L 2上復(fù)變函數(shù)的傅里葉級數(shù)逼近

楊 剛，谷 懿

(云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，云南 昆明 650500)

精確的Jackson不等式研究已經(jīng)有50余年的歷史，為了敘述已有的研究結(jié)果，先敘述一些相應(yīng)的記號；L2(U)表示自變量在區(qū)域 U 內(nèi)平方可積的復(fù)函數(shù)空間.在L2(U)上定義函數(shù)f范數(shù)為

這里|f(z)|表 示函數(shù)f的模，Pn為次數(shù)不高于n的代數(shù)多項式函數(shù)空間.函數(shù)空間Pn對函數(shù)f的最佳逼近表達式為

在復(fù)數(shù)域上K 泛函[1]表達式為

Saidusaynov[1]和Shabozov等[2]研究L2(U)， U={z∈C:|z|<1} 上解析函數(shù)的逼近問題，得到K 泛函與最佳逼近En?1(f)2的精確Jackson不等式和關(guān)于 K 泛函的函數(shù)類的寬度.

Shabozov等[2]定義L2(U)， U={z∈C:|z|<1}上解析函數(shù)的平移算子Fh：

計算可得函數(shù)f的m階差分為

根據(jù)平移算子定義了m階連續(xù)模

給出最佳逼近En?1(f)2與函數(shù)zr f(r)的m階連續(xù)模的精確Jackson不等式和關(guān)于的函數(shù)類的寬度（也可參考文獻[3]～[4]）.Shabozov等[5]得到分別關(guān)于m階連續(xù)模和K 泛函這2個函數(shù)類的最佳逼近.Abilov[4]等得到關(guān)于最佳逼近En?1(f)2和m階連續(xù)模的Jackson不等式的逆定理.

在實數(shù)域R 上，Vakarchuk[6]給出在L2(R)上的關(guān)于K 泛函的函數(shù)類寬度.Vakarchuk[7]和Vinogeadov等[8]在L2(R)上得到最佳逼近En?1(f)2和連續(xù)模的精確Jackson不等式（也可參考文獻[9]）；Esmaganbetov[10]在上得到最佳逼近En?1(f)2與連續(xù)模的精確Jackson不等式以及函數(shù)類的寬度.Trigub[11]在L2[0,1]上用多項式函數(shù)逼近光滑函數(shù)得到最佳逼近的估計.參考文獻[12]～[13]討論了函數(shù)以及算子的一些相關(guān)性質(zhì).在文獻[14]中，孫永生介紹了經(jīng)典的精確Jackson不等式.

1 預(yù)備知識

如果f∈L2(U)， 則我們?nèi)在正交系統(tǒng)下的傅里葉級數(shù)幾乎處處有

對函數(shù)f求r階導(dǎo)數(shù)，則有即令C，則

這里En?1(f)2表示用Pn?1函數(shù)來逼近f得到的最佳逼近.Pn?1表示z?1次數(shù)小于等于n?1 的函數(shù)全體.

定義1函數(shù)

定義2平移算子Fh的表達式為

定義3函數(shù)f的m階連續(xù)模為

根據(jù)（1）和（4）式可得到函數(shù)f的一階差分為計算可得函數(shù)f的m階差分為

在L2空間的正交系統(tǒng)下得出函數(shù)f的m階差分的范數(shù)為

再根據(jù)（2）和（5）式得到函數(shù)zr f(r)的m階連續(xù)模為

2 關(guān)于Ω m 和K 泛函的Jackson不等式的主要結(jié)果

定理1對于n∈N,r∈Z+,n>r≥1，有

證明根據(jù)（3）式對最佳逼近的定義知化簡得到

因此，對f∈L2得到（7）式右邊的上界

又因為f0=z?n，則有，根據(jù)（3）式對最佳逼近的定義知

從而得到（7）式左邊的下界

證畢.

在定理1成立的基礎(chǔ)之上，下面給出最佳逼近En?1(f)2與的精確Jackson不等式.

定理2對于n,m∈N,r∈Z+,n>r≥1,t∈(0,1)，則有

證明根據(jù)函數(shù)zr f(r)的m階連續(xù)模、（3）和（7）式得

從而得（8）式右邊的上界

從而得（8）式左邊的下界

證畢.

下面得到函數(shù)zr f(r)的m階連續(xù)模在區(qū)間(0,h) 上加權(quán)積分與最佳逼近En?1(f)2的精確Jackson不等式.

定義4[2]加權(quán)函數(shù)q(t)是區(qū)間 (0 ,h) 上實的非負可測函數(shù)，且不恒等于0.

定理3對于n,m∈N,r∈Z+,n>r≥1,h∈(0,1),0

證明閔可夫斯基不等式為

在0

再根據(jù)連續(xù)模的定義知

由（3）和（6）式得

再由（7）式，得到（9）式右邊的下界

因為f0=z?n∈L2， 則有，根據(jù)（3）和（6）式得

從而得到（9）式左邊的下界

證畢.

推論1對于是區(qū)間( 0,h)上的權(quán)函數(shù)，則

定義5K 泛函的表達式為

這里g在圓盤上且洛朗展式為.下面得到了最佳逼近En?1(f)2和 K 泛函的精確Jackson不等式.

定理4對于n,m∈N,r∈Z+,n>r+m≥1，則

證明對任意的g∈L(2m)都有‖g?S n?1(g)‖2=En?1(g)2，根據(jù)（7）式得

令g=0，根據(jù) K 泛函的定義得Km(f,t m)2≤‖f‖2；因為f0=z?n∈L2， 則有.根據(jù)（3）和（11）式得

從而得（12）式左邊的下界

證畢.

定理5（逆定理）對于n,m∈N,r∈Z+,n>r≥1,t∈(0,1)，有

證明令則有.由連續(xù)模的定義知

證畢.

3 函數(shù)類的最佳逼近

定義6函數(shù)Φ 定義在R+上單調(diào)遞增的實函數(shù)，且滿足Φ (0)=0和Φ (t)→0(t→0).

定義73種函數(shù)類：

定義8[5]M(r)表示的子類，函數(shù)類M(r)的最佳逼近表達式為

定理6對于n,m∈N,r∈Z+,n>r≥1,t∈(0,1)，Φ 是函數(shù)類上的限制函數(shù)（見定義6，7），則

證明由（8）式知，對任意的，有

再由（14）式，得到（15）式右邊的上界

證畢.

定理7對于n,m∈N,r∈Z+,n>r≥1,0

證明由（9）式知，對任意的有

再由（14）式，得到（16）式右邊的上界

證畢.

定理 8對于是函數(shù)類上的限制函數(shù)（見定義6，7），有

證明由（12）式知，對任意的，有

再由（14）式，得（17）式右邊的上界

證畢.

4 關(guān)于函數(shù)類寬度的求解

定義9[3]B是在L2空間下的單位球，假設(shè)Λn?L2是n維子空間；Λn?L2是n維余子空間；σ:L2→Λn是線性連續(xù)算子， σ⊥:Λn→L2是線性連續(xù)算子，M是L2下的凸對稱子集，定義：

在希爾伯特空間中有

定理9對于n,m∈N,r∈Z+,n>r≥1,t∈(0,1)，Φ 是函數(shù)類上的限制函數(shù)（見定義6，7），有

這里的λn(·)表示bn(M,L2),d n(M,L2),dn(M,L2),δn(M,L2),Πn(M,L2)中任意一種寬度.

證明由（15）式知，再根據(jù)n維寬度的定義和（18）式，得（19）式右邊的上界

令n+1 維函數(shù)為這里n+1 維球體是

證畢.

定理10對于n,m∈N,r∈Z+,n>r≥1,0

這里的λn(·)表示bn(M,L2),d n(M,L2),dn(M,L2),δn(M,L2),Πn(M,L2)中任意一種寬度.

證明由（16）式知

再根據(jù)n維寬度的定義和（18）式，得（20）式右邊的上界

令n+1 維球體為

這里Qn+1為定理9證明過程中的Qn+1.由連續(xù)模的定義知， 則再根據(jù)（18）式，得（20）式左邊的下界

證畢.

定理11對于是函數(shù)類上的限制函數(shù)（見定義6，7），有

這里的λn(·)表示bn(M,L2),d n(M,L2),dn(M,L2),δn(M,L2),Πn(M,L2)中任意一種寬度.

證明根據(jù)（17）式知再根據(jù)n維寬度的定義和（18）式，得（21）式右邊的上界

令n+1 維球體為

這里Qn+1為定理9證明過程中的Qn+1. 根據(jù)K 泛函的定義知，當(dāng)g=0時， K(f,t m)2≤‖f‖2.把函數(shù)帶入 K 泛函里得

證畢.

5 總結(jié)

致謝：感謝審稿人給予的寶貴意見.通信作者感謝國家留學(xué)基金委員會給予的資助.