Sobolev及Besov空間中Bochner-Riesz算子的逼近

鐘 宇，楊柱元，官心果

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

非光滑函數(shù)的Fourier逆變換是調(diào)和分析中的一個重要問題，實(shí)際上可轉(zhuǎn)化為討論Fourier積分對應(yīng)核函數(shù)的線性求和取平均的收斂性問題.Bochner-Riesz平均是多元Fourier分析中常見的求和方法之一，由此定義了頻率截?cái)嗟腇ourier積分算子，即Bochner-Riesz平均算子.Bochner-Riesz算子大于臨界階指標(biāo)時有著許多有價值的結(jié)論，而小于或等于臨界階指標(biāo)時有著截然不同的情況.Herz[1]于1954年得到了Bochner-Riesz算子L p有界的必要條件，隨后人們就對其充分性進(jìn)行了猜測，即為眾所周知的Bochner-Riesz猜想.Carlson等[2]利用震蕩型積分的方法解決了二維情況下的Bochner-Riesz猜想，而高維情況仍在探索之中.雖然解決Bochner-Riesz猜想舉步維艱，但是仍有許多國內(nèi)外的學(xué)者在這個領(lǐng)域進(jìn)行求索，比如張軍勇[3]將廣義Boch ner-Riesz算子的L p有界性的結(jié)論從Gauss曲率處處不為零的集合推廣到凸有限型幾何性質(zhì)的集合上，促使Boussinesq色散方程的Strichartz估計(jì)得到進(jìn)一步的研究；Kim[4]研究了函數(shù)的齊次度為d時大于臨界階的徑向廣義Bochner-Riesz算子在不同空間的有界性.由此可見，Bochner-Riesz算子的L p有界性問題既是挑戰(zhàn)，也是開展下一步研究的基石.

Stein[5]利用插值定理證明了Bochner-Riesz算子在L p(1?1時的Bochner-Riesz算子：， 得 到. 迄今為止，多數(shù)文獻(xiàn)僅研究了L p空間中Bochner-Riesz算子逼近的正定理，因此，本文在上述成果的基礎(chǔ)上，研究了Fourier-Chebyshev展開的Bochner-Riesz算子在LW p[?1,1]空間中的有界性，進(jìn)而對加權(quán)Besov空間進(jìn)行刻畫.

文中涉及的C是與之對應(yīng)的相關(guān)常數(shù)，含義各不相同，但與正文中的f與k,n,m,N無關(guān).

1 預(yù)備知識

設(shè)1 ≤p≤∞，定義權(quán)函數(shù)類

及

其中

定義內(nèi)積

定義自共軛微分算子

它滿足如下的關(guān)系

即微分算子的譜為( ?1)k2.

高階微分算子由下式歸納定義

若f∈LW1，則f有如下展開形式

其中

部分和為

定義Bochner-Riesz算子

設(shè)函數(shù)g(x)∈L p(?π,π)，g(x)的共軛函數(shù)[14]定義為

設(shè)f∈LW p,1≤p,θ≤∞,0<γ

引理1[14]對g∈L p(?π,π)，1 ≤p≤+∞，g的共軛函數(shù)在x∈[?π,π]上幾乎處處存在且有限，并且當(dāng)1

引理2（Abel引理）設(shè)εi,vi(i=1,2,···,n)為2組實(shí)數(shù)，令σk=v1+v2+···+vk(k=1,2,···,n)，則有

引理3[17]對于pn∈Pn有Bernstein型不等式

引理4[16]存在C>0,u>0使得正數(shù)列滿足

則對0 <γ<λ， θ>0有

引理5任取g∈L p[?1,1]， 則滿足以下交換關(guān)系P(D)Rn(g)=Rn(P(D)g).

證明

證畢.

推論1P(D)αRn(g)=Rn(P(D)αg)( 1<α∈N).

引理6對f∈LW p， 1 0有

證明由K-泛函定義，引理3及定理4知

證畢.

2 加權(quán)Sobolev及Besov空間中Bochner-Riesz算子的逼近

下面將闡述并證明本文的主要結(jié)果：

定理1f∈LW p,10，則存在僅與參數(shù)b,r有關(guān)的常數(shù)C>0，使得

證明

令a rccost=u,arccosx=y， dt=d cosu=?sinudu，f(t)=f(cosu)=g(u)，則

令u=?v，且余弦函數(shù)是周期為 2π 的偶函數(shù)

則

其中

由引理1得

因此

證畢.

定理2設(shè)g∈C2r[?1,1],b>0，且滿足，對于1

證明令由特征關(guān)系可得

由引理3和定理1得

故

同理

當(dāng)n取充分大時

因?yàn)?/p>

當(dāng)pk∈Pk(k≤N)時，易證.而多項(xiàng)式在LW p中是稠密的且由定理1易證

證畢.

定理3f∈LW p,1

證明由定理1和定理2得

由Kr(f,t)p,W定義知，定理3得證.證畢.

定理4對，有

證明易證

必要性由定理3得證；充分性由引理4及引理6得證.證畢.

3 總結(jié)

本文證明了Fourier-Chebyshev展開的Bochner-Riesz算子在加權(quán)Sobolev空間中的有界性，利用得到了C Kr(f,n?2)p,W，進(jìn)而刻畫出加權(quán)Besov空間. 事實(shí)上，還存在一些與Chebyshev多項(xiàng)式一樣有著很好性質(zhì)的多項(xiàng)式，如Gegenbauer多項(xiàng)式、Hermite多項(xiàng)式等，因此，我們接下來的工作就變得十分明朗.