的表征辦事，而不是簡單地按規(guī)則辦事。動物在看見火的時候，自然法則告訴它：“見到火，跑開”。這是一階物理規(guī)則，由動物的大腦神經元來實現(xiàn)和執(zhí)行。在這個意義上，動物的避火行為是簡單地按規(guī)則辦事，它不包含對規(guī)則的二階表征。

然而當人在看見火的時候，也許由于他已經通過對火的逐步觀察和掌握，同時在漫長演化過程中靠火與人類心靈的相互構建和“同步進化”[9]，已經獲得了能對一階規(guī)則做心靈表征的能力，他通過對火規(guī)則的表征掌握了火，于是他可能不再跑，而是靠近、最終收集火種。人類這種自覺地按規(guī)則的表征來辦事的能力，應該來自對火的使用和掌握。

在不同但又密切相關的語境中，珀爾也強調這種二階表征能力的認知意義，他形象地稱之為“畫圖”（draw diagrams）。盡管珀爾的問題是因果推理，但因果推理也是遞歸智能的一部分，而且是關鍵部分。在他看來，是二階表征賦予了人所特有的因果推理能力。盡管二階表征或者規(guī)則圖式，乍看起來和規(guī)則本身沒有太大差別，但前者給了人按規(guī)則表征、而不是簡單地按規(guī)則辦事的能力。一旦具備了按規(guī)則表征辦事的能力，人實際上也就具備了違背和改造這個規(guī)則的能力。這在珀爾看來，是人之所以能登上比機器之規(guī)則遵循，或者所謂“連接（association）智能”更高的因果智能的關鍵。珀爾把這種規(guī)則的違背和修改叫作“干涉”。假如現(xiàn)有的有向無環(huán)圖顯示，“沒有上司命令，士兵A 和B 都不能開槍”：

在攀登因果階梯的時候，我們可以問有關干涉（intervention）性的問題。如果士兵A沒有等待上司的命令而主動開槍，囚犯會死還是活？這問題實際上已經具有矛盾的味道。我剛剛跟你說過只在命令下才開槍，但現(xiàn)在我們要問的是，如果他在沒有得到命令時開槍，那會發(fā)生什么？如果你只是像典型的計算機一樣運用邏輯規(guī)則，這問題是沒有意義的。如果我們想讓計算機理解因果關系，就必須教它如何違反規(guī)則……[10]47-48

也就是說，按規(guī)則表征辦事，賦予了人違背規(guī)則的能力。而這種違背和偏離，是文化活動的本質，也是前面所說的二階規(guī)則演繹的本質特征。遠古時代，當人們在看見火的時候，我們今天也可以設想在某個階段人們開始對著自己所理解的火規(guī)則問，如果我不跑，而用棍子去控制它，這會發(fā)生什么？他之所以能這樣問，是因為火的掌握、以及火與心靈之間的不斷反饋使得人逐漸獲得了形成二階規(guī)則（畫規(guī)則圖式）的能力。而用二階規(guī)則來干涉行為和一階規(guī)則，一方面減少了直接一階規(guī)則修改的成本，另一方面也是人類逐漸形成用二階規(guī)則的遞歸來尋找最佳問題解決的前提和基礎。

七、特例：法也是二階規(guī)則

二階規(guī)則也是法學家哈特的核心概念。他用“二階規(guī)則”（secondary rules）來理解法的獨立性。在他看來，一階規(guī)則（primary rules）是行為規(guī)則①這里的一階和二階的規(guī)則區(qū)分是相對的。如果把一階規(guī)則看成是二階的，那么原來的“二階”規(guī)則就變成三階的。以此類推。。行為規(guī)則不代表法。行為規(guī)定各種法定義務和違背所帶來的行為后果[11]93。而法律之為法律，其關鍵是二階規(guī)則。因為法律條文即一階規(guī)則不可避免地會帶有各種解釋及有效期等不確定性，在這個時候，如果沒有內在的二階規(guī)則來解決這種不確定性，一階規(guī)則就不是法律，而可能只是行政命令或者其他形式的行為規(guī)則。

哈特對法律規(guī)則的詮釋，實際上體現(xiàn)了法“智慧”的核心也是在二階的規(guī)則遞歸。在二階規(guī)則中，最有名的應該是他所謂的“確認規(guī)則”（rules of recognition）[11]94。它包含一系列一階規(guī)則必須滿足的標準和條件，只有當一個一階規(guī)則通過了某個相關的“確認規(guī)則”，它才能算是法律。

二階規(guī)則還表現(xiàn)在人與動物在模仿行為的區(qū)分上。人的模仿和動物模仿有質的區(qū)別。David Premack 曾區(qū)分兩種意義上的模仿[12]：一種是對象模仿（A 拿棍子，B 也拿棍子——B 模仿A 的對象選擇），很多動物都會對象模仿；還有一種模仿只有人會，是過程模仿，B 模仿的不是A 拿棍子，而是A 拿棍子的方式。在Premack 看來，后面這種模仿要求模仿者對所觀察的過程形成心靈表征，并按照表征內容實現(xiàn)該動作。這實際上就包括一個表征的遞歸過程。任何模仿都是表征，但只有過程模仿才包含表征的表征。在過程模仿形式下，人不直接模仿別人的行為，而模仿自己對別人行為的表征。Michael Tomasello 對動物學習極其重要的研究充分顯示這兩種模仿形式的差別[13]。只有人的模仿才包含對所觀察到行為的積極表征并予以復制。這在Tomasello 看來，實際上是人類文化活動的本質，也說明為什么一個新技術的發(fā)現(xiàn)能被繼承和傳播，導致技術的不斷積累和進步。而動物盡管也能學新技術，但由于缺少遞歸式的心靈表征，技術的傳播和積累在動物界是不可能的。

因此遞歸智能不僅僅是遞歸，而是靠二階心靈表征去遞歸。這才是人類心智的關鍵。一旦理解了這一點，我們也許就可以在一種相當基本的意義上去理解包括畫圖、表演等各種二階藝術表征的意義。甚至火神廟本身的建筑也可以被看成是一種“二階圖式”。

八、時間與苦悶

尼采曾這樣來描述動物與人的差別：

看看牛群，它們吃草時從你身邊走過：它們不知道昨天或今天是什么，他們跳躍，吃，休息，消化，再跳躍，從早到晚日復一日都被鎖在當下以及當下的快樂或不悅，因此既不憂郁也不厭倦。這是人們難以想象的情境；雖然他自認為比動物高級，因為他是人類，但很難不羨慕它們的幸福[14]。

尼采的意思是動物活在當下，所以他們沒有人的時間概念，也沒有人所獨有的憂郁和厭倦。這里的“當下”，實際上只是指對象意識。動物只活在純粹的對象意識之中（包括對自己身體的意識）。當然這只是一個假設，如果動物有人一樣的意識的意識，那就沒有理由認為動物沒有時間圖像，因為時間也是遞歸，和自然數序列類似。

動物對世界的表征只存在于一階的對象表征，即神經系統(tǒng)的表征。動物的尼采式快樂也是一階對象意識的結果。當人征服了火，他獲得了自由，也由此進入了二階的文化世界。他開始靠文化敘事、藝術圖式和各種二階的游戲規(guī)則來規(guī)定自己的行為。這種能力或者官能，我們這里稱之為遞歸智能。

認知語言學早就發(fā)現(xiàn)人類文明有兩種并列的時間表征規(guī)則或者圖式。一種假設我在動而世界是靜止的（移動觀察者模型，the moving observer model），按照這個模型，未來在前面（“前途”），過去在后面（“往事不堪回首”）。第二種圖式假設世界在動而我靜止（移動對象模型，the moving object model），于是星期一在星期二之前（星期一先朝我們走來），過去是“之前”，未來是“以后”。中國文化還采用“自由落體模型”（the falling object model），在地球上由于自由物體都自上而下而非自下而上地運動，因此時間的先后可以用上下來表示，于是我們有“上個月”和“下個月”的分別。

按照尼采的說法，當人有了時間，人就開始不快樂。而時間概念，不也是火和語言所開發(fā)的遞歸智能造就的意識圖式嗎？火作為技術的原型，它的征服給人帶來了人所獨有的智能，也帶來了時間、苦悶和文化之中無處不在的規(guī)則游戲。這意味著什么？規(guī)則、技術和人類心靈的演繹，是一個無所不包、但常常看不見的“理性空間”。規(guī)則和文明無時不刻在構建人的心靈。當韓非子說，“故輿人成輿，則欲人之富貴；匠人成棺，則欲人之夭死也。非輿人仁而匠人賊也，人不貴，則輿不售；人不死，則棺不買；情非憎人也，利在人之死也”，他實際就是在討論二階規(guī)則和一階規(guī)則的差別。一階行為的善與惡可能不一樣，但在二階規(guī)則的層面上，善惡所分別表達的心智卻也許是一樣的。于是，我們可以引用維特根斯坦的話來做結語：

讓我們想一下都在哪些情況下我們會說一個游戲是根據一個特定的規(guī)則進行的![15]