波浪在局部可滲透水平海床上傳播的解析解

倪云林，滕斌

(1.大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024；2.浙江海洋大學(xué) 海洋工程裝備學(xué)院，浙江 舟山 316022)

1 引言

多孔介質(zhì)海床具有滲透性，當(dāng)波浪在多孔介質(zhì)海床上傳播時(shí)會(huì)發(fā)生波高衰減和波能損失。但是大多數(shù)的水波理論假設(shè)海底是不可滲透的，這勢(shì)必會(huì)對(duì)波浪長(zhǎng)距離傳播的推算造成誤差，對(duì)海岸及近海工程中設(shè)計(jì)波浪要素的計(jì)算帶來(lái)影響。

關(guān)于波浪在滲透海床上傳播變形的問(wèn)題，許多學(xué)者采用不同的方法開(kāi)展了相關(guān)研究。其中，在實(shí)驗(yàn)研究方面，Savage和Fairchild[1]開(kāi)展了波浪在粗砂和細(xì)砂海床上傳播能量衰減的實(shí)驗(yàn)；?zhan和Shi-Igai[2]、Gu和 Wang[3]、Sawaragi和 Deguchi[4]先后開(kāi)展了不同類型的波浪在多孔介質(zhì)海床上波高衰減的實(shí)驗(yàn)研究。在理論研究方面，Putnam[5]基于線性波浪理論和達(dá)西定律，推導(dǎo)了因波浪運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生滲流而導(dǎo)致波能損失的理論；Reid和 Kajiura[6]、Murray[7]、Dean和 Dalrymple[8]同樣基于線性波浪理論，深入研究了剛性、無(wú)限深多孔介質(zhì)海床上波浪衰減的邊界值問(wèn)題，并得到了復(fù)波數(shù)色散關(guān)系。在數(shù)值模型研究方面，主要是利用緩坡類方程[9–11]、Boussinesq 型方程[12]、Navier-Stokes方程[13–14]研究波浪與滲透潛堤的相互作用。

現(xiàn)有的理論研究主要針對(duì)波浪在全滲透海床上的傳播問(wèn)題，且大多數(shù)只考慮了傳播模態(tài)。本文推導(dǎo)波浪在局部可滲透海床上傳播，包含非傳播模態(tài)的解析解，探討滲透系數(shù)、相對(duì)水深和滲透海床長(zhǎng)度對(duì)波高衰減的影響以及局部滲透海床對(duì)波浪的反射和透射。

2 數(shù)學(xué)公式

2.1 理論推導(dǎo)

考慮二維笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng)下波浪在局部可滲透水平海床上的傳播問(wèn)題。如圖1所示，整個(gè)流域水深為常數(shù)h，海床水平且局部可滲透，其中，區(qū)域II(?L/2≤x≤L/2)海底可滲透，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，其下區(qū)域IV為不可壓縮飽和多孔介質(zhì)組成的無(wú)限深可滲透海床，其左側(cè)區(qū)域I(xL/2)為海底不透水的半無(wú)限長(zhǎng)區(qū)域。選取坐標(biāo)系原點(diǎn)為滲透海床垂直平分線與靜水位的交點(diǎn)，x軸水平向右為正，z軸豎直向上為正。

圖1 波浪在局部可滲透海床上傳播示意圖Fig.1 Definition sketch of wave propagation over a local porous seabed

假設(shè)流體為無(wú)黏、不可壓縮的均質(zhì)液體，波浪運(yùn)動(dòng)無(wú)旋且波面升高和運(yùn)動(dòng)速度足夠小，則可以應(yīng)用線性波浪理論。對(duì)于不可滲透海床上波浪沿x軸正方向傳播的情況，速度勢(shì) φ (x,z)為

式中，A為波浪振幅；g為重力加速度；為波浪圓頻率；k0為波數(shù)。垂向特征函數(shù)Z0(k0z)=coshk0(h+z)/coshk0h，圓頻率和波數(shù)滿足色散關(guān)系

對(duì)于滲透海床上波浪沿x軸正方向傳播的情況，根據(jù)Dean和Dalrymple[8]的推導(dǎo)，速度勢(shì) φp(x,z)為

式中，κ0=κ0r+iκ0i，其實(shí)部κ0r為波數(shù)；虛部κ0i是空間衰減系數(shù)。復(fù)波數(shù)可采用Mendez和Losada[15]提出的攝動(dòng)法計(jì)算。

根據(jù)Darcy定律，可滲透海床內(nèi)部的滲流速度為

式中，K為海床多孔介質(zhì)的滲透特性；η為水的動(dòng)力黏性系數(shù)；Ps為海床中的動(dòng)水壓強(qiáng)，滿足Laplace方程

這樣，區(qū)域I、II、III中速度勢(shì)和區(qū)域IV中的動(dòng)水壓強(qiáng)可分別展開(kāi)如下。

在區(qū)域I中

式中，Am(m=0,1,···,N)為待定系數(shù)，N為選取的項(xiàng)數(shù)；非傳播模態(tài)的垂向特征函數(shù)Zm(kmz)=coskm(h+z)/coskmh，km是下述色散方程的正實(shí)根

在區(qū)域Ⅱ中

式中，Bm和Cm(m=0,1,···,N)是待定系數(shù)；非傳播模態(tài)的垂向特征函數(shù)是下述色散方程的復(fù)數(shù)根

同樣可采用攝動(dòng)法求解。

在區(qū)域III中

式中，Dm(m=0,1,···,N) 是待定系數(shù)。

在區(qū)域IV中

式中，Em(m=0,1,···,M) 是待定系數(shù)，M為選取的項(xiàng)數(shù)，μm=2mπ/L；ρ為水體密度。

速度勢(shì)和速度在區(qū)域I、II和區(qū)域II、III兩個(gè)交界面上連續(xù)的匹配條件為

將式(13)、式(14)左右兩邊同乘以Zm(kmz)(m=0,1,···,N)，并對(duì)z沿水深積分

壓強(qiáng)和滲流速度在區(qū)域II、IV兩個(gè)交界面上連續(xù)的匹配條件為

將式(19)直接對(duì)x沿滲透海床長(zhǎng)度積分，式(20)左右兩邊同乘以 co sμmx(m=1,···,M)后對(duì)x沿滲透海床長(zhǎng)度積分

綜上可得4×N+M+5個(gè)線性方程，進(jìn)而確定4×N+M+5個(gè)展開(kāi)系數(shù)。

2.2 收斂性分析

本章節(jié)分析非傳播模態(tài)截?cái)囗?xiàng)N和滲透海床內(nèi)部動(dòng)水壓強(qiáng)截?cái)囗?xiàng)M的取值對(duì)結(jié)果收斂性的影響。關(guān)于非傳播模態(tài)截?cái)囗?xiàng)N，Kirby和Dalrymple[16]指出只有N的值取足夠大，才能保證解的收斂性。他們通過(guò)研究波浪過(guò)海溝地形的問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)對(duì)于絕大多數(shù)的入射波而言，取N=16時(shí)就能保證收斂性，得到足夠準(zhǔn)確的結(jié)果。這一結(jié)論被應(yīng)用于Bender和Dean[17]的研究工作。本文在后續(xù)的計(jì)算中，同樣取N=16。

圖2 動(dòng)水壓強(qiáng)截?cái)囗?xiàng)M 取值分析Fig.2 Analysis of the value of the pore pressure truncation itemM

關(guān)于可滲透海床內(nèi)部動(dòng)水壓強(qiáng)截?cái)囗?xiàng)M的取值問(wèn)題，本文通過(guò)增加M的值，計(jì)算z=?h處動(dòng)水壓強(qiáng)的變化情況，進(jìn)而確定M的取值。計(jì)算時(shí)，水深h=15 m，入射波波長(zhǎng)l=40 m（相應(yīng)地波浪圓頻率ω=1.229 6 Hz），滲透海床長(zhǎng)度分別取L=6l和L=1 000l，海床滲透系數(shù)ks分別取 0.05 m/s和 0.2 m/s，則z=?h處無(wú)量綱化的動(dòng)水壓強(qiáng)Ps/ (ρgh)在滲透海床長(zhǎng)度方向上（x / L）的變化情況如圖2所示?？梢钥闯?，當(dāng)M=20時(shí)，z=?h處動(dòng)水壓強(qiáng)與M=100時(shí)基本一致，本文認(rèn)為取M=20就能保證可滲透海床內(nèi)部動(dòng)水壓的收斂性。

3 計(jì)算結(jié)果和討論

本節(jié)應(yīng)用上述解析方法討論海床滲透系數(shù)ks、 相對(duì)水深h/l、滲透海床相對(duì)長(zhǎng)度L/l這3個(gè)因素對(duì)波高衰減和波浪反射、透射的影響。

3.1 滲透系數(shù)ks的影響

在本算例中，水深h=15 m，入射波波長(zhǎng)l=40 m（相應(yīng)地波浪圓頻率ω=1.229 6 Hz），滲透海床長(zhǎng)度L=6l?？紤]到粗砂、細(xì)砂、珊瑚礁等滲透海床的滲透系數(shù)數(shù)量級(jí)介于 10?1～10?3m/s[18–19]，本算例首先計(jì)算滲透海床的滲透系數(shù)ks=0.5 m/s、0.2 m/s、0.08 m/s、0.05 m/s情況下相對(duì)波高的沿程分布；同時(shí)，為了檢查本文解析模型的普適性，也考慮了ks=0，即區(qū)域II中的海床為不可滲透的特殊情況。不同滲透系數(shù)情況下復(fù)波數(shù)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1，相對(duì)波高如圖3所示。然后，計(jì)算反射系數(shù)Kr=|A0|和透射系數(shù)Kt=|D0|隨ks的變化情況，結(jié)果如圖4所示。

表1 不同滲透系數(shù)情況下復(fù)波數(shù)計(jì)算結(jié)果Table 1 Complex wavenumber calculated for different permeability coefficients

圖3 不同滲透系數(shù)情況下相對(duì)波高分布情況Fig.3 Wave height distribution for different permeability coefficients

圖4 反射系數(shù)和透射系數(shù)隨滲透系數(shù)變化情況（h/l=0.375，L=6l）Fig.4 The change of reflection coefficient and transmission coefficient with permeability coefficients (h/l=0.375,L=6l)

可以看出，當(dāng)ks=0時(shí)，相對(duì)波高等于1，反射系數(shù)為0，透射系數(shù)為1，即波高沿程不變；而當(dāng)ks≠0時(shí)，區(qū)域I和區(qū)域II的相對(duì)波高存在波動(dòng)，這是由于波浪反射造成的；波浪傳過(guò)局部可滲透海床，相對(duì)波高沿程按exp[?ki(x+L/2)](?L/2≤x≤L/2)指數(shù)趨勢(shì)衰減，滲透系數(shù)越大，復(fù)波數(shù)虛部ki也越大，相應(yīng)地衰減程度也越 大，同時(shí)，局部可滲透海床對(duì)波浪的反射更強(qiáng)烈。

3.2 相對(duì)水深h/l的影響

在本算例中，滲透海床長(zhǎng)度L=6l，滲透系數(shù)ks=0.5 m/s，入射波波長(zhǎng)l=40 m。首先計(jì)算水深h=20 m、15 m、10 m，即h/l=0.5、0.375、0.25情況下相對(duì)波高的沿程分布。不同相對(duì)水深情況下復(fù)波數(shù)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2，相對(duì)波高如圖5所示。接著，計(jì)算反射系數(shù)Kr和透射系數(shù)Kt隨h/l的變化情況，結(jié)果如圖6所示。

表2 不同相對(duì)水深情況下復(fù)波數(shù)計(jì)算結(jié)果Table 2 Complex wavenumber calculated for different water depth

圖5 不同相對(duì)水深情況下相對(duì)振幅分布情況Fig.5 Wave height distribution for different water depth

圖6 反射系數(shù)和透射系數(shù)隨相對(duì)水深變化情況（ks=0.5 m/s，L=6l）Fig.6 The change of reflection coefficient and transmission coefficient with water depth (ks=0.5 m/s,L=6l)

可以看出，隨著相對(duì)水深h/l的減小，復(fù)波數(shù)虛部ki增大，波高衰減加劇，且波動(dòng)加強(qiáng)；反射系數(shù)隨相對(duì)水深的減小而增大，透射系數(shù)隨相對(duì)水深的減小而減小。這說(shuō)明相對(duì)水深的減小增大了滲透海床對(duì)波浪的影響。

3.3 滲透海床相對(duì)長(zhǎng)度L/l的影響

滲透海床相對(duì)長(zhǎng)度L/l的影響主要探討反射系數(shù)Kr和透射系數(shù)Kt隨L/l的變化規(guī)律。在本算例中，水深h=15 m，入射波波長(zhǎng)l=40 m（相應(yīng)地波浪圓頻率ω=1.229 6 Hz），滲透系數(shù)ks分別取 0.10 m/s和 0.50 m/s，滲透海床長(zhǎng)度L介于0～1 000l之間變化，則反射系數(shù)Kr和透射系數(shù)Kt的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖7a和圖8a。為了進(jìn)一步觀察變化規(guī)律，我們對(duì)滲透海床長(zhǎng)度0≤L≤6l范圍內(nèi)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了局部放大，結(jié)果如圖7b和圖8b所示。

從圖7可以看出，反射系數(shù)很小，但呈現(xiàn)出振蕩變化的規(guī)律：當(dāng)滲透海床長(zhǎng)度時(shí)，反射系數(shù)達(dá)到谷值；而當(dāng)滲透海床長(zhǎng)度2,3,4,5)時(shí)，反射系數(shù)達(dá)到峰值。隨著滲透海床長(zhǎng)度的不斷增加，反射系數(shù)振蕩減小，并趨于常數(shù)。

圖7 反射系數(shù)隨滲透海床相對(duì)長(zhǎng)度變化情況Fig.7 The change of reflection coefficient with the length permeable seabed

從圖8可以看出，透射系數(shù)隨滲透海床長(zhǎng)度的增加 而按exp(?kiL)指數(shù)減小。

圖8 透射系數(shù)隨滲透海床相對(duì)長(zhǎng)度變化情況Fig.8 The change of transmission coefficient with the length permeable seabed

4 結(jié)論

局部可滲透水平海床由有限長(zhǎng)度的可滲透海床及其兩側(cè)半無(wú)限長(zhǎng)不可滲透海床所組成，水深為常數(shù)。本文基于勢(shì)流理論，建立了線性波浪在局部可滲透海床上傳播的解析模型，研究結(jié)果表明：

（1）波浪在傳過(guò)局部可滲透海床的過(guò)程中，波高沿程衰減，衰減程度隨滲透系數(shù)的增大、相對(duì)水深的減小和滲透海床長(zhǎng)度的增加而變大。

（2）受“海床局部可滲透”的影響，波浪發(fā)生反射和透射。反射強(qiáng)度小，反射系數(shù)隨滲透海床長(zhǎng)度的變化而呈現(xiàn)有規(guī)律的振蕩：當(dāng)滲透海床長(zhǎng)度為入射波半波長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí)，反射系數(shù)達(dá)到谷值，而當(dāng)滲透海床長(zhǎng)度為入射波1/4波長(zhǎng)的奇數(shù)倍時(shí)，反射系數(shù)達(dá)到峰值。但隨著滲透海床長(zhǎng)度的不斷增加，反射系數(shù)振蕩減小，并趨于常數(shù)。透射系數(shù)則隨滲透海床長(zhǎng)度的增加而指數(shù)減小，在滲透海床足夠長(zhǎng)的情況下，透射系數(shù)趨于0。