例談初中數(shù)學(xué)的解題指導(dǎo)策略
——以“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”為例

江蘇省泰興市洋思中學(xué) 曹偉林

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題不僅涉及圖形變換的知識(shí)點(diǎn)，也涉及三角函數(shù)的問(wèn)題，解答難度較高。教學(xué)中，教師要對(duì)學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性指導(dǎo)，使學(xué)生掌握解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的策略，并逐漸提高學(xué)生解答這類問(wèn)題的能力。

一、學(xué)會(huì)畫圖——解決問(wèn)題的突破口

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是以初中幾何問(wèn)題為基礎(chǔ)的，因此，在分析動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，首先就要將其轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，將題目簡(jiǎn)化，并根據(jù)題目中所提供的各種信息繪制幾何圖形，想象動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程和圖形會(huì)發(fā)生的變化。這個(gè)過(guò)程可以有效培養(yǎng)學(xué)生對(duì)題目的理解和分析能力，同時(shí)鍛煉學(xué)生的思維能力，這一點(diǎn)對(duì)于初中階段學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和發(fā)展而言是十分重要的。此外，引導(dǎo)學(xué)生將文字信息轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇^圖形，實(shí)現(xiàn)抽象信息向具體內(nèi)容的轉(zhuǎn)變，這對(duì)于提高學(xué)生解答問(wèn)題的能力而言有重要意義，使學(xué)生能在短時(shí)間內(nèi)找到解答題目的方法。

例如：已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都處于同一個(gè)圓的圓周之上，其中，BC是該圓的直徑，點(diǎn)A為該圓圓周上一動(dòng)點(diǎn)，那么A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到哪里時(shí)，該三角形為等腰三角形？求出該三角形面積的最大值。

首先，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目中的已知信息繪制相對(duì)應(yīng)的圖形。引導(dǎo)學(xué)生思考A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，并通過(guò)圖形展示出來(lái)，這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生能對(duì)動(dòng)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)有直觀認(rèn)識(shí)，從而初步建立解題思路，還能提高學(xué)生的動(dòng)手操作能力。

二、動(dòng)靜轉(zhuǎn)化——切準(zhǔn)解題關(guān)鍵點(diǎn)

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題具有動(dòng)中有靜、靜中有動(dòng)的特點(diǎn)，在解決這類題目時(shí)，學(xué)生就需要采取動(dòng)靜結(jié)合的策略，高效解題。

1.動(dòng)中尋靜，找到特殊點(diǎn)

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與其他類型問(wèn)題的最大不同之處就在于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的“動(dòng)”，學(xué)生需要跟隨動(dòng)點(diǎn)的變化找出相應(yīng)的解題思路。因此，在解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，教師就要引導(dǎo)學(xué)生將多變的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的靜態(tài)問(wèn)題，根據(jù)題目提供的信息，找到動(dòng)點(diǎn)變化當(dāng)中最為典型的位置，從而將動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)殪o態(tài)問(wèn)題。

例如：在正方形ABCD中，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中，∠AEF是直角，正方形的外角∠DCG的角平分線CF與EF相交于點(diǎn)F，求證：AE=EF。解答這道題目時(shí)，在繪制出圖形之后，學(xué)生在教師的引導(dǎo)之下，主要采用全等三角形的知識(shí)證明，但是由于E是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，無(wú)法將其所在的線段直接作為解題條件，對(duì)此，教師再次引導(dǎo)學(xué)生思考：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到哪一個(gè)位置時(shí)，能夠出現(xiàn)證明三角形全等的條件呢？經(jīng)過(guò)思考學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)，E這一動(dòng)點(diǎn)便轉(zhuǎn)化成為靜點(diǎn)，進(jìn)而能夠解答這一問(wèn)題，于是在BA上截取BM=BE，連接EM，可證明△AEM與△EFC為全等三角形，則可以得到AE=EF。

這種解題策略可以幫助學(xué)生快速找到解題思路，切入題目關(guān)鍵點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)正確、高效地解答問(wèn)題。

2.以靜制動(dòng)，找出變量點(diǎn)

在將動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題靜態(tài)化之后，可以通過(guò)使用函數(shù)圖像體現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化，并引導(dǎo)學(xué)生探討函數(shù)的內(nèi)涵，基于圖形存在的變量構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，以動(dòng)態(tài)的眼光觀察變量之間的聯(lián)系，從而解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。

例如：有一只螞蟻從扇形OAB中的O點(diǎn)（圓心）開始沿著扇形外沿O—A—B—O移動(dòng)，設(shè)爬行時(shí)間為t，螞蟻離出發(fā)點(diǎn)的距離為s，求s關(guān)于t的函數(shù)圖像。可以發(fā)現(xiàn)，螞蟻從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，與O點(diǎn)的距離是越來(lái)越大的，但是從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程當(dāng)中，距離沒(méi)有發(fā)生變化，從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的過(guò)程當(dāng)中，距離不斷縮小。這道題目可以作為一道典型例題，引導(dǎo)學(xué)生找出規(guī)律，并引用到其他相似的題型當(dāng)中。

3.動(dòng)靜互換，找到隱含點(diǎn)

一般而言，動(dòng)點(diǎn)主要存在于特殊位置形成的特殊數(shù)量關(guān)系和圖形當(dāng)中，解答時(shí)要做到動(dòng)靜互換，找出運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程當(dāng)中的隱含點(diǎn)，將一般問(wèn)題特殊化，找到解題切入點(diǎn)。在解答動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，有必要抓住動(dòng)點(diǎn)所在的特殊位置，找出其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

三、分類討論——提升解題全面性

在動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解決上，分類討論方法的應(yīng)用十分普遍，原因在于動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位置不同，圖形也會(huì)發(fā)生變化，因此展開分類討論十分有必要。

例如：在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=3，DC=5，AB=7，∠B=45°，M為BC上的一動(dòng)點(diǎn)，以每秒2個(gè)單位的速度由B向C運(yùn)動(dòng)；N為CD上的一動(dòng)點(diǎn)，以每秒1 個(gè)單位的速度由C向D運(yùn)動(dòng)，M、N同時(shí)出發(fā)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)了幾秒時(shí)，△MNC為等腰三角形？

這道題目的解答過(guò)程當(dāng)中，如果僅僅從圖形入手，學(xué)生很容易只考慮MC、MN為等腰三角形的兩條腰這種情況，但其實(shí)三條邊都有可能兩兩相等，教學(xué)中，教師就要幫助學(xué)生分析這三種情況的存在，使學(xué)生在畫圖基礎(chǔ)上對(duì)此展開分類討論，并注重引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度思考問(wèn)題，以實(shí)現(xiàn)完整解答問(wèn)題。

作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中的重難點(diǎn)內(nèi)容，針對(duì)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題教學(xué)，教師要基于學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況，引導(dǎo)學(xué)生在分析問(wèn)題的過(guò)程當(dāng)中找到最合適的解答方法，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力。