一種矩陣排序改進(jìn)的模糊度解算方法

田晨冬，李克昭,2

一種矩陣排序改進(jìn)的模糊度解算方法

田晨冬1，李克昭1,2

（.1. 河南理工大學(xué) 測(cè)繪與國土信息工程學(xué)院，河南 焦作 454000；2. 北斗導(dǎo)航應(yīng)用技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，鄭州 450052）

針對(duì)目前應(yīng)用最為廣泛的最小二乘降相關(guān)平差（LAMBDA）算法涉及大量矩陣運(yùn)算，延長(zhǎng)了降相關(guān)時(shí)間的問題，提出一種矩陣排序法（MOM），來提高降相關(guān)效率。仿真實(shí)驗(yàn)和實(shí)測(cè)結(jié)果表明：在保持與LAMBDA算法精度相當(dāng)?shù)那闆r下，MOM方法可將平均解算時(shí)間從43690 μs 降低到40970 μs。

模糊度解算；全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)；矩陣排序；最小二乘降相關(guān)平差算法；去相關(guān)算法

0 引言

在全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（global navigation satellite system，GNSS）高精度差分定位中，如何準(zhǔn)確高效地求解整周模糊度是一項(xiàng)關(guān)鍵問題，因?yàn)橹挥心：鹊玫焦潭?，衛(wèi)星定位才能得到毫米級(jí)的定位精度。模糊度處理方法主要包括3類[1]：①坐標(biāo)域中確定模糊度的方法；②觀測(cè)值域模糊度解算方法；③模糊度域中確定模糊度的方法。目前以基于整數(shù)最小二乘原則，在模糊度域中確定模糊度的最小二乘降相關(guān)平差（least-square ambiguity decorrelation adjustment，LAMBDA）算法[2-3]應(yīng)用最為廣泛。LAMBDA解算模糊主要包括3個(gè)步驟：首先，通過對(duì)整數(shù)最小二乘估計(jì)獲得模糊度的浮點(diǎn)解和相應(yīng)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行降相關(guān)處理從而獲得固定解；然后，構(gòu)建模糊度候選區(qū)間搜索最優(yōu)模糊度；最后，對(duì)模糊度的準(zhǔn)確性進(jìn)行檢驗(yàn)確認(rèn)。由于其降相關(guān)處理涉及大量矩陣運(yùn)算，延長(zhǎng)了降相關(guān)時(shí)間。因此有必要對(duì)其降相關(guān)過程進(jìn)行研究，提高降相關(guān)效率。

國內(nèi)外學(xué)者都對(duì)降相關(guān)過程進(jìn)行了大量的研究。文獻(xiàn)[4]通過上下三角過程構(gòu)造聯(lián)合去相關(guān)算法，降低了模糊度之間的相關(guān)性；文獻(xiàn)[5]使用喬列斯基（Cholesky）分解，構(gòu)建整數(shù)高斯矩陣，在高維情況下，分解得到的浮點(diǎn)解協(xié)方差矩陣條件數(shù)最??；文獻(xiàn)[6]以降低協(xié)方差矩陣的條件數(shù)為準(zhǔn)則，提出一種性能更加優(yōu)越的模糊度去相關(guān)算法。自文獻(xiàn)[7]將格理論中的規(guī)約算法倫斯特拉-倫斯特拉-洛瓦斯（Lenstra-Lenstra-Lovász, LLL）算法應(yīng)用于模糊度降相關(guān)以來，很多學(xué)者從格基規(guī)約理論角度，分析LLL的降相關(guān)性能，文獻(xiàn)[8]提出一種逆整數(shù)Cholesky去相關(guān)方法，其性能優(yōu)于整數(shù)高斯去相關(guān)和LLL算法；文獻(xiàn)[9]基于分塊格拉姆-施密特（Gram-Schmidt）正交化算法，來改進(jìn)LLL算法，在改善平均相關(guān)系數(shù)和條件數(shù)的基礎(chǔ)上，極大地優(yōu)化了搜索所需的時(shí)間；文獻(xiàn)[10]采用分塊降維，來改進(jìn)LLL算法，有效地提高了LLL算法的運(yùn)行效率。

此外有學(xué)者研究表明，排序可以優(yōu)化模糊度去相關(guān)算法，提高浮點(diǎn)解方差-協(xié)方差矩陣去相關(guān)效率[11-13]。文獻(xiàn)[14]將基于排序的QR分解策略改進(jìn)，并應(yīng)用到LAMBDA算法中，通過貪婪選擇和惰性變換，對(duì)參數(shù)進(jìn)行去相關(guān)，有效地提高了LAMBDA算法的效率；文獻(xiàn)[15]將自然升序法、對(duì)稱旋轉(zhuǎn)法及擾動(dòng)升序法并行計(jì)算，獲得了更好的降相關(guān)結(jié)果。

因此，針對(duì)LAMBDA算法降相關(guān)過程復(fù)雜耗時(shí)，排序法可以優(yōu)化降相關(guān)效率的問題，本文基于矩陣排序，對(duì)LAMBDA算法的去相關(guān)過程進(jìn)行改進(jìn)，提出一種Cholesky分解的并行算法即矩陣排序法（matrix ordering method，MOM），并結(jié)合仿真實(shí)驗(yàn)及實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與LAMBDA方法進(jìn)行對(duì)比分析。

1 雙差模糊度解算模型

1.1 模糊度最小二乘估計(jì)模型

對(duì)觀測(cè)方程式（1）中未知參數(shù)進(jìn)行線性化，并將這些線性化方程集合成一個(gè)線性方程組，即

1.2 模糊度降相關(guān)

通常模糊度分量之間具有很高的相關(guān)性，導(dǎo)致搜索效率低，為了使求解過程更加高效，可以通過整數(shù)高斯變換（變換）將最小二乘問題式（4）轉(zhuǎn)化為新的最小二乘問題，其計(jì)算方法為

2 改進(jìn)矩陣排序求解整周模糊度

在模糊度解算過程中，為了滿足不等式式（10）需要進(jìn)行排列計(jì)算，由排列引起的計(jì)算量直接決定著整個(gè)模糊度解算過程的耗時(shí)，排列的數(shù)量越少模糊度解算越快。因此，本節(jié)通過對(duì)模糊度排列計(jì)算的分析研究提出一種Cholesky分解的并行算法，即MOM算法。

從而提高模糊度解算方法的效率。

其中

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證分析

解算精度與時(shí)間效率是對(duì)一個(gè)模糊度解算方法優(yōu)劣的直接判斷，因此本文采用仿真數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)MOM算法與LAMBDA算法的解算精度與解算時(shí)間進(jìn)行對(duì)比。

MOM算法解算整周模糊度流程圖如圖1所示。

圖1 MOM算法流程圖

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)分析

仿真實(shí)驗(yàn)分為2種不同的情況。浮點(diǎn)解向量的構(gòu)建，采用的函數(shù)為

情況2：=diag(200, 200, 200, 0.1, 0.1,…, 0.1)。

從仿真結(jié)果可以看出，MOM算法的運(yùn)行時(shí)間普遍優(yōu)于LAMBDA算法。在低維情況下，2種算法平均運(yùn)行時(shí)間大致相同，但是當(dāng)維數(shù)增大時(shí)MOM算法的運(yùn)行時(shí)間相較于LAMBDA算法會(huì)越來越短。需要說明的是，在仿真實(shí)驗(yàn)中，LAMBDA算法與MOM算法都針對(duì)于相同的整數(shù)最小二乘問題給出相同的計(jì)算解決方法。因此，對(duì)于仿真實(shí)驗(yàn)所針對(duì)的問題，2種算法在準(zhǔn)確性方面沒有差異。

圖2 情況1平均運(yùn)行時(shí)間

圖3 情況2平均運(yùn)行時(shí)間

3.2 實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)分析

實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)采用一組和芯星通UB4B0-MINI板卡采集的靜態(tài)觀測(cè)數(shù)據(jù)?；€長(zhǎng)89.83 m，采樣間隔1 s，截取了1000個(gè)歷元進(jìn)行對(duì)解算時(shí)間和解算結(jié)果進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析?；贛icrosoft Visual Studio 2019利用C語言進(jìn)行了程序設(shè)計(jì)，所使用的數(shù)據(jù)為標(biāo)準(zhǔn)接收機(jī)自主交換格式（receiver independent exchange format, RINEX）數(shù)據(jù)，其中包括星歷數(shù)據(jù)和觀測(cè)數(shù)據(jù)。

圖4展示了一個(gè)歷元2種方法求解的12維固定解與浮點(diǎn)解對(duì)比，特別地，為了便于展示結(jié)果小數(shù)點(diǎn)前只保留了一位。LAMBDA算法與MOM算法解算模糊度時(shí)間如圖5所示。表1展示了2種算法解算的最小值、最大值、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)方差和極差，時(shí)間單位為μs。

圖5 解算時(shí)間曲線

表1 解算時(shí)間結(jié)果 單位：μs

通過圖4浮點(diǎn)解與LAMBDA固定解和MOM固定解的結(jié)果對(duì)比，可以看出MOM算法與LAMBDA算法所解算出的模糊度固定解結(jié)果基本一致。因此，MOM算法保證了模糊度固定解的精度，可以滿足高精度定位要求。圖5清晰直觀地表明了MOM算法的有效性。表1的各項(xiàng)數(shù)值更驗(yàn)證了MOM算法在解算時(shí)間上的優(yōu)勢(shì)，其中標(biāo)準(zhǔn)方差為固定解隨機(jī)變量與其平均值之間的偏離程度，極差代表固定解最大值與最小值之間的差距。從表1中可以看出：相較于LAMBDA算法，MOM算法將模糊度的平均解算時(shí)間從43690 μs降低到了40970 μs，標(biāo)準(zhǔn)方差從4590 μs降低到了3323 μs，極差從22350 μs降低到了16420 μs。結(jié)合圖5和表1分析可以得到：MOM算法解算時(shí)間相比于LAMBDA算法短且穩(wěn)定性更好。

綜上所述，本文提出的MOM算法可以在保證模糊度固定解精度不變的情況下降低模糊度固定解的解算時(shí)間。通過仿真與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了該結(jié)論。

4 結(jié)束語

本文分析了GNSS載波相位雙差模糊度解算模型，針對(duì)模糊度去相關(guān)過程，引入矩陣排序法，提出一種基于Cholesky分解的MOM并行算法，并進(jìn)行了仿真分析與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。仿真與實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：MOM算法求解模糊度在精度上與LAMBDA算法一致，但其搜索時(shí)間效率與穩(wěn)定性高于LAMBDA算法。

如何對(duì)矩陣排序法改進(jìn)以提高模糊度搜索效率、提升搜索準(zhǔn)確性是今后需要進(jìn)一步研究的問題。

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A method of ambiguity resolution based on matrix ordering

TIAN Chendong1, LI Kezhao1,2

（1. School of Surveying and Land Information Engineering, Henan Polytechnic University, Jiaozuo, Henan 454000, China;2. Collaborative Innovation Center of BDS Research Application, Zhengzhou 450052,China）

In view of the fact that the Least-square Ambiguity Decorrelation Adjustment (LAMBDA) algorithm, which should be the most widely used method to determine the ambiguity, involves a lot of matrix operations in its decorrelation processing and prolongs the decorrelation time, this paper proposes a Matrix Ordering Method (MOM), which can improve the efficiency of decorrelation. Compared with the LAMBDA algorithm, simulation experiments and actual measurement results show that the average solution time of MOM algorithm is reduced from 43690 μs to 40970 μs while the accuracy of LAMBDA algorithm remains unchanged.

ambiguity resolution; global navigation satellite system; matrix ordering; least-square ambiguity decorrelation adjustment algorithm; decorrelation algorithm

P228

A

2095-4999(2021)06-0065-06

田晨冬，李克昭. 一種矩陣排序改進(jìn)的模糊度解算方法[J]. 導(dǎo)航定位學(xué)報(bào), 2021, 9(6): 65-70.（TIAN Chendong, LI Kezhao. A method of ambiguity resolution based on matrix ordering[J]. Journal of Navigation and Positioning, 2021, 9(6): 65-70.）

10.16547/j.cnki.10-1096.20210610.

2021-01-20

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（41774039）；國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室項(xiàng)目（6142210200104）。

田晨冬（1998—），男，河南商丘人，碩士研究生，研究方向?yàn)樾l(wèi)星導(dǎo)航與定位技術(shù)。

李克昭（1977—），男，甘肅靖遠(yuǎn)人，博士，教授，研究方向?yàn)樾l(wèi)星定位/視覺導(dǎo)航的理論。