有效設(shè)計教學(xué)活動，讓數(shù)學(xué)探究浸潤課堂
——以“勾股定理的逆定理”為例

湖北省武漢市光谷第一初級中學(xué) 張 芳

筆者以“勾股定理的逆定理”實際教學(xué)為例，就教學(xué)活動的探究談了幾點教學(xué)思考。

一、在命題引入環(huán)節(jié)借助數(shù)學(xué)文化設(shè)置懸疑，激發(fā)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的內(nèi)動力

命題引入環(huán)節(jié)主要注重讓學(xué)生探尋問題產(chǎn)生的來源，精準(zhǔn)呈現(xiàn)知識的發(fā)生和形成過程。在此環(huán)節(jié)中，本節(jié)課通過展現(xiàn)趣味性的數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣。

情境1：幾千年前，古埃及人曾用這樣的方法作直角：把一根長繩打上等距離的13個結(jié)，然后以3個結(jié)間距、4個結(jié)間距、5個結(jié)間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，則其中一個角便是直角。

圖1

問題：古埃及人的這種作直角方法的奧秘是什么？

班級學(xué)生眉頭緊鎖，愁容滿面，說不上來，一時沒有思緒。

評析：此情境選自人教版數(shù)學(xué)課本，它體現(xiàn)了古埃及人的智慧，通過故事的巧妙設(shè)疑可以讓學(xué)生初步感受數(shù)學(xué)蘊含的奧秘。根據(jù)前面所學(xué)的勾股定理，已知一個三角形是直角三角形，如果兩條直角邊是3和4，那么斜邊必定是5。可是現(xiàn)在確實已知有三條邊分別為3、4、5，那怎么證明它一定是直角三角形呢？猜想直角容易，但究其原理就不知道了。由此，疑問自然產(chǎn)生，學(xué)生迫切希望找到答案。這樣借助數(shù)學(xué)文化創(chuàng)設(shè)問題情境、設(shè)置疑惑，之后再回過頭使問題得到解決的導(dǎo)入方式，不僅展現(xiàn)了知識形成的過程，更讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，并服務(wù)于生活，從而激發(fā)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的內(nèi)在動力。

二、在命題探究環(huán)節(jié)以數(shù)學(xué)活動為載體，培養(yǎng)學(xué)生知識建構(gòu)的能力

命題的探究旨在讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的全過程，包含觀察、猜想和證明等教學(xué)活動。探究勾股定理的逆定理的整個過程，是培養(yǎng)學(xué)生的構(gòu)造思想和創(chuàng)新思維的好時機(jī)。本節(jié)課中定理的證明是最大的難點，這給教師和學(xué)生預(yù)留了很大的發(fā)揮空間，而通過學(xué)生的實踐活動，可以充分挖掘?qū)W生的探究思維，培養(yǎng)學(xué)生知識建構(gòu)的能力。

（一）命題的猜想

畫一畫，量一量：（1）畫一個三角形，使得三邊長度分別為3cm、4cm、5cm，最大角是多少度？（2）畫一個三角形，使得三邊長度分別為2.5cm、6cm、6.5cm，最大角是多少度？

教師利用幾何畫板規(guī)范學(xué)生尺規(guī)作圖。問題：觀察三角形的邊和角，你能得到什么結(jié)論？學(xué)生提出猜想：如果△ABC的三邊長a、b、c，滿足a2+b2=c2，那么它是直角三角形。教師順勢指出此命題與前面所學(xué)的勾股定理的命題互為逆命題。

（二）命題的證明

環(huán)節(jié)1：教師要求學(xué)生獨立畫出圖形，并寫出已知求證。

已知：如圖2，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，滿足a2+b2=c2，求證：△ABC是直角三角形。

圖2

環(huán)節(jié)2：分組討論。一開始大部分學(xué)生沒有思路，教師可以嘗試點撥學(xué)生，要證明△ABC是直角三角形，即要證明∠C=90°，從a2+b2=c2這個條件出發(fā)，學(xué)生自然能聯(lián)想到勾股定理，而勾股定理的前提是要有直角。教師再順勢引導(dǎo)，如果沒有直角，怎么辦呢？學(xué)生經(jīng)過組內(nèi)討論，很快就提出先構(gòu)造出一個直角三角形。但是在畫出一個直角后，馬上有學(xué)生質(zhì)疑：“既要畫一個角是90°，又要同時畫三邊長是a、b、c，二者是無法同時作出的?！庇杉ぐl(fā)了沒有意識到這一問題的學(xué)生進(jìn)行自主思考。經(jīng)過討論得出原因：若先作一個90°的角，那就只能再作出三角形的兩條邊，此時第三條邊已經(jīng)唯一確定。證明思路由此產(chǎn)生，更多學(xué)生的思維隨之喚醒，很快就有許多學(xué)生想到了可以先根據(jù)勾股定理確定第三條邊，再利用SSS全等來進(jìn)行證明，教師順勢總結(jié)勾股定理的逆定理內(nèi)容。

評析：命題的探究過程有兩個環(huán)節(jié)，一是學(xué)生借助特例畫圖進(jìn)行探究，通過“看得見、摸得著”的操作直觀地感知結(jié)論；二是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明，這也是本節(jié)課最大的難點，教師需要對學(xué)生進(jìn)行恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)，并且能給學(xué)生預(yù)留足夠的自我探究空間，培養(yǎng)學(xué)生將舊知識和新知識進(jìn)行建構(gòu)的能力。因此，教師有效的活動設(shè)計非常關(guān)鍵。

三、在命題應(yīng)用環(huán)節(jié)通過情境呼應(yīng)及例題變式，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

命題的應(yīng)用環(huán)節(jié)主要是通過設(shè)置情境呼應(yīng)，讓一開始拋給學(xué)生的疑問在經(jīng)歷探究之后得到解決，讓學(xué)生切身體會從問題產(chǎn)生到問題解決的全過程。同時，通過設(shè)置典型、有針對性的例題和有層次、有坡度的變式訓(xùn)練題，并結(jié)合學(xué)生的實際情況進(jìn)行優(yōu)化，讓學(xué)生的思維在應(yīng)用中得到變通和發(fā)散。

情境呼應(yīng)：同學(xué)們現(xiàn)在明白古人畫直角的奧秘了嗎？學(xué)生再次感嘆數(shù)學(xué)文化的博大精深，真正理解了古埃及人畫直角的原理是應(yīng)用勾股定理的逆定理。

（一）典例精析，深化重點

例：判斷由線段a、b、c組成的三角形是否為直角三角形，（1）a=5，b=12，c=13；（2）a=12，b=15，c=14。

師生共同分析（1），教師板書規(guī)范做題過程。學(xué)生獨立完成（2），有不少學(xué)生計算的是122+152≠142，從而得出（2）中的三角形不是一個直角三角形。教師引導(dǎo)之后，馬上有學(xué)生舉手指正：應(yīng)該驗證三角形較短的兩條邊的平方和是否等于最長邊的平方來進(jìn)行判斷。教師指出像5、12、13這樣能夠成為直角三角形的三條邊長度的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。

變式：若a∶b∶c=7∶24∶25（a、b、c均為正數(shù)），判斷由線段a、b、c組成的三角形是否為直角三角形。大部分學(xué)生看到比例式，很快想到設(shè)a=7k，b=24k，c=25k（k＞0），經(jīng)過計算得出是直角三角形的結(jié)論。

思考：如果將直角三角形的三邊的長度都擴(kuò)大或縮小同樣的倍數(shù)，還是直角三角形嗎？

學(xué)生由上述變式得出結(jié)論：只要線段長度的比值滿足較小的兩個數(shù)的平方和等于第三個數(shù)的平方，則由這三條線段組成的三角形就是直角三角形。

（二）思維拓展，能力提升

圖3

變式：如圖4，四邊形ABCD中，∠ACB=90°，BC=9，AB=15，AD=5，CD=13。求四邊形ABCD的面積。

圖4

評析：作為一節(jié)新授課，情境呼應(yīng)環(huán)節(jié)加深了學(xué)生對勾股定理的逆定理的理解。例題及變式有層次、有坡度，前面的例題和變式是基礎(chǔ)知識的直接運用，后面的拓展及變式是勾股定理及勾股定理的逆定理的綜合應(yīng)用，主要訓(xùn)練學(xué)生新舊知識運用整合的能力。變式在拓展的基礎(chǔ)上進(jìn)一步求面積，方法有多種，但都必須先求證△ACD是直角三角形，考查的依舊是勾股定理及勾股定理的綜合運用。但因時間有限，要求教師在設(shè)置和選取題目的時候不僅要體現(xiàn)所學(xué)知識的基礎(chǔ)應(yīng)用，更要考慮學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)。

四、在總結(jié)反思環(huán)節(jié)適當(dāng)留白，數(shù)學(xué)探究無止境

在總結(jié)反思環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生自主歸納本節(jié)課所學(xué)習(xí)的知識及數(shù)學(xué)思想方法，并提出問題：類似地，銳角三角形是否也可以利用邊來判斷呢？鈍角三角形呢？

評析：適當(dāng)?shù)亓舭?，拋一個新問題給學(xué)生，有利于學(xué)生思維拓展。雖然課后思考的問題需要用到高中的余弦定理知識，并不屬于初中數(shù)學(xué)的范疇，但學(xué)生通過思考和探究，可以充分挖掘思維潛力。當(dāng)然，本節(jié)課還存在一些不足，部分環(huán)節(jié)的實施并不十分順暢，如在要求學(xué)生畫指定邊長三角形的時候，部分學(xué)生直接拿尺子畫，忘記了尺規(guī)作圖的方法。所以在課前，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行必要的復(fù)習(xí)。另外，在探究勾股定理的逆定理的證明環(huán)節(jié)，應(yīng)該還有更好地突破難點的方法，有待進(jìn)一步學(xué)習(xí)思考。

總之，一堂數(shù)學(xué)探究課，教學(xué)設(shè)計應(yīng)圍繞探究活動來進(jìn)行，不論是教師的引導(dǎo)探究，還是學(xué)生的自主探究，整個過程應(yīng)使學(xué)生的思維品質(zhì)得到適當(dāng)培養(yǎng)。同時，探究學(xué)習(xí)是一個艱辛而漫長的過程，只有堅持不懈地反復(fù)浸潤，學(xué)生的自主探究能力才能在無形之中得以提升，從而使課堂教學(xué)顯現(xiàn)一定的成果。