橫向熱擴(kuò)散作用對(duì)地?zé)豳Y源開發(fā)過程中單井注抽試驗(yàn)的影響機(jī)理

張?zhí)?劉 洋,丁若偉,凡倩瑩

(1.山東省地質(zhì)科學(xué)研究院，山東 濟(jì)南 250013；2.自然資源部金礦成礦過程與資源利用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 濟(jì)南 250013；3.山東省金屬礦產(chǎn)成礦地質(zhì)過程與資源利用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 濟(jì)南 250013；4.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)環(huán)境學(xué)院，湖北 武漢 430078)

地?zé)崮苁且环N清潔、可持續(xù)和可再生的能源，由于其具有儲(chǔ)量巨大、產(chǎn)量穩(wěn)定且基本不受季節(jié)、氣候影響等優(yōu)勢，其開發(fā)利用與存儲(chǔ)問題越來越受到人們的廣泛關(guān)注。實(shí)際上，更多的熱能貯存于地下的巖石中，也被稱為“干熱巖型地?zé)豳Y源”。在干熱巖型地?zé)豳Y源的開發(fā)利用過程中，裂隙-基巖滲流傳熱問題的基礎(chǔ)研究是認(rèn)識(shí)和揭示相關(guān)地?zé)崮荛_發(fā)利用的熱學(xué)理論基礎(chǔ)，也是解決能源與環(huán)境領(lǐng)域諸多問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一，具有較大的工程應(yīng)用價(jià)值。注抽試驗(yàn)廣泛用于地?zé)崮艿拈_發(fā)利用，即先將冷水注入干熱巖中獲取熱量，然后將熱水抽出來使用，有時(shí)完整的干熱巖的儲(chǔ)水能力有限，必須采用水壓致裂方法提高地?zé)崮艿拈_采效率。通常注抽試驗(yàn)分為多井注抽試驗(yàn)和單井注抽(Single-Well Push-Pull,SWPP)試驗(yàn)，其中多井注抽試驗(yàn)至少需要兩口井，開展多井注抽試驗(yàn)時(shí)，首先將冷水通過一口或者多口井注入到裂隙中，然后通過觀測井將熱水抽出；而單井注抽試驗(yàn)只需要一口井，其操作是首先將冷水通過一口井注入裂隙介質(zhì)中，經(jīng)過一段時(shí)間后再將熱水從該井中抽出。相比之下，單井注抽試驗(yàn)具有成本低，耗時(shí)短和操作簡單等優(yōu)點(diǎn)。

到目前為止，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)建立了大量的模型用于研究熱在裂隙-基巖含水層介質(zhì)中物質(zhì)和能量的遷移轉(zhuǎn)化機(jī)理，如Neretnieks、Tang等、Mahmoudzadeh等、Zhu等、Zhou等、Zhu等、Trinchero等。在裂隙-基巖含水層系統(tǒng)中的SWPP熱質(zhì)運(yùn)移解析解方面，Kocabas采用雙重拉普拉斯變換法構(gòu)建了兩階段的SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)?zāi)Ｐ?；Jung等采用拉普拉斯變換法和傅立葉變換法構(gòu)建了三階段的SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)解析解;Wang等考慮混合效應(yīng)物理過程，采用拉普拉斯變換法和格林函數(shù)法構(gòu)建了三階段的SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)解析解。混合效應(yīng)是指注入的冷水與井筒中的熱水混合的過程?，F(xiàn)有的SWPP試驗(yàn)?zāi)Ｐ桶芏嗟募俣l件，實(shí)際很難滿足，例如現(xiàn)有的模型忽略了裂隙-基巖含水層介質(zhì)中的熱彌散和橫向熱擴(kuò)散的影響，導(dǎo)致現(xiàn)有的模型難以推廣。在數(shù)值解方面，目前有很多商業(yè)的數(shù)值模擬軟件(FEFLOW，GMS，COMSOL，TOUGH2等)可以構(gòu)建SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，如魏永霞等采用GMS構(gòu)建了韶關(guān)溫泉三維地?zé)釘?shù)值模型，開展了地?zé)豳Y源量評(píng)價(jià)；劉東林等采用TOUGH2軟件開展了東麗湖地區(qū)霧迷山組地?zé)豳Y源可開采潛力評(píng)價(jià)研究；單丹丹等采用COMSOL軟件研究了地?zé)嵘罹a(chǎn)過程中井筒熱能損失。然而，Wang等指出現(xiàn)有的商業(yè)模擬軟件在刻畫混合效應(yīng)過程時(shí)假定井筒的水位等于含水層的厚度，因此現(xiàn)有的商業(yè)模擬軟件難以準(zhǔn)確地開展地?zé)豳Y源量評(píng)價(jià)、地?zé)嵯嚓P(guān)參數(shù)的敏感性分析和參數(shù)反演方面的研究。

為了更好地理解裂隙-基巖含水層系統(tǒng)中的熱質(zhì)運(yùn)移機(jī)理，本文采用對(duì)流-擴(kuò)散方程來構(gòu)建裂隙-基巖含水層系統(tǒng)中SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型，但由于數(shù)學(xué)模型考慮了裂隙和基巖中的橫向和縱向熱傳導(dǎo)和熱擴(kuò)散以及井筒中的混合效應(yīng)等多個(gè)過程，很難導(dǎo)出該數(shù)學(xué)模型的解析解，因此本文采用有限差分法構(gòu)建SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)的數(shù)值模型來研究這些過程對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響，數(shù)值模型采用MATLAB軟件中的ODE15s求解器求解。

1 SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的建立

SWPP試驗(yàn)概念模型示意圖如圖1所示，該概念模型已經(jīng)廣泛用于研究裂隙-基巖含水層系統(tǒng)中地下水的流動(dòng)、溶質(zhì)運(yùn)移和熱質(zhì)運(yùn)移問題。類似于Wang等的研究，假定井筒完整穿透裂隙介質(zhì)，裂隙寬度是均一的，基巖中只考慮熱傳導(dǎo)作用，裂隙中的滲流服從達(dá)西定律，本研究采用直角坐標(biāo)系建立裂隙-基巖含水層中考慮混合效應(yīng)的SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，坐?biāo)原點(diǎn)位于井壁處的基巖上，以裂隙方向?yàn)?p>x

方向，垂直裂隙方向?yàn)?p>z

方向。SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷目刂品匠讨邪釋?duì)流、熱擴(kuò)散和熱傳導(dǎo)過程，SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷目刂品匠虨?p>

圖1 SWPP試驗(yàn)概念模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the SWPP test conceptual model

0≤

z

≤

b

,

t

>0)

(1a)

(1b)

(2a)

(2b)

(2c)

式中：

k

和

k

分別為裂隙和基巖的熱傳導(dǎo)率[W/(L·℃)];

β

和

β

分別為裂隙的縱向和橫向熱彌散度。

在許多前人的研究中，裂隙和基巖中的初始溫度分布都假定為常數(shù)。實(shí)際上，在很多含水層中，溫度的分布在空間上并不是均勻的。類似于Chen等對(duì)于初始溫度的處理方式，本研究假設(shè)裂縫和基巖中的初始溫度分布是一個(gè)任意函數(shù)：

T

(

x

,

z

,

t

)|=0=

T

0(

x

,

z

)

(3a)

T

(

x

,

z

,

t

)|=0=

T

0(

x

,

z

)

(3b)

式中：

T

0(

x

,

z

)和

T

0(

x

,

z

)為分布在裂隙和基巖上的溫度的任意函數(shù)，在交界面上

T

0(

x

,

z

=

b

)=

T

0(

x

,

z

=

b

)。

與Wang等的工作類似，本研究的數(shù)學(xué)模型的內(nèi)邊界條件考慮混合效應(yīng)，在SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)的注入階段，考慮混合效應(yīng)的內(nèi)邊界條件為

(4a)

T

(

x

,

t

)|=0=

T

0(

r

)

(4b)

在SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)的抽取階段，考慮混合效應(yīng)的內(nèi)邊界條件為

(5)

其外邊界條件為

(6)

裂隙-基巖交界面的溫度和溫度通量都是連續(xù)的，因此交界面的邊界條件為

T

(

x

,

z

,

t

)|==

T

(

x

,

z

,

t

)|=

(7a)

(7b)

式中：

φ

為基巖的孔隙度。

2 數(shù)值模型的構(gòu)建

本文采用有限差分法構(gòu)建SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)數(shù)值模型。為了減小數(shù)值計(jì)算的誤差，本研究采用對(duì)數(shù)網(wǎng)格系統(tǒng)來對(duì)時(shí)間和空間進(jìn)行離散。首先將裂隙空間[

x

,

x

]離散為

N

-1個(gè)區(qū)域，即

N

個(gè)節(jié)點(diǎn)，這里采用

x

表示

x

方向上外邊界的長度，則

x

方向上的空間離散為

(8)

其中，

x

+12的計(jì)算公式如下：

(9)

裂隙介質(zhì)區(qū)域[-

b

,0]和基巖區(qū)域[0,

Z

]在

z

方向上分別離散成

M

-1(

M

個(gè)節(jié)點(diǎn))個(gè)子區(qū)域和

M

-1(

M

個(gè)節(jié)點(diǎn))個(gè)子區(qū)域，這里采用

Z

表示

z

方向上外邊界的長度,則

z

方向上的空間離散為

(10a)

(10b)

其中，

z

+12和

z

+12的計(jì)算公式分別如下：

(11a)

(11b)

因此，本研究構(gòu)建的SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的空間離散為

(

i

=0,1,…,

N

;

j

=0,1,…,

M

)

(12a)

(12b)

(12c)

(

t

>

t

)

(12d)

(12e)

T

,(

x

,

z

,

t

)|==

T

(

x

,

z

,

t

)|=

(12f)

(12g)

上述方程(12a)～(12g)即為考慮混合效應(yīng)、橫向熱傳導(dǎo)和熱彌散作用的二維SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)數(shù)值模型，數(shù)值模型采用MATLAB軟件中的ODE15s求解器求解。

3 結(jié)果與討論

3.1 模型的校正

為了檢驗(yàn)上述構(gòu)建的二維SWPP熱質(zhì)運(yùn)移數(shù)值模型和計(jì)算結(jié)果的精度，本研究將構(gòu)建的數(shù)值模型在特定條件下與前人的模型進(jìn)行了對(duì)比，當(dāng)

D

=

D

=0和

β

=0以及

t

=0時(shí)，本研究構(gòu)建的數(shù)值模型將還原為Wang等的模型。本研究所選取的參數(shù)源于Wang等和Jung等研究中，參數(shù)設(shè)置為：

k

=2.1 W/(m·℃),

k

=2.1 W/(m·℃),

ρ

=2 650 kg/m,

c

=1 000 J/(kg·℃),

ρ

=1 000 kg/m,

c

=4 200 J/(kg·℃),

φ

=0.5,

φ

=0.5,

b

=0.1 m,

B

=5 m,

Q

=-

Q

=1.44 m/h,

r

=0.5 m,

t

=250 min,

t

=400 min,

h

,inj=50 m,

h

,res=47.5 m,

h

,ext=45 m,

D

=

D

=0,

β

=

β

=0，

T

=1℃，初始條件設(shè)置為0。圖2為本研究構(gòu)建的數(shù)值解在特定條件下與Wang等的數(shù)值解的對(duì)比。

圖2 兩模型在井壁上溫度穿透曲線的對(duì)比Fig.2 Comparison of BTCs at the wellbore computed by two models

由圖2可見，修改后兩個(gè)模型在井壁上的溫度穿透曲線能夠很好地?cái)M合，從而驗(yàn)證了本研究構(gòu)建的數(shù)值模型的正確性。

3.2 橫向熱擴(kuò)散作用對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響

相比前人的工作，本研究考慮了裂隙介質(zhì)中的橫向熱擴(kuò)散作用，為了研究橫向熱擴(kuò)散作用對(duì)SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)結(jié)果的影響，采用數(shù)值模型計(jì)算了不同有效熱擴(kuò)散系數(shù)

D

值下井壁上的溫度穿透曲線，其計(jì)算結(jié)果見圖3。其中，

D

=0表示不考慮橫向熱擴(kuò)散作用，其他參數(shù)值的設(shè)置同圖2。

圖3 不同有效熱擴(kuò)散系數(shù)Dfz值下井壁上溫度穿透 曲線的對(duì)比Fig.3 Comparison of BTCs at the wellbore for the different values of Dfz

由圖3可見，隨著

D

值的增加，注入階段井壁上的溫度降低，但是在抽取階段井壁上的溫度升高，拖尾現(xiàn)象嚴(yán)重。以上分析表明：裂隙介質(zhì)中的橫向熱擴(kuò)散作用會(huì)導(dǎo)致溫度穿透曲線發(fā)生明顯的變化，說明橫向熱擴(kuò)散作用不容忽視。

3.3 裂隙寬度對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響

橫向熱擴(kuò)散作用可能會(huì)受到裂隙介質(zhì)寬度(

b

)的影響，通常來說，當(dāng)裂隙介質(zhì)的寬度較小時(shí)，橫向熱擴(kuò)散作用較小。因此，為了研究裂隙寬度對(duì)SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)結(jié)果的影響，采用本研究建立的數(shù)值模型，計(jì)算了

t

=240 min時(shí)不同裂隙寬度下在

x

=0.5 m位置處裂隙-基巖中的溫度分布曲線，其計(jì)算結(jié)果見圖4。其中，

D

=0.063 1 m/d，其他參數(shù)設(shè)置同圖2。

圖4 不同裂隙寬度b下在x=0.5 m處裂隙-基巖中的 溫度分布曲線Fig.4 Distribution curves of temperature at x=0.5 m in fracture-matrix for the different values of fracture width (b)

由圖4可見，在橫向擴(kuò)散系數(shù)一定的條件下，裂隙寬度為1.00 m裂隙和基巖介質(zhì)中的溫度值最大。但值得注意的是，當(dāng)

z

<

b

時(shí)，裂隙介質(zhì)中的溫度在橫向熱擴(kuò)散作用下緩慢降低。以上分析表明：裂隙介質(zhì)的寬度會(huì)對(duì)SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)造成明顯的影響，裂隙介質(zhì)的寬度越大，裂隙和基巖介質(zhì)中溫度值越高。

3.4 裂隙-基巖交界面上的熱交換量

在裂隙-基巖交界面上的熱交換量能夠直接反映裂隙和基巖介質(zhì)的性質(zhì)對(duì)熱質(zhì)運(yùn)移的影響，因此本研究采用建立的數(shù)值模型，計(jì)算了不同時(shí)間下裂隙-基巖交界面在

x

方向上的熱交換量，其計(jì)算結(jié)果見圖5。其中，

t

=0.5 d和

t

=1.0 d表示注入階段裂隙-基巖交界面上熱交換量的分布，

t

=20 d和

t

=25 d表示抽取階段裂隙-基巖交界面上熱交換量的分布。參數(shù)設(shè)置如下：

k

=2.1 W/(m·℃),

k

=2.1 W/(m·℃),

ρ

=2 650 kg/m,

c

=1 800 J/(kg·℃)，

c

=1 000 J/(kg·℃),

ρ

=1 000 kg/m,

c

=4 200 J/(kg·℃),

φ

=0.5,

b

=0.1 m,

B

=5 m,

Q

=-

Q

=1.44 m/h,

r

=0.5 m,

t

=1 d,

t

=35 d,

h

,inj=50 m,

h

,res=47.5 m，

h

,ext=45 m。

圖5 不同時(shí)間下裂隙-基巖交界面在x方向上的熱交換量Fig.5 Distribution of the heat flux across the interface of fracture-matrix along the x-direction at different times

由圖5可見：在注入階段，

t

=0.5 d和

t

=1.0 d時(shí)裂隙-基巖交界面上的熱交換量為負(fù)值，這說明在注入階段熱量由裂隙介質(zhì)往基巖介質(zhì)中運(yùn)移，但值得注意的是，

t

=0.5 d時(shí)裂隙-基巖交界面上的熱交換量大于

t

=1.0 d時(shí)的熱交換量，這主要是因?yàn)樵谧⑷腚A段的初期，裂隙-基巖中的溫度梯度較大，隨著注入時(shí)間的增加，裂隙-基巖中的溫度梯度逐漸減小，進(jìn)而造成裂隙-基巖交界面上的熱交換量減??；相反地，在抽取階段，裂隙-基巖交界面上的熱交換量為正值，這說明在抽取階段熱量由基巖介質(zhì)往裂隙介質(zhì)中運(yùn)移，隨著抽取時(shí)間的增加，裂隙-基巖交界面上的熱交換量增加，這主要是因?yàn)殡S著抽取時(shí)間的增加，裂隙中的熱量逐漸被抽出，造成裂隙-基巖中的溫度梯度逐漸增加，從而造成基巖介質(zhì)中的熱量往裂隙介質(zhì)中運(yùn)移。

4 結(jié) 論

本文采用考慮橫向熱擴(kuò)散作用下的對(duì)流擴(kuò)散方程建立了SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型的內(nèi)邊界條件考慮混合效應(yīng)，數(shù)學(xué)模型的求解采用有限差分法構(gòu)建數(shù)值模型并用MATLAB軟件中的ODE15s求解器求解，通過與現(xiàn)有的解析解模型進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了數(shù)值模型的穩(wěn)定性和精度，并分析了橫向熱擴(kuò)散作用對(duì)SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)結(jié)果的影響，得到以下結(jié)論：

(1) 在SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)中，橫向熱擴(kuò)散作用對(duì)熱質(zhì)運(yùn)移的影響不能忽視，裂隙介質(zhì)中的橫向熱擴(kuò)散作用會(huì)導(dǎo)致注入階段井壁上的溫度穿透曲線值降低，而抽取階段井壁上的溫度穿透曲線值則升高，拖尾現(xiàn)象明顯。

(2) 裂隙介質(zhì)的寬度對(duì)SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)結(jié)果的影響明顯，裂隙寬度越大，裂隙和基巖介質(zhì)中溫度值越高。

(3) 在SWPP熱質(zhì)運(yùn)移試驗(yàn)的注入階段，隨著注入時(shí)間的增加，裂隙介質(zhì)中的熱量往基巖介質(zhì)中的運(yùn)移量逐漸降低，在抽取階段，隨著抽取時(shí)間的增加，基巖介質(zhì)中的熱量往裂隙介質(zhì)中的運(yùn)移量逐漸增加。