以直觀模型支持算理理解
——“小數(shù)除法”活動(dòng)課教學(xué)實(shí)踐與思考

□陳小玲

從基于學(xué)習(xí)路徑分析的單元整體教學(xué)視角思考小數(shù)除法單元的教學(xué)，我們得出小數(shù)除法單元的核心學(xué)習(xí)目標(biāo)是理解算理并掌握豎式算法。通過學(xué)習(xí)起點(diǎn)分析，可知大部分學(xué)生能夠用自己的方法解決有關(guān)小數(shù)的實(shí)際問題，在豎式書寫中知道整數(shù)部分有余數(shù)時(shí)還可以繼續(xù)往下除，但不知道如何將整數(shù)部分的余數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理。據(jù)此，我們確定本單元的主要學(xué)習(xí)路徑為：①建立小數(shù)平分模型，理解如何對(duì)整數(shù)部分的余數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理；②結(jié)合平分模型，以算理理解支持豎式記錄的意義建構(gòu)；③理解除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法的算理并掌握豎式算法。

在整數(shù)除法的學(xué)習(xí)中，學(xué)生會(huì)借助直觀模型，通過“分一分”“算一算”這兩大操作活動(dòng)來理解算理。但在小數(shù)除法的學(xué)習(xí)中，很多教材提供的現(xiàn)實(shí)模型都僅限于抽象思維層面，而沒有具象操作層面。在運(yùn)算教學(xué)中，直觀模型在促進(jìn)學(xué)生理解算理方面有十分明顯的效果，特別是小數(shù)除法豎式中對(duì)于整數(shù)部分余數(shù)的轉(zhuǎn)化處理，更需要借助直觀模型來促進(jìn)學(xué)生的理解與建構(gòu)[1]。因此，在新授課之前的操作活動(dòng)課中，我們創(chuàng)設(shè)了分錢的現(xiàn)實(shí)情境，借助直觀模型“平分人民幣”，讓學(xué)生經(jīng)歷換錢、分錢的過程，從而理解小數(shù)除法的算理本質(zhì)——逐步細(xì)分計(jì)數(shù)單位。

【教學(xué)過程】

（一）分一分，在操作活動(dòng)中感悟計(jì)數(shù)單位細(xì)分的必要性

教師出示任務(wù)一：5個(gè)小伙伴收集了一些廢品，一共賣了11.5元錢。平均每個(gè)人可以分得多少元？

1.想一想，說一說

課件出示：廢品站的叔叔給了他們1張10元，1張1元，5張1角的鈔票，要將這些錢平分給5個(gè)人，會(huì)遇到什么問題？

生：1張10元無法分給5個(gè)人，因?yàn)槿嗣駧挪荒芩簹А?/p>

生：1張1元也無法分下去。

學(xué)生達(dá)成一致意見：因?yàn)?0元、1元面額的人民幣不能分，所以要換成面額更小的錢才能將錢全部分下去。

2.寫一寫，換一換

課件出示：每個(gè)小組有一次兌換零錢的機(jī)會(huì)。請(qǐng)先想好如何兌換，再到“零錢銀行”按需換取。

師：你們小組想如何換錢？討論后，請(qǐng)將換錢方案寫在記錄單上。一會(huì)兒拿著你們的記錄單來換取零錢。

學(xué)生小組內(nèi)商量如何換零錢，并做好記錄。之后，各小組依次到零錢兌換處兌換零錢?？蓛稉Q的幣值只有1元和1角的，如果學(xué)生要求換其他幣值的，教師予以提醒。

3.分一分，記一記

課件出示：小組內(nèi)將兌換好的11.5元錢平分給5個(gè)小朋友，并用算式記錄每次分的過程（結(jié)果以元為單位）。學(xué)生組內(nèi)動(dòng)手分錢，做分錢過程的記錄。

4.活動(dòng)反饋，全班交流

學(xué)生在換或分的過程中，會(huì)出現(xiàn)一些典型的課堂生成。教師基于學(xué)生的分法組織學(xué)生交流、修正。

（1）反饋換錢方案

師：對(duì)于第一種換法（如圖1）和第二種換法（如圖2），你們更傾向于哪一種？

圖1

圖2

生：第二種方法，更方便分錢，不需要拿著那么多的零錢。

生：第二種方法可以直接把錢分給5個(gè)人，不用分得那么碎。

師：兩種換法都是對(duì)的。但正如同學(xué)們所說，第二種方法更簡(jiǎn)潔。

（評(píng)析：設(shè)置適切的問題情境，凸顯矛盾——無法分錢，要換成面額較小的錢。學(xué)生將11.5元換成115角，就是將小數(shù)除法的計(jì)算轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法的計(jì)算，能解決實(shí)際問題。然而，這種方法并不能很好地幫助學(xué)生體會(huì)小數(shù)除法的算理本質(zhì)。而第二種換錢方法，體現(xiàn)了計(jì)算過程中對(duì)余數(shù)或分不下去的大面額人民幣的轉(zhuǎn)化處理，即將其兌換成下一個(gè)計(jì)數(shù)單位再分，有助于學(xué)生建構(gòu)直觀模型并理解算理本質(zhì)。因此，引導(dǎo)學(xué)生排除第一種方法，方便后面的聚焦討論。）

（2）討論分錢記錄

師：這兩種記錄方式哪一種更符合我們換錢、分錢的實(shí)際情況？

生：第二種方法（如圖4）更符合。第一種方法（如圖3）中，1元是分不了的，要把1元換成10角，才可以平均分。（學(xué)生說，教師及時(shí)在學(xué)生作業(yè)旁記錄）

圖3

圖4

師：也就是說，第二種方法確實(shí)是把剛才換錢、分錢的實(shí)際情況給記錄下來了。

師：那么再看第三種方法（如圖5），你能看懂嗎？符合我們換錢、分錢的過程嗎？

圖5

生：我認(rèn)為不符合，剩下的1元已經(jīng)換成10角，應(yīng)該把1.5÷5=0.3（元）改成15角÷5=3角。

（教師及時(shí)在學(xué)生作業(yè)旁記錄）師：這里的15角是怎么來的呢？生：剩下的1元換成10角，加上原來的5張1角，合起來就是15角。

師：明白了。這里是把換的10角和原有的5角合在一起再平均分，每人分得3角。

（教師將圖3和圖5的記錄放在一起，引導(dǎo)學(xué)生做對(duì)比）

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察圖3和圖5中修正后的記錄，它們有什么不同之處？

生：第一種方法是先分10角，再分剩余的5角，第三種方法是把10角和5角合起來一起分。

師：也就是說第一種方法是先分10角，再分5角，第三種方法是10角和5角合起來分一次。你們組是怎么算的呢？

生：我們是分開算的。

師：那現(xiàn)在再讓你分一次，你會(huì)怎么分？

生：我可能會(huì)選擇第三種方法。

師：為什么？

生：因?yàn)橥粏挝坏目梢院显谝黄鸱帧?/p>

師：你的回答引發(fā)了我的思考，我們可以把10角和5角合起來分，但是不會(huì)把10元和15角放在一起分，為什么？

生：因?yàn)閱挝徊煌?/p>

師：經(jīng)過剛才的討論，哪位同學(xué)能把換錢、分錢的過程整理一下？我們一起記錄下來。

生：10元=1元×10，1元=1角×10，10角+5角=15角。10元÷5=2元，15角÷5=3角，2元+3角=2.3元。

師：在整個(gè)過程中，哪些行為對(duì)我們分錢至關(guān)重要？

生：換錢，把10元換成10個(gè)1元，把1元換成10個(gè)1角。

（評(píng)析：學(xué)生反饋的過程就是他們對(duì)換錢、分錢操作過程的整理與反思。在這個(gè)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)反饋：①分的順序和結(jié)果的合理性；②所做記錄與分錢過程的相符性。在直觀模型表征與算式表征之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。通過關(guān)鍵問題的引領(lǐng)給學(xué)生提供更多的思考空間，幫助學(xué)生真正理解計(jì)數(shù)單位細(xì)分的重要性與必要性。）

（二）算一算，多元表征理解單位細(xì)分的必要性

教師出示任務(wù)二：你網(wǎng)購了14米長(zhǎng)的繩子，準(zhǔn)備做4條跳繩。平均每條跳繩長(zhǎng)多少米？

出示活動(dòng)要求：（1）分一分，算一算，用自己喜歡的方式記錄分、算的過程。（2）比較分錢和分繩的過程，想想它們之間有什么共同之處。

師：與之前不同，每位同學(xué)要獨(dú)立完成這次任務(wù)。你能想辦法完成嗎？

學(xué)生獨(dú)立思考并嘗試解決問題，記錄分和算的過程。反饋交流時(shí)，教師展示學(xué)生的算法，結(jié)合畫圖、列算式等方式，幫助學(xué)生厘清算理。

師：能看懂這份記錄（如圖6）嗎？

生：14米長(zhǎng)的繩子平均分給4人，每人先得3米，剩下2米，就不夠分了。因?yàn)槲覀儗W(xué)過2米=20分米，所以剩下20分米每人可以再分5分米，也就是0.5米。最后每人分得3.5米。

師：20分米平均分給4人，每人又得5分米。假設(shè)分了還有剩余，那該怎么辦？

生：那就再換成厘米，繼續(xù)分。

師：對(duì)比“分錢”和“分繩”的過程，它們之間有什么共同之處？

生：其實(shí)就是能分的就先分，剩下不能分的就換成能分的再分。

師：不管分錢還是分繩，如果分了以后有剩余，我們就換成小的單位后再分。

（評(píng)析：經(jīng)歷了任務(wù)一后，學(xué)生需要根據(jù)獲得的經(jīng)驗(yàn)來整理所吸收的信息。從“分錢”到“分繩”，引領(lǐng)的關(guān)鍵問題都是“遇到分不下去時(shí)該怎么辦”，情境的遷移，引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)比思考，理性感知不同情境下互通的算理本質(zhì)。）

【教學(xué)思考】

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾指出：“算法是一種完全極端的情況，它一旦被掌握，或確信被掌握，人們很可能就不理會(huì)它們的來源，甚至認(rèn)為這件事不值得討論，但是如果機(jī)械地運(yùn)用算法，就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)本身的目標(biāo)構(gòu)成危害。”[2]基于此，學(xué)生在有關(guān)小數(shù)除法的學(xué)習(xí)中，應(yīng)充分理解算理，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)入算法探究。學(xué)生對(duì)小數(shù)除法算理的理解需要借助直觀模型，從操作具象到算式抽象逐步深入。他們有了充分的、足夠的操作與思考，后續(xù)才能在理解與聯(lián)系的視野下建構(gòu)用豎式記錄計(jì)算過程的意義，凸顯豎式學(xué)習(xí)的作用與價(jià)值。

（一）借助活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，理解計(jì)數(shù)單位逐步細(xì)分

任務(wù)一中，當(dāng)學(xué)生拿著“1張10元，1張1元，5個(gè)1角”的人民幣沒辦法平均分給5個(gè)人時(shí)，自然會(huì)想到“換錢”。把人民幣單位換小，1張10元換成10個(gè)1元，1張1元換成10個(gè)1角，就可以繼續(xù)分了。情境遷移為任務(wù)二中的“剩余2米怎么辦。”同樣是換成20分米繼續(xù)分，如果20分米分了以后還有剩余，就把剩余的“分米”換成“厘米”，再繼續(xù)分。因?yàn)橐陨匣顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)與思考過程充分支持學(xué)生感受計(jì)量（數(shù)）單位逐步細(xì)分這一算理本質(zhì)，所以去除情境后，這些經(jīng)驗(yàn)足以支撐學(xué)生理解豎式中計(jì)數(shù)單位的逐步細(xì)分過程。

（二）建構(gòu)直觀模型，溝通算理與算法的聯(lián)系

以往學(xué)生在解答“將11.5元平均分給5個(gè)人，平均每人能分到多少錢”的問題時(shí)，用豎式計(jì)算11.5÷5，常常糾結(jié)于整數(shù)部分除完后，剩余部分應(yīng)寫成1.5還是15。有了操作直觀模型的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以在操作步驟與豎式書寫步驟之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，思考分錢時(shí)分的是1.5元還是15角，明確對(duì)整數(shù)部分余數(shù)的處理方法及算理本質(zhì)。去除情境后，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生理解15角可以記作15個(gè)0.1元，3角記作3個(gè)0.1元，從具體到抽象，“溝通直觀模型中的計(jì)量單位與計(jì)數(shù)單位之間的聯(lián)系”[3]。

建構(gòu)主義告訴我們，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意學(xué)生的有意義建構(gòu)，通過適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略啟發(fā)學(xué)生自主建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。本節(jié)課的設(shè)計(jì)從基于學(xué)習(xí)路徑分析的單元整體教學(xué)出發(fā)，確立建構(gòu)直觀模型，以操作活動(dòng)支持算理理解的學(xué)習(xí)目標(biāo)。讓學(xué)生在充分的活動(dòng)與反思中理解計(jì)數(shù)單位逐步細(xì)分的算理本質(zhì)，不留痕跡地為小數(shù)除法豎式學(xué)習(xí)時(shí)理解“整數(shù)部分的余數(shù)如何處理”以及“小數(shù)點(diǎn)位置如何確定”埋下伏筆。