淺談導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

李明哲 肖明輝 阿孜古麗·哈依拜克

摘要：導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)范疇中重要的組成內(nèi)容之一，也是近代以來(lái)數(shù)學(xué)界的重要基礎(chǔ)。它在我們?nèi)粘５纳?、學(xué)習(xí)以及科學(xué)技術(shù)等方面都有著較為廣泛的應(yīng)用。微積分的創(chuàng)立為導(dǎo)數(shù)的發(fā)展提供了基礎(chǔ)，以此來(lái)促進(jìn)社會(huì)生產(chǎn)和發(fā)展。由此可見(jiàn)，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域和日常實(shí)際生活中的重要作用日益凸顯。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù);生活;最優(yōu)化;應(yīng)用

1.導(dǎo)數(shù)的概念和意義

已知函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=f（x），假設(shè)函數(shù)在某一點(diǎn)處x0的鄰域內(nèi)有定義時(shí)，在自變量x0處出現(xiàn)變化，與此同時(shí)函數(shù)值也相應(yīng)地發(fā)生變化，則=。因此當(dāng)?shù)臉O限值趨向于零時(shí)，比值極限也存在時(shí)，則（I代表常數(shù)值，我們就稱之為函數(shù)在x0處可以求導(dǎo)，極限I稱為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作）

幾何定義：曲線在點(diǎn)L（x0，）處切線的斜率稱為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即=（為切線傾斜角）。

2.導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

2.1導(dǎo)數(shù)在體積最大化問(wèn)題上的應(yīng)用

例1在梧州某健身房打算重新建造一個(gè)大型的圓柱形狀的游泳池，假設(shè)這個(gè)游泳池底面的直徑是R米，高度設(shè)置為h米，體積是V立方米，如果建筑的所有花銷只和游泳池的表面積有關(guān)系，建造側(cè)面的成本是200元/平方米，建造底面的成本是320元/平方米，建造此游泳池一共需要24000π元。那么：

（1）將把V表示成含有R變量的函數(shù)V（R）;

（2）對(duì)V（R）的單調(diào)性進(jìn)行討論，并判斷R和h取值為多少時(shí)，這個(gè)游泳池的使用體積可以達(dá)到最大。

點(diǎn)評(píng)：在一些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，如果在定義域區(qū)間內(nèi)函數(shù)同時(shí)存在兩個(gè)駐點(diǎn)的話，要根據(jù)現(xiàn)實(shí)情況對(duì)該函數(shù)正確的極值點(diǎn)進(jìn)行判斷。

2.2導(dǎo)數(shù)在成本最低、利潤(rùn)最大化上的應(yīng)用

例3[6]已知某企業(yè)的生產(chǎn)線每月可生產(chǎn)x噸的某種產(chǎn)品，同時(shí)此產(chǎn)品的市場(chǎng)需求關(guān)系表達(dá)式為x=100-q，產(chǎn)品的總成本（單位：萬(wàn)元）可以通過(guò)函數(shù)C（x）=來(lái)表示，其中q表示這種產(chǎn)品的每噸的市場(chǎng)銷售價(jià)格（單位：萬(wàn)元）。

（1）這條生產(chǎn)線每月生產(chǎn)多少噸的此類型產(chǎn)品的產(chǎn)量，可以達(dá)到最低的平均成本？

（2）這條生產(chǎn)線每月生產(chǎn)多少噸此類型的產(chǎn)品時(shí)，可以達(dá)到最大的月利潤(rùn)？最大的利潤(rùn)是多少？

分析我們經(jīng)常在工廠生產(chǎn)過(guò)程中遇到類似的問(wèn)題，大多都是關(guān)于最低成本，最大利潤(rùn)的問(wèn)題，解決這類問(wèn)題主要是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，最后在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題。

要想求解出在（0，∞）內(nèi)的最大值，需要令，根據(jù)此方程可以解得出x=39，也就是說(shuō)這條生產(chǎn)線每月此類型的產(chǎn)品要生產(chǎn)39噸時(shí)，當(dāng)月的利潤(rùn)可達(dá)到最大值，這個(gè)最大利潤(rùn)值可以表示為L(zhǎng)（x）=104×39-（萬(wàn)元）

點(diǎn)評(píng)在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解問(wèn)題時(shí)，要嚴(yán)格按照其基本步驟進(jìn)行：第①步：細(xì)讀題，仔細(xì)認(rèn)真地分析各個(gè)相關(guān)變量間的聯(lián)系;第②步：構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，基于此模型構(gòu)建出函數(shù)解析式;第③步：計(jì)算求解，分析在有意義的取值范圍內(nèi)的導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)兩邊函數(shù)值的正負(fù);第④步：獲得結(jié)果，即所求函數(shù)的最值;第⑤步：結(jié)合回到實(shí)際問(wèn)題中作答。

2.3導(dǎo)數(shù)在邊際經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中，邊際成本函數(shù)C=C（q）、邊際收入函數(shù)R=R（q）和邊際利潤(rùn)函數(shù)L=L（q）所被賦予的經(jīng)濟(jì)意義相似。通過(guò)對(duì)邊際經(jīng)濟(jì)變量的分析，可以依此為基礎(chǔ)，制定企業(yè)最佳產(chǎn)銷計(jì)劃。

例4假設(shè)某家白酒釀造廠有100t白酒，現(xiàn)在的售價(jià)是8元/千克，每多釀造一年的白酒能增值2元/千克，且每年需支付1萬(wàn)元的管理費(fèi)，由于該廠家白酒貯存，引起了企業(yè)的成本逐年增加，其中p代表白酒的零售價(jià)格，i代表利息率為10%，而每年白酒的貯存量為105。請(qǐng)問(wèn)，這些白酒貯存到第幾年時(shí)能達(dá)到效益的最大化呢？

分析假設(shè)需要經(jīng)過(guò)x年才能達(dá)到效益的最大化，根據(jù)題干的已知條件，可得到以下的函數(shù)關(guān)系式：

當(dāng)時(shí)，取得最大值，即邊際利潤(rùn)達(dá)到最大，此時(shí)的x=2.75，因此可知當(dāng)這些白酒貯存到第2.75年時(shí)能達(dá)到效益的最大化。

總結(jié)：從上述所分析情況來(lái)看，值得我們倍加關(guān)注的是，在實(shí)際生活中很多企業(yè)在制定該企業(yè)產(chǎn)品銷售計(jì)劃的時(shí)候，認(rèn)為若價(jià)格越高，所能獲得的利潤(rùn)就能達(dá)到越大，據(jù)此，這些企業(yè)便極力地將產(chǎn)品價(jià)格逐步提高。但，不可否認(rèn)的是，其所得利潤(rùn)確實(shí)有增加，但并非他們所認(rèn)為的最佳利潤(rùn)。我們可以從上面的分析過(guò)程看出，導(dǎo)數(shù)在邊際函數(shù)中的應(yīng)用可以幫助企業(yè)準(zhǔn)確的獲得邊際成本、邊際收益、邊際利潤(rùn)等多個(gè)方面的數(shù)據(jù)，并由此得出正確的結(jié)果并制定出合理的決策。

3.總結(jié)與展望

主要發(fā)現(xiàn)：導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用貫穿于生活中的眾多領(lǐng)域，本文通過(guò)分析和總結(jié)導(dǎo)數(shù)在解決工程問(wèn)題、體積最大問(wèn)題、最佳選址問(wèn)題以及邊際經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)和成本上的例子中，發(fā)現(xiàn)了利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的高效和簡(jiǎn)潔性，對(duì)于人們?cè)诜治霰容^復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題時(shí)提供了一種簡(jiǎn)便思路和方法，對(duì)于實(shí)際生活和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)頗有幫助。導(dǎo)數(shù)作為實(shí)際生活中最優(yōu)化問(wèn)題分析的常用工具，為企業(yè)制定生產(chǎn)活動(dòng)方案做出合理的決策提供具有科學(xué)性的參考依據(jù)，根據(jù)該方案來(lái)實(shí)現(xiàn)企業(yè)利潤(rùn)對(duì)大化的目標(biāo)。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的思想解決生活和經(jīng)濟(jì)上的問(wèn)題，雖然能給我們的日常生產(chǎn)實(shí)踐提供一定幫助，但是我們也要關(guān)注到問(wèn)題本身的性質(zhì)，比如復(fù)雜性和多變性，要想解決從根本上找到復(fù)雜問(wèn)題的方法，需要長(zhǎng)時(shí)間地堅(jiān)持學(xué)習(xí)和積累，方能有所提升。

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