基于分解的高維多目標(biāo)改進(jìn)進(jìn)化算法

喬鋼柱，王瑞，孫超利*

（1.太原科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，太原 030024；2.中北大學(xué)大數(shù)據(jù)學(xué)院，太原 030051）

0 引言

自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和工程技術(shù)等許多領(lǐng)域中都存在同時(shí)優(yōu)化多個(gè)目標(biāo)的問題，例如流水車間調(diào)度［1］和電力系統(tǒng)規(guī)劃［2］，其優(yōu)化目標(biāo)之間往往是相互沖突的，這些優(yōu)化問題統(tǒng)稱為多目標(biāo)優(yōu)化問題。由于其多個(gè)目標(biāo)之間的相互沖突，所能找到的往往是一組解集，而不是能同時(shí)使得所有目標(biāo)取得最優(yōu)的一個(gè)解。

多目標(biāo)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型如下：

式中：x=(x1，x2，…，xn)為n維決策變量，S為x的可行域；fi（x）表示x的第i(i=1，2，…，m)個(gè)目標(biāo)函數(shù)，m為目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)。通常當(dāng)優(yōu)化目標(biāo)個(gè)數(shù)超過3 個(gè)時(shí)，稱之為高維多目標(biāo)優(yōu)化問題（Many-objective Optimization Problems，MaOPs）［3］。

進(jìn)化多目標(biāo)算法［4-5］由于其具有較好的全局搜索能力，且能夠同時(shí)提供多個(gè)候選解，從而被越來越多地用于求解多目標(biāo)優(yōu)化問題。到目前為止，學(xué)者們針對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問題已提出了很多進(jìn)化優(yōu)化算法，如快速排序算法II（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II，NSGA-II）［4］、基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法（MultiObjective Evolutionary Algorithm based on Decomposition，MOEA/D）［6］，以及基于指標(biāo)的進(jìn)化算法（Indicator-Based Evolutionary Algorithm，IBEA）［7］。然而，隨著優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)的增加，互不支配的個(gè)體數(shù)量急劇增加，導(dǎo)致傳統(tǒng)的基于Pareto 支配關(guān)系的選擇策略失效，很難找到新的Pareto 占優(yōu)關(guān)系；同時(shí)，目標(biāo)空間維度的增大增加了獲得均勻分布解的難度。為此，學(xué)者們提出了不同的求解高維多目標(biāo)問題的優(yōu)化算法以期獲得較好的最優(yōu)解集。

一般來說，求解高維多目標(biāo)優(yōu)化問題的算法大致可分為四類：

1）第一類是基于Pareto 支配關(guān)系的高維多目標(biāo)優(yōu)化方法。如：Zhang 等［8］提出了基于拐點(diǎn)的進(jìn)化算法（Knee pointdriven Evolutionary Algorithm，KnEA），利用拐點(diǎn)選擇策略替代NSGA-II 中基于擁擠度的選擇策略。Li 等［9］利用偏移密度估計(jì)（Shift-based Density Estimation，SDE）機(jī)制改變解在空間中的位置，使得支配關(guān)系發(fā)生變化，從而加速收斂。Qasim等［10］提出了基于排序支配的對(duì)抗差分進(jìn)化算法（Rankingdominance-based algorithm with Opposition-based Differential Evolution，RODE）算法，在該算法中采用AR（Average Rank）方法選擇個(gè)體。肖婧等［11］提出了一種基于全局排序的高維多目標(biāo)優(yōu)化（Global Ranking based Many-Objective Differential Evolution，GR-MODE）算法，首先采用全局排序提高選擇壓力，然后采用Harmonic 平均擁擠距離對(duì)個(gè)體進(jìn)行全局密度估計(jì)，提高現(xiàn)有局部密度估計(jì)方法的精確性。譚陽等［12］提出了一種以超球型支配關(guān)系降低種群中非支配解數(shù)量的粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法，該算法采用模糊支配策略維持選擇壓力，另外通過全局極值的選擇和外部檔案的維護(hù)保持種群個(gè)體在目標(biāo)空間的分布。然而，隨著目標(biāo)數(shù)量的增多，大部分個(gè)體之間都為互不支配關(guān)系，導(dǎo)致選擇壓力降低，因此增加了這類算法在尋找高維多目標(biāo)非支配最優(yōu)解集的困難。

2）第二類是基于分解的高維多目標(biāo)優(yōu)化方法。Zhang等［6］提出的MOEA/D 將多目標(biāo)優(yōu)化問題通過參考向量轉(zhuǎn)換成若干個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化問題，并對(duì)其同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化。然后，學(xué)者們基于MOEA/D 提出了很多求解高維多目標(biāo)優(yōu)化問題的改進(jìn)算法，如基于分解、自適應(yīng)繁殖選擇機(jī)制輔助的多目標(biāo)進(jìn)化算法（MultiObjective Evolutionary Algorithm based on Decomposition with an Adaptive Mating Selection mechanism，MOEA/DAMS）［13］和將一個(gè)多目標(biāo)分解成多個(gè)簡單多目標(biāo)子問題進(jìn)行求解的多目標(biāo)進(jìn)化算法（Multiobjective Optimization Evolutionary Algorithm based on Decomposition of a Multiobjective optimization problem into a number of simple Multiobjective subproblems，MOEA/D-M2M）［14］。He 等［15］提出了一種基于動(dòng)態(tài)分解排序（Dynamical-Decomposition-based Ranking，DDR）方法的進(jìn)化高維多目標(biāo)優(yōu)化算法，該算法提出動(dòng)態(tài)分解策略，將解本身作為參考向量，另外子空間的劃分由種群的解和原來的子空間決定。Cheng 等［16］提出了參考向量引導(dǎo)的進(jìn)化算法（Reference Vector guided Evolutionary Algorithm，RVEA），基于角度和到理想點(diǎn)的距離提出了一種新的環(huán)境選擇策略。Qin 等［17］提出了基于分解框架的改進(jìn)粒子群優(yōu)化（Modified Particle Swarm Optimization based on Decomposition with Different ideal points，MPSO/DD）算法，利用多個(gè)理想點(diǎn)引導(dǎo)個(gè)體，一方面保證了種群的均勻性，另一方面能夠加速引導(dǎo)個(gè)體的收斂。鞏敦衛(wèi)等［18］提出了一種基于目標(biāo)分解的高維多目標(biāo)并行進(jìn)化優(yōu)化方法，通過目標(biāo)函數(shù)分組與聚合，將一個(gè)高維多目標(biāo)優(yōu)化問題分解為若干子問題，從而降低了問題求解的難度。在基于分解的這類算法中，如何選擇參考向量以及如何基于參考向量進(jìn)行環(huán)境選擇是找到好的Pareto非支配最優(yōu)解集的難點(diǎn)。

3）第三類是基于指標(biāo)的高維多目標(biāo)優(yōu)化方法。IBEA 是第一個(gè)基于指標(biāo)的多目標(biāo)進(jìn)化算法。雖然它在高維多目標(biāo)問題收斂方面表現(xiàn)良好，但由于其指標(biāo)缺乏多樣性維護(hù)，它的多樣性很差。While 等［19］提出的基于超體積（HyperVolume，HV）的進(jìn)化算法利用蒙特卡羅模擬近似精確超體積值，超體積是評(píng)估收斂性和多樣性的度量。基于反世代距離（Inverted Generation Distance，IGD）的多目標(biāo)進(jìn)化算法（IGD indicatorbased Multi-Objective Evolutionary Algorithm，MOEA-IGD）［20］是將反世代距離指標(biāo)作為個(gè)體適應(yīng)值的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，它被認(rèn)為是一種可靠的性能指標(biāo)，可以量化多目標(biāo)進(jìn)化算法的收斂性和多樣性。Liu 等［21］提出了一種基于一個(gè)接一個(gè)選擇策略的進(jìn)化算法（Evolutionary Algorithm using a one-by-one selection strategy，1by1EA），該算法根據(jù)一個(gè)收斂指標(biāo)和一個(gè)分布指標(biāo)選擇個(gè)體，前者測量解與帕累托最優(yōu)前沿之間的距離，后者測量其彼此之間的距離?；谥笜?biāo)的方法能夠生成符合期望性能的結(jié)果，但是算法的計(jì)算成本較高，很難達(dá)到快速驗(yàn)證的結(jié)果。

4）最后一類是不能完全歸到以上某一類的高維多目標(biāo)優(yōu)化算法。例如，Li等［22］將基于分解和基于占優(yōu)的方法結(jié)合，充分利用兩種方法的優(yōu)勢，權(quán)衡算法的收斂性和多樣性，提出了基于支配和分解的進(jìn)化高維多目標(biāo)優(yōu)化算法（highdimensional Many-Objective optimization Evolutionary Algorithm based on Dominance and Decomposition，MOEA/DD）。Deb等［23］結(jié)合NSGA?II 的支配關(guān)系以及分解方法中參考點(diǎn)的使用方法，提出了NSGA?III 算法。Li 等［24］提出了收斂性指標(biāo)和多樣性指標(biāo)，基于該兩種指標(biāo)進(jìn)行非支配排序?qū)崿F(xiàn)環(huán)境選擇，將在高維多目標(biāo)空間的搜索轉(zhuǎn)換為在兩個(gè)目標(biāo)空間的搜索，提高了高維多目標(biāo)優(yōu)化的非支配解集的搜索能力。朱占磊等［25］基于線性權(quán)重聚合函數(shù)和支配關(guān)系提出了一種線性權(quán)重最優(yōu)支配關(guān)系，將此支配關(guān)系代替Pareto支配關(guān)系。

基于參考向量的進(jìn)化算法RVEA 是Cheng 等［16］提出的用于求解高維多目標(biāo)優(yōu)化問題的方法，該方法不僅提供了自適應(yīng)的參考向量產(chǎn)生方法，同時(shí)提出了基于角度和到理想點(diǎn)距離的新的環(huán)境選擇標(biāo)準(zhǔn)，稱為角度懲罰距離（Angle?Penalized Distance，APD），在進(jìn)化過程中綜合考慮了收斂性和分布性，以期能夠獲得穩(wěn)定的具有較好收斂性能的高維多目標(biāo)進(jìn)化算法。然而，由于RVEA 采用隨機(jī)選擇父代，導(dǎo)致在高維目標(biāo)空間距離遠(yuǎn)的父代差異性大，可能無法生成優(yōu)秀的子代。另外，僅考慮關(guān)聯(lián)個(gè)體的子空間，減小了種群的搜索區(qū)域，不能很好地保證種群的多樣性。因此，本文基于RVEA 框架提出了一種基于分解的高維多目標(biāo)改進(jìn)進(jìn)化算法（Improved highdimensional Many-Objective Evolutionary Algorithm based on Decomposition，IMaOEA/D）。在IMaOEA/D 中，針對(duì)分配不同數(shù)量個(gè)體的子空間，引入精英父代選擇策略，該策略利用個(gè)體在目標(biāo)空間距離理想點(diǎn)的距離d1來選擇父代，以期產(chǎn)生較好后代來加快算法的收斂。在環(huán)境選擇中，RVEA 不考慮未分配個(gè)體的子空間，導(dǎo)致種群的多樣性變差，故為了保持多樣性，本文首先基于角度懲罰距離（APD）值選擇下一代，隨后對(duì)于未分配個(gè)體的子空間采用角度指標(biāo)選擇距離該參考向量近的個(gè)體作為下一代中個(gè)體。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法在求解高維多目標(biāo)優(yōu)化問題，特別是針對(duì)退化優(yōu)化問題上能夠獲得較好的優(yōu)化性能。

1 RVEA

基于參考向量的進(jìn)化算法RVEA 的主要實(shí)現(xiàn)步驟和普通的基于分解的多目標(biāo)優(yōu)化算法一致。在RVEA 中，主要是提出了一種自適應(yīng)的參考向量設(shè)定方法，同時(shí)基于參考向量提出了一種角度懲罰距離指標(biāo)，用于多目標(biāo)優(yōu)化中的環(huán)境選擇。

1.1 角度懲罰距離

RVEA 提出使用角度懲罰距離值進(jìn)行環(huán)境選擇，其既考慮了個(gè)體的收斂性，同時(shí)也根據(jù)個(gè)體目標(biāo)函數(shù)值和其相關(guān)參考向量之間的夾角考慮種群的多樣性，其計(jì)算式如下：

式中：M表示目標(biāo)的數(shù)目；t和tmax分別為種群當(dāng)代進(jìn)化的代數(shù)和種群進(jìn)化的最大代數(shù)；α是一個(gè)預(yù)先設(shè)置的可變參數(shù)，可以控制P(θt，i，j)的變化率；γvt，j是當(dāng)代種群中參考向量vt，j與其他向量之間角度最小值。γvt，j計(jì)算式如下：

其中N是參考向量的數(shù)目。

1.2 自適應(yīng)參考向量

通常情況下，參考向量是在目標(biāo)空間均勻產(chǎn)生的。然而，在各類優(yōu)化問題中，由于最優(yōu)解集在目標(biāo)空間中并不一定能夠均勻劃分，因此均勻產(chǎn)生的參考向量可能會(huì)阻礙最優(yōu)解集的獲得。為此，在RVEA 中，Cheng 等［16］提出了一種自適應(yīng)的參考向量產(chǎn)生方法，其更新方式如下：

2 基于分解的高維多目標(biāo)改進(jìn)進(jìn)化算法

在進(jìn)化算法中，子代產(chǎn)生的位置會(huì)影響算法的尋優(yōu)速度，而在基于參考向量的進(jìn)化算法RVEA 中，子代是通過隨機(jī)選擇兩個(gè)父代得到的，隨著目標(biāo)個(gè)數(shù)的增加，個(gè)體在目標(biāo)空間的分布更加稀疏，隨機(jī)選擇父代不利于算法的收斂性。另外，在RVEA 中，其每個(gè)參考向量不一定能夠分配上個(gè)體，因此隨著迭代的增加，算法不一定能夠很好地保持種群多樣性。為此，針對(duì)這兩個(gè)問題，本文提出了一種基于分解的高維多目標(biāo)改進(jìn)優(yōu)化算法（IMaOEA/D）。IMaOEA/D 的偽代碼如算法1所示。

算法1 IMaOEA/D。

從算法1 中可以看到，同其他基于分解的求解高維多目標(biāo)優(yōu)化問題的進(jìn)化算法一樣，IMaOEA/D首先均勻產(chǎn)生若干單位參考向量，并產(chǎn)生一個(gè)規(guī)模為N的種群。當(dāng)評(píng)價(jià)次數(shù)未達(dá)到最大評(píng)價(jià)次數(shù)時(shí)，通過對(duì)每個(gè)個(gè)體根據(jù)本文提出的算法來選擇父代個(gè)體（具體見2.1節(jié)中算法2），對(duì)其交叉變異產(chǎn)生新個(gè)體。隨后，對(duì)當(dāng)前父子代基于本文提出的環(huán)境選擇策略（具體見2.2 節(jié)中算法3）實(shí)現(xiàn)下一個(gè)父代的選擇。算法中，子代的產(chǎn)生采用廣泛使用的二進(jìn)制交叉（Simulated Binary Crossover，SBX）［26］和多項(xiàng)式變異（Polynomial Mutation）［27］。

2.1 父代選擇

選擇什么樣的父代來產(chǎn)生下一代對(duì)于算法的最優(yōu)解集搜索具有重要的影響。在本文中，主要考慮通過父代選擇來加快子空間的搜索。故在IMaOEA/D 中，根據(jù)參考向量來尋找父代并產(chǎn)生子代。對(duì)任何一個(gè)參考向量，從分配給該參考向量的個(gè)體集中，根據(jù)沿該參考方向到理想點(diǎn)的距離d1的大小選擇兩個(gè)父代個(gè)體。d1的計(jì)算方法如下：

其中：f(xj)為個(gè)體xj的目標(biāo)函數(shù)向量值；vi代表的是第i個(gè)參考向量。需要注意的并不是所有參考向量都有分配個(gè)體，故對(duì)于未能分配至少2 個(gè)個(gè)體的參考向量，選擇距離理想點(diǎn)最近的一個(gè)或者兩個(gè)個(gè)體作為子代的父代個(gè)體。算法2 給出了具體的選擇方法。

算法2 父代個(gè)體的選擇方法。

2.2 環(huán)境選擇

在本文方法中，仍舊使用RVEA 中提出的角度懲罰距離指標(biāo)來進(jìn)行環(huán)境選擇。然而，并不是所有的參考向量都一定能有個(gè)體和其關(guān)聯(lián)，有可能導(dǎo)致下一父代的種群多樣性缺失。為此，在IMaOEA/D 中，對(duì)于沒有個(gè)體和其關(guān)聯(lián)的參考向量，尋找在當(dāng)前種群中和其夾角最小的個(gè)體，并將其分配給該參考向量，從而保證每個(gè)參考向量至少有一個(gè)個(gè)體是和其相關(guān)聯(lián)的。算法3 給出了本文方法中的環(huán)境選擇策略。從算法3中可以看到，對(duì)于任意一個(gè)參考向量vi，若分配給其的個(gè)體數(shù)至少1個(gè)，則選擇APD值最小的個(gè)體和該參考向量關(guān)聯(lián)（第5）行）；否則選擇父子代種群個(gè)體中和該參考向量夾角最小的個(gè)體和該參考向量關(guān)聯(lián)（第7）行）。

算法3 環(huán)境選擇。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

為驗(yàn)證本文算法的有效性，在具有10個(gè)目標(biāo)和15個(gè)目標(biāo)的MaF［28］問題上進(jìn)行了測試。所有實(shí)驗(yàn)均在處理器是Intel Core i7-2670QM CPU @2.2.0 GHz 2.19 GHz、內(nèi)存為8 GB 的PC 上通過Matlab 2016 實(shí)現(xiàn)。以下為實(shí)驗(yàn)的一些基本設(shè)置：1）算法在每個(gè)測試問題獨(dú)立運(yùn)行20 次；2）最大代數(shù)為1000；3）種群大小和參考向量數(shù)量一樣，10個(gè)和15個(gè)目標(biāo)的種群大小分別設(shè)為275和135；4）本文算法及其對(duì)比算法均采用傳統(tǒng)的二進(jìn)制交叉和多項(xiàng)式變異操作，交叉和變異概率分別為1和1/D，D是決策變量的維度，交叉和變異的分布指標(biāo)都是20。

在角度懲罰距離公式中，參數(shù)α控制懲罰函數(shù)P（θ）的變化率，參數(shù)fr控制參考向量更新的次數(shù)。為了驗(yàn)證這兩個(gè)參數(shù)對(duì)本文算法的影響，先固定一個(gè)參數(shù)，然后對(duì)另一個(gè)參數(shù)進(jìn)行分析。固定參數(shù)fr為0.5，α的取值范圍為［1，9］的9 個(gè)整數(shù)，其值越大表示收斂性越在前期占主導(dǎo)地位。分別在10、15 個(gè)目標(biāo)的MaF8 和MaF10 上作了測試，其中MaF8 的目標(biāo)為線性、退化問題，MaF10 的目標(biāo)為混合、偏置問題。圖1 給出了不同參數(shù)α在這兩個(gè)測試問題上的IGD 變化。為了驗(yàn)證參數(shù)fr對(duì)算法的影響，固定α=2，然后使fr在［0.1，0.5］取值。在MaF8 和MaF10 問題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，獨(dú)立運(yùn)行20 次，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖2所示。

圖1 不同α值下不同測試問題的IGD平均值Fig.1 IGD mean values of different test problems with different α values

圖2 不同fr值下不同測試問題的IGD平均值Fig.2 IGD mean values of different test problems with different frvalues

從圖1 中可以看到，給定fr值時(shí)，不同的α值對(duì)于不同的測試問題，其IGD 值的變化相對(duì)平穩(wěn)，表明算法性能對(duì)α不是很敏感。但是高維空間中相對(duì)較小的α值使收斂性和分布性的重要程度在進(jìn)化前后期的分配更為合理。因此，本文取α=2。

從圖2 中可以看到，在兩個(gè)測試問題中，隨著fr值不斷增大，IGD值變化平穩(wěn)。對(duì)于線性、退化的15目標(biāo)的MaF8問題，其IGD值隨著fr值的增大而減小。對(duì)于解決如MaF8和MaF10等真實(shí)Pareto 面復(fù)雜的問題，太頻繁地更新參考向量不利于算法的穩(wěn)定性。本文取更新參考向量的參數(shù)fr=0.5。

3.2 結(jié)果分析

將本文方法在高維目標(biāo)函數(shù)測試集MaF 上進(jìn)行了測試，并和其他近年來發(fā)表的基于分解的、具有較好代表性的4 個(gè)算法進(jìn)行了對(duì)比，包括參考向量引導(dǎo)的進(jìn)化算法（RVEA）［16］、基于參考方向的Pareto 增強(qiáng)進(jìn)化算法（Strength Pareto Evolutionary Algorithm based on Reference direction，SPEA/R）［29］、基于參考點(diǎn)支配的非支配排序遺傳算法II（Reference Point-based Dominance in Nondominated Sorting Genetic Algorithm-II，RPDNSGA-II）［30］，以及基于支配和分解的進(jìn)化高維多目標(biāo)優(yōu)化算法（MOEA/DD）［22］。為了公平比較，所有算法的種群規(guī)模和運(yùn)行代數(shù)均保持一致，對(duì)比算法的其他參數(shù)設(shè)置選擇各自文獻(xiàn)中給出的推薦參數(shù)值。所有算法的IGD 指標(biāo)值均為獨(dú)立運(yùn)行20 次后的平均值，表1 是所有算法獨(dú)立運(yùn)行20 次獲得的IGD 平均值與標(biāo)準(zhǔn)差，其中最好的結(jié)果用加粗表示。

另外，為了比較本文所提算法與另外4 種算法獲得的平均IGD 值之間差異的顯著性，本文采用Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)進(jìn)行兩兩比較，顯著性水平取0.05，表中“+”“-”“≈”分別表示IMaOEA/D 顯著優(yōu)于、顯著劣于和無差別于其他算法。從表1的數(shù)據(jù)可以看出，算法IMaOEA/D 整體的性能優(yōu)于其他對(duì)比算法。從秩和檢驗(yàn)結(jié)果分析，在30 個(gè)MaF 測試問題上，算法IMaOEA/D 在其中的14 個(gè)上顯著優(yōu)于RVEA，18 個(gè)上顯著優(yōu)于SPEA/R，16 個(gè)上顯著優(yōu)于RPDNSGA-II，以及在22 個(gè)上顯著優(yōu)于MOEA/DD。尤其在測試問題MaF6、MaF8 和MaF9 上，本文算法IMaOEA/D 取得了明顯的優(yōu)勢，表明該算法能較好地處理退化問題。

表1 不同算法在不同目標(biāo)維數(shù)的MaF測試問題上獲得的IGD平均值與標(biāo)準(zhǔn)差Tab.1 IGD mean values and standard deviations obtained by different algorithms on MaF test problems with different dimensions of objectives

續(xù)表

4 結(jié)語

本文提出了一種基于分解的高維多目標(biāo)改進(jìn)優(yōu)化算法（IMaOEA/D），通過引入父代選擇機(jī)制加快收斂，通過在環(huán)境選擇中確保每個(gè)參考向量都有一個(gè)個(gè)體和其對(duì)應(yīng)來提高種群的多樣性，從而平衡算法的收斂能力和種群多樣性。在具有10個(gè)和15個(gè)目標(biāo)的MaF優(yōu)化問題上進(jìn)行了測試，并將本文算法和其他4 個(gè)基于分解的優(yōu)化算法進(jìn)行了對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法在大部分高維多目標(biāo)MaF 優(yōu)化問題上具有較好的尋優(yōu)能力，且在退化問題上具有一定的尋優(yōu)優(yōu)勢。然而，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，本文算法在Pareto 面為凸面的問題，如MaF3、MaF5 和MaF15 等問題上，其性能表現(xiàn)較差。因此，今后我們將針對(duì)這類問題做進(jìn)一步的研究，以期能夠獲得這類問題的較優(yōu)非支配解集。