基于修正牛頓迭代的固體運(yùn)載火箭末修級(jí)制導(dǎo)方法

葛云鵬，梁 卓，呂 瑞，涂海峰，陳 喆

（中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076）

小型固體運(yùn)載火箭為降低發(fā)射成本、提高火箭運(yùn)載能力，常采用耗盡關(guān)機(jī)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)+固定推力姿控噴管的總體方案。但該方案存在以下兩點(diǎn)問(wèn)題：（1）耗盡關(guān)機(jī)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)能量不可控，在線(xiàn)能量管理精度有限；（2）姿控噴管推力固定，制導(dǎo)指令跟蹤存在方法誤差。上述問(wèn)題均導(dǎo)致實(shí)際耗盡關(guān)機(jī)點(diǎn)軌道參數(shù)與目標(biāo)值存在偏差，需開(kāi)展軌道參數(shù)修正算法研究。

目前針對(duì)問(wèn)題（1）國(guó)內(nèi)外學(xué)者已開(kāi)展多種類(lèi)型的姿態(tài)調(diào)制制導(dǎo)[1,2]、通用能量管理（GEM）[3]、樣條能量管理（SEM）[4]等制導(dǎo)算法研究，但上述方法在設(shè)計(jì)中均忽略問(wèn)題（2）對(duì)制導(dǎo)設(shè)計(jì)的影響，認(rèn)為制導(dǎo)指令無(wú)跟蹤誤差。同時(shí)上述算法在工程應(yīng)用中對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)能量散布、推力線(xiàn)偏斜及橫移敏感，偏差工況下制導(dǎo)誤差較大，無(wú)法實(shí)現(xiàn)耗盡關(guān)機(jī)高精度入軌。

工程上為解決該問(wèn)題，常在火箭末修級(jí)安裝小推力軌控噴管實(shí)現(xiàn)對(duì)軌道參數(shù)的修正，其制導(dǎo)方法常采用迭代制導(dǎo)[5,6]或閉路制導(dǎo)[7-10]。其中閉路制導(dǎo)的關(guān)鍵在于需要速度的求解，思路為建立目標(biāo)軌道參數(shù)與入軌點(diǎn)目標(biāo)速度的關(guān)系，并調(diào)整推力方向至需要速度方向。但由于閉路制導(dǎo)未顯示約束軌道參數(shù)，一般將軌道半長(zhǎng)軸ta、軌道傾角ti和軌道偏心率te約束轉(zhuǎn)換為入軌點(diǎn)目標(biāo)速度約束，其在入軌點(diǎn)附近不穩(wěn)定，即當(dāng)待增速度較小時(shí)姿態(tài)指令存在大幅變化，需設(shè)計(jì)復(fù)雜定軸條件，制導(dǎo)存在方法誤差；而迭代制導(dǎo)同樣將目標(biāo)軌道參數(shù)進(jìn)行分解，建立制導(dǎo)變量與目標(biāo)約束的非線(xiàn)性方程，并采用牛頓迭代等方法進(jìn)行求解，其制導(dǎo)精度較高且具備較強(qiáng)的適應(yīng)性，但計(jì)算過(guò)程中需保證迭代收斂?；谝陨戏治?，本文提出一種基于修正牛頓迭代的末修級(jí)制導(dǎo)方法，通過(guò)建立制導(dǎo)變量（俯仰、偏航程序角及軌控噴管工作時(shí)間）與目標(biāo)軌道參數(shù)（at,it,et）的非線(xiàn)性方程，引入牛頓迭代修正系數(shù)保證迭代可逆性及收斂性。該方法相對(duì)基于需要速度的閉路制導(dǎo)和一般牛頓迭代制導(dǎo)方法具有軌道參數(shù)精度高、收斂域大，同時(shí)末修制導(dǎo)定軸、退出判據(jù)簡(jiǎn)單，便于工程實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)。

1 制導(dǎo)方程及制導(dǎo)變量

運(yùn)載火箭載荷釋放時(shí)刻可控軌道參數(shù)為軌道半長(zhǎng)軸a、軌道傾角i和軌道偏心率e，其目標(biāo)值由發(fā)射任務(wù)決定。根據(jù)可控性原理需至少選取三個(gè)控制量才能實(shí)現(xiàn)有效控制，本文選取俯仰程序角φ、偏航程序角ψ及軌控噴管工作時(shí)間te為制導(dǎo)變量，則軌道參數(shù)與制導(dǎo)變量的非線(xiàn)性方程可表示為：

針對(duì)上述非線(xiàn)性方程組，本文采用牛頓迭代法求解。在牛頓迭代中首先需確定非線(xiàn)性方程組迭代變量與終端約束的靈敏度。本文采用Morris[11]靈敏度分析方法對(duì)選取的軌道參數(shù)與制導(dǎo)變量進(jìn)行分析，則其靈敏度計(jì)算結(jié)果如圖1-3所示。

圖1 軌道半長(zhǎng)軸靈敏度Fig.1 Sensitivity of orbital semi major axis

圖2 軌道傾角靈敏度Fig.2 Sensitivity of orbital inclination

圖3 軌道偏心率靈敏度Fig.3 Sensitivity of eccentricity ratio

由圖1-3可知，俯仰程序角對(duì)軌道半長(zhǎng)軸、偏航程序角對(duì)軌道傾角、軌控噴管工作時(shí)間對(duì)軌道偏心率影響最大。因此選取軌道參數(shù)與制導(dǎo)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：俯仰程序角φ修正軌道半長(zhǎng)軸a，偏航程序角ψ修正軌道傾角i，軌控噴管工作時(shí)間te修正軌道偏心率e。

2 修正牛頓迭代制導(dǎo)

2.1 牛頓迭代方程

在應(yīng)用牛頓迭代法求解方程組(1)時(shí)，其解的一般表達(dá)式為：

2.矩陣F'（xi）奇異時(shí)無(wú)法進(jìn)行迭代修正。

針對(duì)上述問(wèn)題兼顧考慮迭代收斂速度，本文提出修正牛頓迭代方法，通過(guò)引入迭代修正系數(shù)矩陣λ，將原方程組(1)轉(zhuǎn)換為如下形式：

則當(dāng)原方程組F（φ,ψ,te）存在解x*時(shí)，若矩陣λ各元素非零，則G（φ,ψ,te）的解同為x*，因此迭代計(jì)算可以方程組(3)為依據(jù)。

2.2 制導(dǎo)指令計(jì)算

在牛頓迭代中需對(duì)目標(biāo)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，本文采用數(shù)值積分方法計(jì)算末修制導(dǎo)退出時(shí)刻軌道參數(shù)，其發(fā)射慣性系位置、速度計(jì)算公式如式(5)(6)所示。

其中，Δφ(i+1)、Δψ(i+1)為當(dāng)前制導(dǎo)周期解算俯仰、偏航程序角修正量， Δte(i+1)為軌控噴管工作時(shí)間修正量。在迭代偏導(dǎo)矩陣計(jì)算中為簡(jiǎn)化處理，忽略各控制量對(duì)引力加速度變化的偏導(dǎo)數(shù)，則偏導(dǎo)矩陣中各元素計(jì)算如式(10)所示：

針對(duì)系數(shù)矩陣λ（i+）1計(jì)算問(wèn)題，本文采用差分方法，即系數(shù)λa（i）、λi（i）、λe（i）分別增加修正量δλa、δλi、δλe后計(jì)算范數(shù)則系數(shù)更新如式(12)所示：

在矩陣范數(shù)選取時(shí)，考慮目標(biāo)物理量與制導(dǎo)變量的關(guān)系，將矩陣按行劃分為則其行向量模值分別表示控制量φ(i)、ψ(i)、te(i)對(duì)軌道參數(shù)a、i、e的加權(quán)修正能力。因此 'iG矩陣范數(shù)選取為矩陣行向量模值的歸一化值，即：

但由于末修級(jí)同樣采用固定推力姿控噴管作為控制機(jī)構(gòu)，姿態(tài)指令跟蹤精度受?chē)姽荛_(kāi)關(guān)門(mén)限約束。所以，為保證末修制導(dǎo)達(dá)最優(yōu)修正效果，選取末修制導(dǎo)退出條件為：定軸飛行后任意軌道參數(shù)偏差連續(xù)n個(gè)制導(dǎo)周期增大。

綜上所述，可梳理修正牛頓迭代制導(dǎo)計(jì)算流程如圖4所示。

圖4 修正牛頓迭代計(jì)算流程Fig.4 Process flow diagram of iterative computation

3 仿真校驗(yàn)

本文選取某型商業(yè)固體運(yùn)載火箭末修級(jí)參數(shù)及偏差范圍作為仿真依據(jù)，通過(guò)比較本文提出的修正牛頓迭代法與閉路制導(dǎo)[9]、一般牛頓迭代方法在入軌精度、制導(dǎo)魯棒性和迭代收斂性等方面的優(yōu)缺點(diǎn)來(lái)驗(yàn)證本文所提出方法的有效性和適應(yīng)性。

3.1 入軌精度

仿真中目標(biāo)軌道參數(shù)選取小型商業(yè)衛(wèi)星常見(jiàn)的500 km、SSO軌道，標(biāo)準(zhǔn)工況末修退出時(shí)刻軌道參數(shù)偏差詳見(jiàn)表1。

由表1可知，修正牛頓迭代法相對(duì)閉路制導(dǎo)方法和一般牛頓迭代法其軌道半長(zhǎng)軸和軌道偏心率偏差明顯較小，制導(dǎo)精度最優(yōu)。

表1 三種制導(dǎo)方法軌道參數(shù)偏差統(tǒng)計(jì)表Tab.1 The orbital parameter in different method

3.2 制導(dǎo)魯棒性

表1中僅對(duì)標(biāo)準(zhǔn)工況仿真結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，現(xiàn)通過(guò)蒙特卡洛打靶仿真的方式驗(yàn)證各制導(dǎo)設(shè)計(jì)的魯棒性，詳細(xì)結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 蒙特卡洛打靶仿真結(jié)果Tab.2 The orbit parameters in Monte Carlo

由表2可知，修正牛頓迭代相對(duì)閉路制導(dǎo)和一般牛頓迭代具有較高的入軌精度和制導(dǎo)魯棒性，相對(duì)閉路制導(dǎo)軌道半長(zhǎng)軸偏差平均降低101.2 m、1 km以?xún)?nèi)入軌概率提高8.52%，而一般牛頓迭代入軌精度下降原因?yàn)椴糠止r出現(xiàn)迭代“過(guò)修正”和迭代矩陣不可逆的現(xiàn)象。因此，仿真結(jié)果驗(yàn)證了本方法相對(duì)一般牛頓迭代法可實(shí)現(xiàn)迭代逐次遞減避免了迭代矩陣不可逆，提高了算法的收斂域，且本方法直接對(duì)軌道參數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)校正，其定軸判斷簡(jiǎn)單且為最優(yōu)修正方向。

3.3 迭代收斂性

本文提出的修正牛頓迭代從計(jì)算流程上可認(rèn)為是“修正系數(shù)λ+制導(dǎo)變量（φ，ψ，te）”的雙環(huán)迭代。其修正系數(shù)和制導(dǎo)變量的收斂性是通過(guò)控制矩陣的范數(shù)實(shí)現(xiàn)，標(biāo)準(zhǔn)工況下修正系數(shù)矩陣λ中各系數(shù)修正量及矩陣范數(shù)如圖5-6所示。

圖5 修正系數(shù)的修正量示意圖Fig.5 Correction value of factors λa / λi /λe

由圖5、圖6可知修正系數(shù)λa（i）、λi（i）、λe（i）的修正量在較短時(shí)間內(nèi)收斂為0（標(biāo)準(zhǔn)工況約3 s），矩陣范數(shù)同樣收斂至極小值，迭代收斂性理論與仿真結(jié)果一致。

圖6 矩陣G'范數(shù)示意圖Fig.6 Matrix norm of ||G'||

標(biāo)準(zhǔn)工況制導(dǎo)輸出程序角指令及軌控噴管工作時(shí)間如圖7所示。

圖7 制導(dǎo)指令示意圖Fig.7 Guidance Order at terminal correction phase

由圖7可知輸出程序角平穩(wěn)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)軌控噴管工作時(shí)間和軌道參數(shù)的有效控制。同時(shí)由于該型固體運(yùn)載火箭軌控噴管為反向安裝，圖7中所示工況為反推減速入軌，因此存在偏航“掉頭”現(xiàn)象。

4 結(jié) 論

針對(duì)固體運(yùn)載火箭末修級(jí)軌道參數(shù)修正，提出一種修正牛頓迭代制導(dǎo)方法。該方法通過(guò)引入修正系數(shù)λ，在線(xiàn)迭代偏導(dǎo)矩陣范數(shù)逐次遞減方向，保證了制導(dǎo)精度與迭代收斂速度。結(jié)果表明，該方法相對(duì)閉路制導(dǎo)方法和一般牛頓迭代法具有入軌精度高、制導(dǎo)適應(yīng)性強(qiáng)、迭代收斂域大的優(yōu)點(diǎn)，其制導(dǎo)變量與目標(biāo)軌道參數(shù)直接對(duì)應(yīng)，可適用于具備末修軌控噴管的任意軌道入軌制導(dǎo)設(shè)計(jì)，具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值。