基于TL矩法的洪水頻率分布參數(shù)估計方法優(yōu)選

賈一凡，宋松柏

(1.西北農(nóng)林科技大學水利與建筑工程學院,陜西 楊凌 712100； 2.西北農(nóng)林科技大學旱區(qū)農(nóng)業(yè)水土工程教育部重點實驗室,陜西 楊凌 712100)

洪水是最常見的自然災害之一，利用有限的水文觀測資料發(fā)掘洪水規(guī)律，并據(jù)此制定相應的預防措施可以避免或減少不必要的損失[1]。洪水頻率分析通過選定的頻率分布來估計洪水特征值，預測未來事件的發(fā)生概率。洪水頻率分布參數(shù)的合理估計，直接影響洪水設計值計算的合理性。由于氣候變化及人類活動的影響，洪水的驅動機制及發(fā)生規(guī)律等出現(xiàn)了顯著的變化，針對這些變化，近年來國內外學者不斷開展洪水頻率分析的不確定性研究，以提高洪水預報精度[2-5]。

洪水頻率分析的關鍵步驟為頻率分布線型及參數(shù)估計方法的選擇，它們決定了擬合的效果[6]。目前較為廣泛使用的頻率分布有P-Ⅲ分布、對數(shù)P-Ⅲ分布、廣義Pareto分布(GPA)、廣義極值分布(GEV)、廣義Logistic分布(GLO)和Gamma分布等。常用的參數(shù)估計方法有矩法(MOM)、線性矩法(LM)、極大似然法(MLE)、適線法及概率權重矩法(PWMM)等[7]，這些方法各有優(yōu)缺點，在不同實例中應用時會產(chǎn)生較大差異[8]。極大似然法估計的參數(shù)是漸近有效和無偏的，因此優(yōu)于矩法[9]，但它求解過程煩瑣。傳統(tǒng)矩法采用樣本矩代替總體矩，原理簡單，實際應用方便，但是偏態(tài)系數(shù)會產(chǎn)生較大誤差，導致該方法不能輕易作為單獨的估計方法來使用[10]，通常與其他方法參照應用[11]。相比傳統(tǒng)矩法，線性矩法受樣本變異性的影響較小，具有良好的不偏性。同時，對于數(shù)據(jù)中的異常值，線性矩法比傳統(tǒng)矩法更加穩(wěn)健，并且能從小樣本中推斷可能的概率分布[12]，但該方法的缺點是對水文極值序列中極大值和極小值反應不敏感。

在線性矩法的基礎上，進行大幅度修改的TL矩法(TLM)[13]于2003年被提出，該方法對極端觀測值分配零權重，消除了小樣本序列中零值產(chǎn)生的不利影響。從總體線性矩的意義上來說，在TL矩中，概念樣本次序統(tǒng)計量的期望被較大樣本次序統(tǒng)計量的期望所代替，其增加的樣本數(shù)量等于修正的總量，所以TL矩相比線性矩和傳統(tǒng)矩具有一定的優(yōu)勢[14]。從TL矩法提出至今，國外學者解決了該方法的實際應用問題。Ahmad等[15]對GPA、GEV、GLO分布的TL矩法(修正量t1=1,t2=0)參數(shù)估計式進行了推導。Mat等[16]整理計算出了三參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布和P-Ⅲ分布的TL矩，其中修正量t1=1，2，3，4。TL矩法在實際應用中存在修正量的選擇問題，Ahmad等[17]研究表明，與TL矩法和線性矩法相比，僅調整最小值的TL矩法(修正量t1=1,t2=0)在估計高流量分位數(shù)方面具有更高的精度，它能夠減少小樣本值的不利影響。由于TL矩法的優(yōu)越性，TL矩法逐漸應用于洪水頻率分布參數(shù)估計[18-25]。

線性矩法是使用較為成熟的一種參數(shù)估計方法，在洪水頻率分析中應用廣泛，而基于線性矩法發(fā)展起來的TL矩法在一些研究中表現(xiàn)出較好的擬合效果。目前，我國還缺乏該方法的普適性研究。本文以陜北地區(qū)神木、綏德、杏河、劉家河、黃陵和志丹6個水文站的年最大洪峰流量序列為例，選取常用的3個三參數(shù)分布(GPA、GEV、GLO)，分別用極大似然法、線性矩法及TL矩法進行參數(shù)估計，采用確定性系數(shù)(R2)和均方根誤差(RMSE)進行分布線型及參數(shù)估計方法優(yōu)選[26]。

1 3種概率分布參數(shù)的TL矩法估計

Hosking[12]將線性矩定義為概率權重矩的線性組合。假設隨機變量X是樣本容量為r的樣本，X1:r≤X2:r≤…≤Xr:r表示相應的次序統(tǒng)計量，其定義的線性矩為

(1)

式中E(Xr-k:r)為容量為r的樣本中第r-k位的次序統(tǒng)計量的期望值。

L-偏態(tài)系數(shù)和L-峰度系數(shù)為

(2)

從樣本次序統(tǒng)計量X1:n≤X2:n≤…≤Xn:n中估算樣本線性矩[18]：

(3)

式中n為樣本容量。

Elamir等[13]提出的TL矩法在線性矩法的基礎上進行了大幅度的修改，將樣本容量r替換為r+t1+t2，其中增加的樣本數(shù)量為t1個概念樣本中的最小值與t2個概念樣本中的最大值個數(shù)之和。因此，式(1)中的E(Xr-k:r)替換為E(Xr+t1-k:r+t1+t2)。在TL矩法的研究中，主要問題是修正量t1和t2的選擇，經(jīng)過經(jīng)驗及理論驗證，樣本中較小的值會影響高分位數(shù)估計時的準確性，因此僅修正最小值即t2=0時就可以得到準確的結果。研究[15,27-28]表明，修正量t1=1、t2=0時TL矩法能得到更好的參數(shù)估計結果，因此本文取t1=1，t2=0。

將r階的TL矩定義為

(4)

取t1=1，t2=0，得到前4階TL矩：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

從樣本次序統(tǒng)計量X1:n≤X2:n≤…≤Xn:n中估算樣本TL矩：

(10)

樣本TL-偏態(tài)系數(shù)與樣本TL-峰度系數(shù)計算公式為

(11)

a.GPA分布參數(shù)的TL矩法估計。GPA分布的分位數(shù)函數(shù)為

(12)

對應TL矩法參數(shù)估計式[29]為

(13)

(14)

(15)

b.GEV分布參數(shù)的TL矩法估計。GEV分布的分位數(shù)函數(shù)為

(16)

對應TL矩法參數(shù)估計式[15]為

(17)

(18)

(19)

c.GLO分布參數(shù)的TL矩法估計。GLO分布的分位數(shù)函數(shù)為

(20)

對應TL矩法參數(shù)估計式[17]為

(21)

(22)

(23)

2 數(shù)據(jù)資料

選取陜北地區(qū)神木、綏德、杏河、劉家河、黃陵和志丹6個水文站的年最大洪峰流量資料，開展基于極大似然法、線性矩法和TL矩法的參數(shù)估計方法對比研究，進行GPA、GEV、GLO 3種三參數(shù)分布的曲線擬合，選用確定性系數(shù)和RMSE準則分析不同頻率分布及不同參數(shù)估計方法下的擬合效果。經(jīng)審查，選用資料滿足一致性、可靠性及代表性要求，可用于計算。具體資料系列長度如表1所示。

表1 洪水資料系列長度

2.1 參數(shù)估計及曲線擬合

利用Matlab編程，將GPA、GEV、GLO 3種三參數(shù)分布通過極大似然法、線性矩法及TL矩法計算得到α、ξ和k3個參數(shù)值，參數(shù)估計結果如表2所示。

分析3種參數(shù)估計方法下的3種分布線型對經(jīng)驗點據(jù)的擬合情況，繪制頻率曲線，以GPA分布線型為例，結果如圖1所示。

從圖1可以看出，整體上線性矩法與TL矩法的擬合效果優(yōu)于極大似然法，能兼顧到經(jīng)驗點據(jù)各部分。神木站和綏德站上尾部分TL矩法擬合效果更好，下尾部分擬合效果不及極大似然法與線性矩法；劉家河、黃陵和志丹站線性矩法與TL矩法擬合效果相當且優(yōu)于極大似然法。結合實際來看，洪水頻率分析中更為注重上尾部分的擬合，因此TL矩法在上尾部分較優(yōu)的擬合效果更有利于洪水設計值的選定。

2.2 擬合優(yōu)度評價

確定性系數(shù)通常用于判斷觀測值與設計值的擬合程度，它是頻率分布優(yōu)選的常用指標之一。確定性系數(shù)值越接近于1，表明設計值越接近于實際觀測值，即擬合效果越好。各站年最大洪峰流量序列不同參數(shù)估計方法確定性系數(shù)計算結果如表3所示。

從表3結果來看，除杏河站之外的其他5個水文站GPA分布確定性系數(shù)值均大于GEV分布以及GLO分布，依據(jù)數(shù)值接近1的原則，得出神木、綏德、劉家河、黃陵和志丹5個水文站選用GPA分布來描述更合適，GEV分布次之。而杏河站GEV分布的確定性系數(shù)值相比GPA分布與GLO分布要更接近于1，選用GEV分布擬合效果最優(yōu)，GLO分布次之。由于杏河站年最大洪峰流量序列長度遠小于其他5個水文站，小樣本量可能會影響頻率分布線型的選擇而產(chǎn)生誤導性結果，因此認為該區(qū)域用GPA分布擬合年最大洪峰流量序列較為準確。

表2 各水文站年最大洪峰流量序列分布參數(shù)估計結果

(a) 神木

(b) 綏德

(c) 杏河

(d) 劉家河

(e) 黃陵

(f) 志丹

2.3 誤差分析

選取RMSE來定量評價參數(shù)估計方法，并進行參數(shù)估計方法優(yōu)選。RMSE能衡量觀測值與設計值之間的偏差，RMSE值越小擬合效果越好。各水文站對應RMSE值如表4所示。

表3 各水文站年最大洪峰流量序列不同參數(shù)估計方法確定性系數(shù)

表4 各水文站年最大洪峰流量序列不同參數(shù)估計方法RMSE值

由表4結果可知，對6個水文站進行頻率分析后，極大似然法對應的RMSE值均大于線性矩法與TL矩法的RMSE值，表明極大似然法的擬合效果劣于線性矩法及TL矩法。同時，線性矩法與TL矩法相比，作為基于線性矩法擴展而來的TL矩法，其對應RMSE值更小，因此兩者相比，TL矩法優(yōu)于線性矩法。

3 結 論

a.選取的3種三參數(shù)分布中，杏河站用廣義極值分布描述更為合理，而廣義Pareto分布能較好地擬合神木、綏德、劉家河、黃陵和志丹5個水文站年最大洪峰流量序列。

b.線性矩法和TL矩法擬合效果優(yōu)于極大似然法，而線性矩法與TL矩法兩者相比，TL矩法表現(xiàn)更優(yōu)。在對陜北地區(qū)的洪水頻率分析中，TL矩法是一種可取的、擬合效果合理的參數(shù)估計方法。