逐時降雨的類條件概率密度分區(qū)比較與擬合函數(shù)初探

沈鐵元，劉靜，向怡衡，祁海霞，殷志遠(yuǎn)，王俊超

(1.中國氣象局武漢暴雨研究所，暴雨監(jiān)測預(yù)警湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430205；2.湖北省氣象服務(wù)中心，武漢 430205)

引 言

降雨的概率密度(Probability density，簡記為PD)函數(shù)能反映降雨的氣候與區(qū)域特征以及實(shí)況降水中較少觀測到的強(qiáng)降水發(fā)生的可能性與分布，為此20世紀(jì)一些學(xué)者基于日降雨觀測開展了研究。張耀存和丁裕國(1991)建立了降雨量概率分布的通用模式；丁裕國(1994)等利用日降雨觀測資料驗(yàn)證了氣候降水量頻數(shù)分布的最佳模式，并理論證明了降雨量頻數(shù)(時間域、空間域)的最可幾分布為Γ分布，由此構(gòu)建了較完備的降雨概率密度理論體系，擬合函數(shù)普適性強(qiáng)，擬合參數(shù)物理意義明晰，并由此帶來計(jì)算與分析上的便利，但是這種采用極大似然估計(jì)法的優(yōu)勢并不在于擬合精度。丁裕國等(2009)介紹了氣候概率分布理論及其應(yīng)用研究增加的新內(nèi)涵與進(jìn)展；魏鋒等(2005)基于概率加權(quán)、Ding等(2008)采用廣義帕雷托分布(GPD)和廣義極值分布(GEV)對極端降水時空分布進(jìn)行模擬。類似研究工作的進(jìn)展推進(jìn)了其應(yīng)用領(lǐng)域的拓展，使其在分析與預(yù)報(bào)極端強(qiáng)降雨與洪水、計(jì)算設(shè)計(jì)暴雨雨型與暴雨強(qiáng)度公式、分析自動雨量站觀測數(shù)據(jù)質(zhì)量等方面成為了一種重要工具。另外，Dijkvan等(2004)應(yīng)用其來建立徑流與土壤侵蝕模型；向小龍等(2020)將其應(yīng)用于建立滑坡失穩(wěn)概率模型；周建中等(2020)建立的水文預(yù)報(bào)方法及系統(tǒng)中使用了強(qiáng)降雨和弱降雨下的后驗(yàn)概率密度函數(shù)；Zou等(2014)利用其來檢驗(yàn)區(qū)域氣候模式中積云參數(shù)化方案的優(yōu)化效果；Ogarekpe等(2020)利用其來檢驗(yàn)了16個全球環(huán)流模式的月降雨模擬結(jié)果；陳愛軍等(2018)將其應(yīng)用于評估衛(wèi)星降水估計(jì)精度；沈艷等(2013)將其應(yīng)用于評估降水量融合產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)。近年來一些研究使用概率密度匹配法來改進(jìn)定量降雨估算結(jié)果，如宇婧婧等(2013)改進(jìn)的衛(wèi)星估算降水方法、Seppo等(2016)建立的雷達(dá)估算降雨模型、潘旸等(2018)介紹的高分辨率三源融合降水產(chǎn)品業(yè)務(wù)系統(tǒng)。

PD應(yīng)用的拓展又對其研究工作提出了更高的需求，當(dāng)前降雨觀測時空分辨率得到了大幅提高，以日降雨資料得出的研究結(jié)果需要以新的海量資料來發(fā)展完善。隨著我國自動氣象站逐步增加，利用逐時降雨有了大量研究，其中涉及概率密度或(和)概率分布的相對較少，姚莉等(2009)基于我國485站14 a逐時降雨分析了六個雨強(qiáng)級別的年均發(fā)生頻率、日變化和極端降水等，指出百年一遇的逐時降雨量達(dá)100～150 mm，高值區(qū)主要在東南沿海一帶。其中研究對象雖是降雨發(fā)生頻率(頻次)，但分別針對六個雨強(qiáng)級別來分析，已具備逐時降雨概率密度的雛形。田付友等(2014)用518個站點(diǎn)18年暖季的小時降水資料，用Γ函數(shù)估算概率密度分布，給出了超過閾值的降水累積概率分布，認(rèn)為極端小時降水的閾值自西北向東南增大，華南沿海和海南島西北部為短時強(qiáng)降水最容易出現(xiàn)的區(qū)域。趙琳娜等(2017)用中國東南818個國家站33 a夏季小時降水資料以及臺風(fēng)路徑觀測數(shù)據(jù)分離出臺風(fēng)降水后擬合Gamma概率密度函數(shù)分布參數(shù)，得到臺風(fēng)小時降水總的降水概率分布特征以及不同臺風(fēng)影響距離和臺風(fēng)強(qiáng)度影響下超過給定閾值的降水累積概率分布與極端降水閾值。王彬雁等(2018)用皮爾遜Ⅲ型概率分布模型對四川省測站降水進(jìn)行擬合，根據(jù)降水累積概率空間分布的擬合函數(shù)，計(jì)算了最大小時降水量的概率分布及其重現(xiàn)期極值。這些研究承襲了極大似然估計(jì)法使用Gamma函數(shù)(或其變形)來擬合，均未給出擬合優(yōu)度(或確定系數(shù))、均方差之類的擬合統(tǒng)計(jì)量。

對于逐時降雨的概率密度(或分布)，極端強(qiáng)降雨的發(fā)生是小概率事件，樣本數(shù)量非常有限，降雨概率密度的研究勢必受到觀測資料年限的限制，相關(guān)研究較難深入開展，致使目前降雨概率密度尚難以得到精細(xì)化的結(jié)果，其函數(shù)擬合精度仍需提高、降雨等級需要細(xì)化，特別是對強(qiáng)降雨段(或小概率降雨段、長重現(xiàn)期降雨段)有待提高。當(dāng)前降雨觀測條件的改善，同時先進(jìn)的數(shù)學(xué)擬合技術(shù)也大為改觀，為提高擬合精度提供了有力支撐，勢必推動降雨概率密度研究向精細(xì)化方向發(fā)展，并為相關(guān)應(yīng)用奠定更科學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)。精細(xì)化研究包括七個發(fā)展方向：細(xì)化分類；提高擬合精度；增強(qiáng)擬合函數(shù)與方法普適性；細(xì)分降雨等級；延展至更強(qiáng)降雨；結(jié)合地理地形篩選降雨結(jié)構(gòu)特征參數(shù)及其時空分布的影響因子分析；研究聯(lián)合概率密度分布，聯(lián)合的對象諸如雷達(dá)回波、云反射因子、各高度層溫壓濕風(fēng)等氣象要素與降雨。其中“細(xì)化分類”這一方向便牽出了降雨的類條件概率密度(CCPD)，參考邊肇祺(2000)關(guān)于類條件概率密度的概念，定義降雨的類條件概率密度為在某降雨定條件或類別狀態(tài)下的概率密度，是概率密度下的次級“小”概念，其定義域是降雨概率密度定義域的子域，其在定義域內(nèi)的積分為1。定條件是指有雨、連續(xù)性降雨這樣的條件(另外還可設(shè)定為強(qiáng)降雨、夏雨、夜雨、臺風(fēng)降雨、暖季降雨等)；類別狀態(tài)指降雨歷時、無降雨歷時這樣的類別。降雨的類條件概率密度在其函數(shù)定義域內(nèi)與降雨概率密度存在倍率關(guān)系。引入這一概念是為了對特定條件或類別開展分析研究，從而能夠更深入細(xì)致地去探討降雨結(jié)構(gòu)特征及地域差異。以往也曾有過相關(guān)研究，但均使用概率分布(或概率密度)來表述，致使大小概念混用，該概念的引入能梳理相關(guān)概念并分類歸納，建議逐步規(guī)范以避免大小概念混用。

本文在我國洪澇災(zāi)害主要發(fā)生區(qū)內(nèi)以空間開窗口方式選擇六個分區(qū)，細(xì)分四十二個降雨等級，統(tǒng)計(jì)逐時降雨量、逐時連續(xù)降雨過程雨量、逐時連續(xù)降雨歷時等三類類條件概率密度進(jìn)行分區(qū)比較，選擇一種與以往研究不同的擬合方法和擬合函數(shù)開展擬合研究，從而得到高精度的降雨類條件概率密度算法，以期為定量降雨估算中概率密度匹配法等提供新的、更細(xì)致可靠的數(shù)據(jù)來源。

1 資料與方法

1.1 研究區(qū)域

為了更好地了解我國長江梅雨鋒地帶上的降雨特征，沿30°N選取四個經(jīng)緯度長方形區(qū)域?yàn)檠芯繉ο?，同時在其南北各選取了一個區(qū)域來與之進(jìn)行比較分析。圖1給出了六個分區(qū)及所處地理位置示意圖。圖中分區(qū)編號I、II、III、IV、V、VI按降雨頻率降序排列，前五個分區(qū)年均降水量大于1 000 mm，VI區(qū)最小、不足800 mm。I、II、III、IV區(qū)同在30°N線上。I區(qū)位于四川雅安附近，由于其周邊地形坡降大，為避免代表性的減弱而選取了1°×0.6°相對較小的范圍；V區(qū)范圍2.6°×2.3°，包含海南全島；II區(qū)位于杭州灣以西，III區(qū)位于鄂西南山區(qū)，IV區(qū)位于江漢平原南部，VI區(qū)位于華北平原、黃河流域內(nèi)，這四個分區(qū)經(jīng)緯度范圍均為2°×1°。

圖1 研究選定的六個分區(qū)(紅色方框內(nèi)是分區(qū)編號)方框內(nèi)及所處地理位置示意圖Fig.1 The research selected six sub-regions(red boxes with division number in the boxes)and schematic diagram of their geographical location.

1.2 資料說明

本文使用了六個分區(qū)內(nèi)近1700個自動降雨觀測站（含國家站和區(qū)域站）近年的逐時降雨觀測資料(以下簡稱HR)，其中V區(qū)使用了海南島內(nèi)21個國家站的降雨資料，為保障統(tǒng)計(jì)樣本數(shù)量，故選取的范圍比其它五個分區(qū)大；其余五個分區(qū)使用了國家站和區(qū)域站資料。表1給出了六個分區(qū)降雨資料的基本情況及逐時降雨頻率，從中可見，各分區(qū)降雨統(tǒng)計(jì)資料平均年限并不相同，其原因是為了更充分地利用現(xiàn)有數(shù)據(jù)資料。選取2020年10月29日00時(北京時，下同)為所有資料的截止時間，而資料的起始年份根據(jù)站點(diǎn)資料入庫時間來定，起始時間與截止時間的月、日、時相同，使資料時間長度保持為整年，且盡可能保障使用的資料年限最長，在資料年限短于4 a時觀測站資料全被棄用，故表1中參與統(tǒng)計(jì)的測站數(shù)要小于區(qū)域內(nèi)測站數(shù)。從表中還可見，所有資料的缺測率均低于40‰，保障了資料的完整性及統(tǒng)計(jì)結(jié)果的可信度。

表1中還給出了逐時降雨頻率。為了避免與天氣預(yù)報(bào)中公眾已普遍接受的“降雨概率”概念上沖突或混淆，本文選用“降雨頻率”這一概念，而對于概率密度中“概率”一詞仍按慣例沿用不隨之調(diào)整。從表1可見，排名前四位均在30°N線上。雅安由于受到特定地形影響而最大，海南島即使處于低緯且受海洋性氣候影響也包含一些山地，而其降雨頻率居然比30°N線上各分區(qū)小。六個分區(qū)逐時降雨頻率差別大，I區(qū)近乎VI區(qū)的4倍，即使同在30°N線上，I區(qū)是IV區(qū)的1.74倍。

表1 研究選定的六個分區(qū)降雨資料基本情況及逐時降雨頻率Table 1 Basic information of rainfall data in research selected six sub-regions and frequency of hourly rainfall.

1.3 分析方法

雖然自動雨量站觀測年限有限，但如果以空間換取時間，改變原來單站進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的方法，在相對較小的分區(qū)內(nèi)多站并合來開展統(tǒng)計(jì)，能使樣本數(shù)量得到大幅提升，才有可能實(shí)現(xiàn)細(xì)分降雨等級，提高在強(qiáng)降雨區(qū)段概率密度擬合精度，契合PD研究精細(xì)化的發(fā)展方向。這種以空間換取時間的方式必須滿足在分區(qū)內(nèi)地理、氣候特征相同，臨近站降雨特征相近。

針對上述六個分區(qū)，統(tǒng)計(jì)逐時降雨、逐時連續(xù)降雨的頻率；同時細(xì)分降雨等級，對各降雨等級分別統(tǒng)計(jì)三類(逐時降雨量、逐時連續(xù)降雨過程雨量、逐時連續(xù)降雨歷時)類條件概率密度。通過六個分區(qū)之間的比較，可以分析降雨與降雨結(jié)構(gòu)的地域性差異，有利于明晰類條件概率密度與概率密度的共性與差異性。以下簡要介紹降雨等級的劃分以及統(tǒng)計(jì)特征量、計(jì)算特征量。

1.3.1 降雨等級的劃分

依據(jù)降雨數(shù)據(jù)的樣本量根據(jù)經(jīng)驗(yàn)自行細(xì)分了四十二個降雨等級進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，原則是盡量使相鄰等級間統(tǒng)計(jì)值變化有序、經(jīng)驗(yàn)函數(shù)上下起伏跳躍小、盡量避免統(tǒng)計(jì)頻次為0的區(qū)間。表2分別給出了這四十二個降雨等級的區(qū)間中值、區(qū)間長度、區(qū)間上限，前二十四等級以降雨觀測的分辨率0.1 mm為間隔來劃分，區(qū)間長度也為0.1 mm，后十八個降雨等級由于發(fā)生頻次越來越小，隨降雨強(qiáng)度變強(qiáng)區(qū)間長度逐步加大，其中對于短時強(qiáng)降雨(Rain≥20 mm)僅分了七個等級。

表2 四十二個降雨等級的劃分表2 Classification of 42 rainfall grades.

1.3.2 各分區(qū)各等級下降雨發(fā)生頻次統(tǒng)計(jì)

針對六個分區(qū)統(tǒng)計(jì)各區(qū)內(nèi)觀測次數(shù)、缺測次數(shù)、降雨頻次、逐時連續(xù)降雨場頻次。逐時連續(xù)降雨(HCR)是與孤立逐時降雨相對的，孤立逐時降雨指前后時次均無降雨的單獨(dú)小時降雨，HCR指在逐時降雨觀測中連續(xù)多個小時中降雨量均不為0的降雨過程。再針對各分區(qū)(公式中用M代替，分別取I、II、III、IV、V、VI)分別統(tǒng)計(jì)降雨量落在各降雨等級(N)下的次數(shù)；然后對各分區(qū)分別統(tǒng)計(jì)HCR過程雨量落在各降雨等級N下的次數(shù)，統(tǒng)計(jì)中先按各站點(diǎn)計(jì)數(shù)，后對分區(qū)內(nèi)所有站點(diǎn)累計(jì)；最后對各分區(qū)分別統(tǒng)計(jì)逐時連續(xù)降雨歷時(HoCR)在2～42 h內(nèi)各整數(shù)時數(shù)上的場次數(shù)，歷時在42 h以上降雨頻率太小而沒參與統(tǒng)計(jì)。

1.3.3 降雨頻率、類概率密度、類條件概率密度經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的計(jì)算

根據(jù)上面統(tǒng)計(jì)的頻次便可以計(jì)算頻率、概率密度、類條件概率密度。頻率分兩類，PD、CCPD分別分三類，通過計(jì)算分別得出PD、CCPD在各分區(qū)M等級N(或連續(xù)歷時)下的概率質(zhì)量，便可得到三類PD、CCPD的經(jīng)驗(yàn)函數(shù)。下面需要進(jìn)行簡單計(jì)算的物理量僅列示了概念，公式略。

(1)逐時降雨頻率、逐時連續(xù)降雨頻率

通過上面統(tǒng)計(jì)頻次就可以得到各分區(qū)降雨頻率、逐時連續(xù)降雨頻率。用PHR(M)表示各分區(qū)逐時降雨頻率，用PCR(M)表示各分區(qū)逐時連續(xù)降雨頻率。連續(xù)降雨頻率可以按場次數(shù)、時數(shù)兩種方法來統(tǒng)計(jì)，由于兩者可以依據(jù)平均歷時相互轉(zhuǎn)化，故在第二、三類CCPD計(jì)算分析中選擇按場次來統(tǒng)計(jì)，而非時數(shù)。

分區(qū)內(nèi)各降雨等級下的降雨頻次與總的降雨頻次比值再除以降雨等級的區(qū)間長度得到HR類的CCPD，是在各降雨等級中值附近CCPD的近似值，于是便有了第一類CCPD的經(jīng)驗(yàn)函數(shù)，在CCPD定義域類該CCPD與PHR(M)的乘積是HR類PD。第二類CCPD與之類似，第三類CCPD由于自變量是降雨歷時，間隔為1 h，所以根據(jù)各歷時下的降雨場次數(shù)除以總的逐時連續(xù)降雨頻次而得到。

(2)類條件概率密度(CCPD)

第一類：逐時雨量類的類條件概率密度HRCCPD(以下簡稱CCPD1)，定義域是[0.1，∞)；

第二類：逐時連續(xù)降雨過程雨量類的類條件概率密度HCRCCPD(以下簡稱CCPD2)，定義域是[0.2，∞)；

第三類：逐時連續(xù)降雨歷時類的類條件概率密度HoCRCCPD(以下簡稱CCPD3)，定義域是[2，∞)。

下文中CCPD1、CCPD2單位為mm-1，CCPD3單位為h-1。

(3)類概率密度

與上面三類CCPD對應(yīng)的PD，分別記為HRPD、HCRPD、HoCRPD，類似簡記為PD1、PD2、PD3。

PD1是CCPD1的PHR倍率關(guān)系，當(dāng)然兩者間定義域是有差別的，前者是[0，∞)，后者是[0.1，∞)。第一類概率密度PD1自變量是雨量，以前的研究中均以“降雨概率密度”稱之，為了便于區(qū)分，建議分類，讓相關(guān)大小概念規(guī)范化。

PD2是指HCR過程雨量落在某一單位降雨區(qū)間的發(fā)生頻率，CCPD2是僅針對有HCR發(fā)生(定義域縮小為[0.2，∞))才進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的過程雨量落在某一單位降雨區(qū)間的發(fā)生頻率，因此，PD2是CCPD2的PCR倍率關(guān)系。

PD3指HCR歷時在某個小時數(shù)下的發(fā)生頻率，CCPD3是僅針對HCR進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的降雨歷時在某個小時數(shù)下的發(fā)生頻率，其分布圖中橫坐標(biāo)與CCPD2不同，由逐時連續(xù)降雨量變成了連續(xù)歷時(即持續(xù)時數(shù))，PD3是CCPD3的PCR倍率關(guān)系。

2 分區(qū)之間對比分析

2.1 第一類類條件概率密度CCPD1

圖2給出了六個分區(qū)中的第一類概率密度PD1與第一類類條件概率密度CCPD1。為了便于識別強(qiáng)降雨段曲線結(jié)構(gòu)與趨勢及分辨各曲線間微小差別，圖中采用了雙y軸坐標(biāo)“一線兩畫”方式，對每個分區(qū)在同一張圖上同時給出y及l(fā)n(y)隨x坐標(biāo)變化的兩條曲線；x坐標(biāo)是降雨等級中值Rain的對數(shù)ln(Rain)，x=0、1、2、3、4、5時分別對應(yīng)Rain≈1、2.7、7.5、20、55、150 mm。在x>0時，CCPD1六條曲線黏合在一起，需要從右邊曲線簇才能區(qū)分辨認(rèn)，在x<1時，ln(CCPD1)六條曲線黏合在一起，需要從左邊曲線簇才能區(qū)分辨認(rèn)。圖中為了方便辨識區(qū)分，以曲線的方式給出，而沒有采用在四十二個降雨等級上給出離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的繪圖方式。從圖2可見，CCPD1、PD1曲線均是單調(diào)凸(斜率遞增)減函數(shù)，弱降雨段遞減快，強(qiáng)降雨段遞減較慢；在雙對數(shù)圖上曲線均是單調(diào)凹減函數(shù)，弱降雨段遞減慢，強(qiáng)降雨段遞減較快。六根PD1曲線排列稀疏，而六根CCPD1曲線排列變得密集，并存在相互穿插黏合的現(xiàn)象。ln(PD1)、ln(CCPD1)曲線也是如此。原因在于PD1與降雨頻率成正比，而CCPD1是用來表示在有雨條件下不同量級降雨發(fā)生可能性的分布情況，即強(qiáng)、弱降雨出現(xiàn)多少的配置關(guān)系，與降雨頻率無關(guān)。六個分區(qū)降雨頻率的差別大(參見表1)，降雨的地域間差異性會通過降雨頻率傳遞給PD1，導(dǎo)致圖2a中PD1曲線間差距大，V、VI兩區(qū)差別最大時能超8倍；CCPD1統(tǒng)計(jì)計(jì)算中拋開了無降雨的時間，不受降雨頻率影響，部分削弱了地理地形影響降雨結(jié)構(gòu)的主要功效，更利于表征降雨的固有結(jié)構(gòu)特征，故在圖2b中六根曲線較PD1差距小。由此可以說明：雖然對同一地域PD1、CCPD1均有反映降雨結(jié)構(gòu)的能力，但在地域差異性分析時兩者相比較，PD1受地理地形影響大，受降雨頻率多少所左右，其能力將被削弱，更側(cè)重于用來表征指定降雨出現(xiàn)的可能性；CCPD1受地理地形影響相對小，反映強(qiáng)、弱降雨出現(xiàn)的配比情況更直截了當(dāng)，更側(cè)重于用來反映降雨結(jié)構(gòu)性特征，以及降雨結(jié)構(gòu)性地域差異比較，尤其在表征強(qiáng)降雨出現(xiàn)難易程度的地域差異性上比PD1效果會更明顯。

在圖2b中V分區(qū)的ln(CCPD1)曲線與其他區(qū)表現(xiàn)出明顯的差異性，即橫坐標(biāo)1.1～4.7區(qū)間內(nèi)(Rain在3～100 mm區(qū)間)PD1、CCPD1明顯大于其他各區(qū)，表明了V分區(qū)與其它區(qū)降雨結(jié)構(gòu)性差異。海南島由于屬熱帶季風(fēng)氣候，四面環(huán)海，水汽充沛、熱動力過程強(qiáng)烈等諸多降雨有利條件，是導(dǎo)致其CCPD1分布獨(dú)特的原因。V分區(qū)的這種持有降雨結(jié)構(gòu)在圖2a中表現(xiàn)并不很突出，是由于受到海南島降雨頻率不高因素的干擾。

圖2 研究選定的六個分區(qū)中的第一類概率密度PD1(a)和第一類類條件概率密度CCPD1(b)(a:左邊曲線簇對應(yīng)左邊y軸PD1,右邊曲線簇對應(yīng)右邊y軸ln(PD1);b:左邊曲線簇對應(yīng)左邊y軸CCPD1,右邊曲線簇對應(yīng)右邊y軸ln(CCPD1))Fig.2 The first class(a)PD1 and(b)first CCPD1 in research selected six sub-regions(a:The left curve cluster corresponds to the left y-axis PD1,and the right curve cluster corresponds to the right y-axis ln(PD1).b:Left curve cluster corresponds to left y-axis CCPD1,right curve cluster corresponds to right y-axis ln(CCPD1)).

圖2a中藍(lán)色線代表分區(qū)I(雅安)，在橫坐標(biāo)大于3時(Rain>20 mm)PD1明顯大于30°N線上的其他三區(qū)；圖2b中其CCPD1相比30°N其他區(qū)呈現(xiàn)兩端大、中間小的分布特征：起點(diǎn)高(指弱降雨等級下CCPD1高)但遞減快，在橫坐標(biāo)0.3～2.5區(qū)間(1.3 mm60 mm)明顯大于其他三區(qū)，特別是在第41降雨等級下CCPD1超出海南島、高出30°N線上其他三區(qū)5～9倍，是“雅安天漏”極端強(qiáng)降雨多發(fā)的數(shù)據(jù)體現(xiàn)。

圖3 PD1、CCPD1 III與IV分區(qū)的差倍比Fig.3 Difference ratio of PD1 and CCPD1 comparing III with IV sub-regions.

2.2 第二類類條件概率密度CCPD2

表3給出了六個分區(qū)HCR的有關(guān)頻率統(tǒng)計(jì)值，從中可見，I、II分區(qū)接近且最大，VI分區(qū)位置偏北最小；III、IV分區(qū)處于中間位置但差距仍較大，III分區(qū)HCR頻率是IV分區(qū)的1.45倍；HCR海南島最小為4.29 h，其他五個區(qū)接近，II分區(qū)最大，為6 h。如果以場次記，孤立降雨與逐時連續(xù)降雨近乎各占一半，而按降雨時數(shù)記，孤立降雨占總降雨時數(shù)不足2成，逐時連續(xù)降雨占比超8成，I分區(qū)(雅安)逐時連續(xù)降雨占比最大，為87%；海南島孤立性降雨占比最大，逐時連續(xù)降雨占比最小，逐時連續(xù)降雨歷時最短。

表3 逐時連續(xù)降雨有關(guān)頻率統(tǒng)計(jì)值Table 3 Frequency statistical values of HCR.

圖4a、b分別給出了六個分區(qū)的PD2、CCPD2，也采用了雙y軸一線兩畫方式。從中可見，PD2、CCPD2曲線是單調(diào)凸減函數(shù)，在雙對數(shù)圖上曲線是單調(diào)凹減函數(shù)；I分區(qū)CCPD2相對其它區(qū)走勢類似其CCPD1，存在兩端大、中間小的分布特征；III、IV兩區(qū)HCR頻率差別較大(按時數(shù)記分別是0.107和0.076)，兩區(qū)HCR頻率比值與HR頻率的比值(1.43)相當(dāng)，山區(qū)比平原大1.45倍；PD2山區(qū)總體大于平原，且隨降雨等級加大差距縮小至趨同，并沒出現(xiàn)類似PD1平原反超山區(qū)的現(xiàn)象；V分區(qū)海南島CCPD2起點(diǎn)最低，但10 mm以上降雨CCPD2比其它區(qū)大，其PD2在強(qiáng)降雨段較大，但由于受到HCR頻率干擾而沒有CCPD2表現(xiàn)突出；VI分區(qū)由于地理位置偏北，PD1、PD2比其它區(qū)小，與其他五個分區(qū)差別大，但CCPD1、CCPD2與30°N線上四個分區(qū)差別小。

圖4 研究選定的六個分區(qū)的第二類概率密度PD2(a)和第二類類條件概率密度CCPD2(b)(a:左邊曲線簇對應(yīng)左y軸PD2,右邊曲線簇對應(yīng)右y軸ln(PD2);b:左邊曲線簇對應(yīng)左y軸CCPD2,右邊曲線簇對應(yīng)右y軸ln(CCPD2))Fig.4 The 2nd class(a)PD2 and(b)CCPD2 of research selected six sub-regions(a:The left curve cluster corresponds to the left y-axis PD2,and the right curve cluster corresponds to the right y-axis ln(PD2).b:Left curve cluster corresponds to left y-axis CCPD2,right curve cluster corresponds to right y-axis ln(CCPD2)).

2.3 第三類類條件概率密度CCPD3

圖5給出I、V分區(qū)的第三類條件概率密度。除V分區(qū)外的其他五個分區(qū)曲線較接近、曲線高度疊合，所以圖中把I分區(qū)選作代表。各分區(qū)CCPD3也是單調(diào)凸減函數(shù)；海南島CCPD3偏態(tài)性強(qiáng)，即起點(diǎn)高、遞減率大，HCR歷時為2 h的CCPD3比其它區(qū)高出1/3強(qiáng)，歷時為4 h及其后CCPD3便低于其他區(qū)了，歷時為13 h的相對差別最大(低1.6倍)。海南島CCPD3偏態(tài)性強(qiáng)的降雨歷時分布結(jié)構(gòu)，是造成表3中海南島孤立降雨時數(shù)占比大、連續(xù)降雨歷時短這種降雨特征的原因。

圖5 I、V分區(qū)的第三類條件概率密度CCPD3(淺藍(lán)色橫線代表0軸)Fig.5 The 3rd class conditional probability density of I and V subregions(The light blue horizontal line is the 0 axis).

通過上面三類CCPD、PD的分區(qū)比較可知：三類CCPD、PD曲線均是單調(diào)凸減函數(shù)，在雙對數(shù)圖上曲線均是單調(diào)凹減函數(shù)；逐時降雨頻率各分區(qū)間差別大，導(dǎo)致PD差別也大，而三類CCPD分區(qū)間差別小，在曲線圖上難以分辨；對同一地域PD、CCPD均有反映降雨結(jié)構(gòu)的能力，對不同地域，PD受降雨頻率影響致其能力被削弱，更側(cè)重于用來表征指定降雨出現(xiàn)的可能性，而CCPD1反映強(qiáng)、弱降雨出現(xiàn)的配比情況更直截了當(dāng)，更側(cè)重于用來反映降雨結(jié)構(gòu)性特征，以及降雨結(jié)構(gòu)性地域差異性比較，尤其在表征強(qiáng)降雨出現(xiàn)難易程度的地域差異性上比PD1效果會更明顯。

雅安降雨頻率是30°N線上四個分區(qū)中最大的，其CCPD1、CCPD2相對其它分區(qū)呈現(xiàn)兩端大、中間小的格局，特別是極端短時強(qiáng)降雨CCPD1比其他區(qū)高。位置臨近的III、IV分區(qū)，由于山地與平原的地理差別，導(dǎo)致降雨頻率兩區(qū)差距大，山區(qū)地形致降雨頻率增加，且主要是弱降雨的增加，強(qiáng)降雨反倒有所減少，對于非特殊地形結(jié)構(gòu)下的山地，由于地面摩阻力的增大，對強(qiáng)降水的發(fā)生總體上卻是不利因素。海南島屬熱帶海洋性季風(fēng)氣候，與其他分區(qū)不同有著獨(dú)特的降雨結(jié)構(gòu)特征，表現(xiàn)在：降雨頻率偏低、孤立性降雨占比多、連續(xù)降雨歷時短、CCPD3遞減快偏態(tài)性強(qiáng)，這些是降雨的不利因素，但是由于強(qiáng)降雨區(qū)段CCPD1、CCPD2比其他分區(qū)大的有利因素，而致年均降雨偏多。地理位置偏北的VI區(qū)，降雨頻率小，PD1、PD2明顯比其它區(qū)小，但三類CCPD均與30°N線上分區(qū)相近。

3 擬合經(jīng)驗(yàn)公式與擬合方法

現(xiàn)有研究多以Gamma函數(shù)來進(jìn)行降雨概率密度擬合，所以最初在Matlab軟件平臺下用Curve Fitting Tool進(jìn)行Gamma函數(shù)擬合試驗(yàn)，由于對降雨區(qū)間進(jìn)行了細(xì)分，曲線尾部(最后的幾個降雨等級)的擬合相對誤差超3個數(shù)量級幾乎是常態(tài)，即使擬合的決定系數(shù)(R-Square)高達(dá)0.9999，相對誤差依然會很大；改用Weibull、(對數(shù))正態(tài)、Gumbel、Pareto、Beta、Cauchy、泊松、皮爾遜III型等多種分布函數(shù)也存在類似問題。為此放棄該擬合方法，改用基因遺傳算法來搜索這些函數(shù)的最優(yōu)擬合參數(shù)，擬合時如果想兼顧到強(qiáng)降雨區(qū)段的相對誤差時，弱降雨的擬合效果就變差，總是難以首尾兼顧。最后，放棄這些常用的概率密度函數(shù)，改用三參數(shù)冪函數(shù)的指數(shù)函數(shù)(1)式作為經(jīng)驗(yàn)公式來擬合能收到很好的擬合效果，該函數(shù)形式簡單，并且適用所有分區(qū)、三類CCPD，唯一的缺憾是不能嚴(yán)格保證定義域內(nèi)函數(shù)的積分為1。其中自變量x對應(yīng)取為HR、HCR、HoCR，y是這三類CCPD的擬合值，n、a、b是擬合參數(shù)；為了公式的簡潔，式中關(guān)于分區(qū)標(biāo)號M、類別的下標(biāo)予以略去。

采用多目標(biāo)遺傳基因算法來搜索三個擬合參數(shù)的最優(yōu)解，目標(biāo)函數(shù)綜合了加性誤差模型與乘性誤差模型，采用權(quán)重系數(shù)WP來均衡兩類誤差，設(shè)定公式為

(2)式中下標(biāo)*是通配符，PD*在此小節(jié)代表CCPD1，y*是其擬合值；1-WP是PD*乘性誤差對目標(biāo)函數(shù)Obj貢獻(xiàn)的權(quán)重系數(shù)，SSE為帶權(quán)重系數(shù)的協(xié)方差算子。WP是PD*加性誤差對目標(biāo)函數(shù)貢獻(xiàn)的權(quán)重系數(shù)，設(shè)定為

3.1 CCPD1的擬合

擬合時各降雨等級下權(quán)重系數(shù)選?。簩λ蟹謪^(qū)統(tǒng)一設(shè)定一套權(quán)重系數(shù)。對頭部第1降雨等級權(quán)重系數(shù)取0.85；對尾部第40、41、42三個降雨等級，由于統(tǒng)計(jì)時區(qū)間長度長，樣本量又有限，其概率密度結(jié)果數(shù)值上存疑，參考價值不大，把其權(quán)重系數(shù)分別取0.85、0.60、0.15，以降低其對擬合結(jié)果的不利影響；其余38個降雨等級取1。然后對該序列進(jìn)行平滑運(yùn)算，再做均值為1的中心化處理，得到最終權(quán)重系數(shù)序列。圖6給出了CCPD1擬合目標(biāo)函數(shù)中權(quán)重系數(shù)Weight(N)隨降雨等級的分布，從中可見，中間主體區(qū)域略大于1，頭部1個降雨等級下取值小于1，尾部4個與頭部1個降雨等級下取值小于1。這種立足于38個中間等級按經(jīng)驗(yàn)取值的益處在于，能讓擬合函數(shù)去充分適應(yīng)經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的主體，同時又兼顧到頭、尾部數(shù)據(jù)所包含的部分信息量。

圖6 CCPD1擬合目標(biāo)函數(shù)中各降雨等級下的權(quán)重系數(shù)Fig.6 The weight coefficient of 42 rainfall grades in the fitting objective function.

表4給出了六個分區(qū)CCPD1擬合參數(shù)與擬合統(tǒng)計(jì)量，擬合參數(shù)供讀者核算與參考，從擬合統(tǒng)計(jì)值中看出：CCPD1及l(fā)n(CCPD1)的標(biāo)準(zhǔn)化后的擬合均方差均是很小的量，V區(qū)最大為0.013 5及0.050 4；CCPD1決定系數(shù)均大于0.99，ln(CCPD1)決定系數(shù)除V區(qū)的0.920 8外均大于0.977；ln(CCPD1)的皮爾遜相關(guān)系數(shù)除V區(qū)的0.972 6外均大于0.99。

表4 各分區(qū)CCPD1擬合參數(shù)與擬合統(tǒng)計(jì)量Table 4 Fitting parameters and statistical values of CCPD1 in six sub-regions.

圖7以III、V分區(qū)為例給出了第一類條件概率密度及其擬合函數(shù)，藍(lán)色線主要反映弱降雨量級擬合函數(shù)(實(shí)線)與經(jīng)驗(yàn)函數(shù)(*離散點(diǎn))匹配情況，紅色線反映整體及強(qiáng)降雨區(qū)段兩者匹配情況。其它四個分區(qū)圖略，擬合函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)函數(shù)均吻合度好，包括CCPD1及l(fā)n(CCPD1)曲線，并且曲線頭尾均得到了兼顧，具有很高的擬合精度。由表4可知，III、V分區(qū)是擬合目標(biāo)函數(shù)最大的兩個區(qū)，從圖7中仍可看出有較好的擬合效果。

圖7 III(a)、V(b)分區(qū)的第一類條件概率密度CCPD1及其擬合函數(shù)(藍(lán)色對應(yīng)左邊y軸,*離散點(diǎn)代表CCPD1,藍(lán)實(shí)線代表其擬合函數(shù);紅色對應(yīng)右邊y軸,+離散點(diǎn)代表ln(CCPD1),紅點(diǎn)化線代表其擬合函數(shù))Fig.7 The first class conditional probability density of(a)III,(b)V sub-regions and its fitting function(Blue corresponds to the left y-axis,the*discrete point is CCPD1,and the blue solid line represents its fitting function.Red corresponds to the right y-axis,the+discrete point is ln(CCPD1),and the red dotted line represents its fitting function).

綜合表4及圖7來看，用(1)式和上述擬合方法對各分區(qū)CCPD1整體擬合情況好，擬合目標(biāo)函數(shù)考慮到了CCPD的協(xié)方差及Ln(CCPD)的協(xié)方差兩項(xiàng)因素，即綜合考慮了擬合誤差與擬合相對誤差，用多因子基因遺傳算法來尋優(yōu)，能使曲線頭尾得到兼顧，提高了強(qiáng)降雨段CCPD的擬合精度。

根據(jù)概率密度函數(shù)可以計(jì)算概率分布，有了高精度的CCPD擬合函數(shù)，就可以估算某重現(xiàn)期降雨量、年均降雨量、各降雨級別下雨量貢獻(xiàn)率與發(fā)生頻率等，此略。

3.2 CCPD2的擬合

由于函數(shù)定義域與CCPD1有了變化，降雨起點(diǎn)是0.2 mm，第1降雨等級0.1 mm不存在了，各降雨等級下權(quán)重系數(shù)類似圖6，但有所改變：第2、41、42降雨等級下權(quán)重系數(shù)分別取0.85、0.85、0.70，其余取1后平滑，再做均值為1的中心化處理。

表5給出了六個分區(qū)CCPD2擬合參數(shù)與尋優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值，CCPD2目標(biāo)函數(shù)比表4中CCPD1目標(biāo)函數(shù)整體要小。由于擬合統(tǒng)計(jì)量與表4中比較RMSE更小，R2、RP更接近1，比如六個分區(qū)ln(CCPD2)擬合確定系數(shù)均值為0.9937，比ln(CCPD1)擬合確定系數(shù)均值0.9770高，故表5中擬合統(tǒng)計(jì)量略。V、VI兩分區(qū)是目標(biāo)函數(shù)最大的兩個區(qū)。

表5 研究選定的六個分區(qū)CCPD2擬合參數(shù)與尋優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值Table5 FittingparametersandobjectivefunctionofCCPD2inresearchselectedsixsub-regions.

從擬合效果來看，同CCPD1擬合時相比有提高，擬合函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)函數(shù)均吻合度更高。圖8以一線兩畫方式給出了V、VI兩分區(qū)的CCPD2及其擬合函數(shù)，這是六個區(qū)中擬合效果最差的兩個區(qū)，但與圖7相比效果更好。

圖8 V(a)、VI(b)兩分區(qū)的第二類條件概率密度CCPD2及其擬合函數(shù)(說明同圖7)Fig.8 The 2nd conditional probability density of(a)V,(b)VI sub-regions and its fitting function(The description is the same as Fig.7).

3.3 CCPD3的擬合

擬合函數(shù)沿用(1)式，擬合方法與前面兩者有所不同，采用了一種簡便方法：指數(shù)n由人為經(jīng)驗(yàn)選取1/n得到，然后對ln(CCPD3)與xn進(jìn)行一次多項(xiàng)式擬合得出參數(shù)a、b，這種簡便方法雖然會降低擬合精度，但仍能得到好的擬合效果。表6給出了六個分區(qū)ln(CCPD3)擬合參數(shù)與擬合統(tǒng)計(jì)量，從表中擬合統(tǒng)計(jì)量看出，該簡便方法由于采用了(1)式對六個分區(qū)均能給出很好的擬合。

表6 研究選定的六個分區(qū)ln(CCPD3)擬合參數(shù)與擬合統(tǒng)計(jì)量Table 6 Fitting parameters and statistical values of ln(CCPD3)in research selected six sub-regions.

圖9以VI分區(qū)為例給出了CCPD3隨HCR歷時的變化情況及其擬合函數(shù)曲線，也是一線兩畫，擬合效果也很好，即使VI分區(qū)的擬合協(xié)方差最大、確定系數(shù)最小。

圖9 VI分區(qū)第三類條件概率密度CCPD3及其擬合函數(shù)(說明同圖7)Fig.9 The 3rd class conditional probability density of VI subregion and its fitting function(The description is the same as Fig.7).

3.4 三類CCPD的遞減率指數(shù)分析

遞減率指數(shù)是由三個擬合參數(shù)組合而來，與exp(a)、b、n均成正比，反映CCPD曲線整體遞減率情況。海南島CCPD3遞減率指數(shù)為40.04，高出其他區(qū)17倍以上，故表7中排除了海南，給出了余下的五個分區(qū)三類CCPD遞減率指數(shù)與統(tǒng)計(jì)量，從表中可見:CCPD1遞減率指數(shù)雅安最大。雖然圖2b中難以區(qū)分不同分區(qū)的CCPD1曲線，但遞減率指數(shù)各分區(qū)之間差別大，最大與最小之間有一個量級上的差別，五個分區(qū)CCPD1的離差系數(shù)為0.476，利于從數(shù)據(jù)上整體反映各分區(qū)之間的差別。CCPD2遞減率指數(shù)鄂西南山地最大，雅安次之；CCPD3遞減率指數(shù)均值1.684，雅安最大，II區(qū)最??；比較三類CCPD遞減率指數(shù)五個區(qū)的平均值，CCPD1比CCPD2大一個數(shù)量級，CCPD2比CCPD3又大一個數(shù)量級，三類CCPD遞減率指數(shù)五個區(qū)的離差與均方差也存在類似的量級差別；比較三類CCPD遞減率指數(shù)的離差系數(shù)，CCPD1分區(qū)間的差異性最大，CCPD3分區(qū)間的差異性最小。該離差系數(shù)可以代表降雨特征的地域差別大小，CCPD1中包含中小尺度降雨成分更重，地域差別大，離差系數(shù)便大；CCPD2由于過濾掉孤立逐時降雨而次之，CCPD3在降雨歷時大于3后的曲線走勢反映大范圍天氣系統(tǒng)性降雨的成分更濃，地域差別小，離差系數(shù)最小。三類CCPD包含中小尺度、大尺度降雨成分多寡的這種差別也是導(dǎo)致三類CCPD平均值、離差與均方差在類間量級上的差別。

表7 各分區(qū)CCPD遞減率指數(shù)b·n·ea與統(tǒng)計(jì)值Table 7 Decline rate index of CCPD in subregions.

4 結(jié)論

(1)三類PD、CCPD曲線均是單調(diào)凸減函數(shù)、在雙對數(shù)圖上曲線均是單調(diào)凹減函數(shù)，逐時降雨頻率各分區(qū)間差別大，導(dǎo)致PD差別也大，而三類CCPD分區(qū)間差別小，在曲線圖上難以分辯；三類CCPD遞減率指數(shù)分區(qū)之間差距明顯，能反映CCPD地域差異性。

(2)用三參數(shù)冪函數(shù)的指數(shù)函數(shù)作為經(jīng)驗(yàn)公式來擬合，目標(biāo)函數(shù)考慮了CCPD的偏方差及CCPD對數(shù)的偏方差兩項(xiàng)因素，便綜合考慮了擬合誤差與擬合相對誤差，用多因子基因遺傳算法來尋優(yōu)，能使曲線首尾得到了兼顧，提高了強(qiáng)降雨段類概率密度的擬合精度。該函數(shù)及擬合方法適用全部所選分區(qū)、三類CCPD。

(3)對同一地域PD、CCPD均有反映降雨結(jié)構(gòu)的能力，對不同地域PD受降雨頻率影響致其能力被削弱，更側(cè)重于用來表征指定降雨出現(xiàn)的可能性，而CCPD1反映強(qiáng)、弱降雨出現(xiàn)的配比情況更直截，更側(cè)重于用來反映降雨結(jié)構(gòu)性特征，在表征強(qiáng)降雨出現(xiàn)的難易程度上比PD1效果會更好。

(4)雅安降雨頻率是30°N線上四個分區(qū)中最大的，其CCPD1、CCPD2相對其它分區(qū)呈現(xiàn)兩端大、中間小的格局，特別是極端短時強(qiáng)降雨CCPD1比其他區(qū)高。

(5)海南島屬熱帶海洋性季風(fēng)氣候，與其他分區(qū)不同有著獨(dú)特的降雨結(jié)構(gòu)特征，表現(xiàn)在強(qiáng)降雨區(qū)段CCPD1、CCPD2比其他區(qū)大，縱然其包含降雨頻率偏低、孤立性降雨占比多、逐時連續(xù)降雨歷時短、CCPD3遞減快偏態(tài)性強(qiáng)等降雨量不利因素，仍致年均降雨量偏大。

(6)位置臨近的III、IV分區(qū)，由于山地與平原的地理差別，導(dǎo)致降雨頻率兩區(qū)差距大，山區(qū)地形致降雨頻率增加，且主要是弱降雨的增加，強(qiáng)降雨反倒有所減少。對于非特殊地形結(jié)構(gòu)下的山地，由于地面摩阻力的增大，對強(qiáng)降水的發(fā)生總體上卻是不利因素，與雅安附近特殊的地形影響迥異。