引信保險(xiǎn)球質(zhì)量和直徑分布特性

楊修軍，王雨時(shí)，聞 泉，王光宇

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 南京 210094)

1 引言

絕大多數(shù)引信都有狀態(tài)轉(zhuǎn)換過(guò)程，其零部件受力較為復(fù)雜，且內(nèi)部空間有限，為一次性工作。因此引信內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)球形零件應(yīng)用較為普遍，通常作為結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)件，俗稱保險(xiǎn)球。一般是直徑2～5 mm的不銹鋼球或者鎢合金球。作為一種典型的標(biāo)準(zhǔn)零件，多感受慣性過(guò)載環(huán)境工作，因而研究其質(zhì)量和直徑分布特性，對(duì)引信可靠性設(shè)計(jì)和研究，具有特殊的意義。

對(duì)引信保險(xiǎn)球質(zhì)量和直徑分布的研究，涉及隨機(jī)變量大小、離散及分布特征描述的問(wèn)題，通常運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。文獻(xiàn)[1]以某23 mm口徑榴彈引信零部件100件稱重?cái)?shù)據(jù)為樣本，通過(guò)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法得到了該引信零件質(zhì)量和引信產(chǎn)品質(zhì)量分布特性。文獻(xiàn)[2]在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上增加了樣本量和樣本種類，以2種彈頭觸發(fā)引信為樣本，利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法得到其機(jī)械零件質(zhì)量分布特性，得出2種引信產(chǎn)品機(jī)械零件質(zhì)量總的分布規(guī)律相近的結(jié)論。但同樣擬合分布函數(shù)種類較少，未能完整反映引信機(jī)械零件質(zhì)量分布規(guī)律。文獻(xiàn)[3]在文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上加大樣本量，增加了分布函數(shù)的種類，得到了除正態(tài)分布和Weibull分布外，還有t location-scale分布、Log-Logistic分布和Logistic分布對(duì)某小口徑引信質(zhì)量擬合分布較為符合的結(jié)論。本文通過(guò)借鑒文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]對(duì)引信零件質(zhì)量分布的研究方法，增加檢驗(yàn)方式，對(duì)引信保險(xiǎn)球質(zhì)量和直徑分布特性進(jìn)行研究，找出其分布規(guī)律。

2 分析方法與樣本概述

2.1 分析方法

Minitab是一款專業(yè)的可視化統(tǒng)計(jì)分析軟件，功能齊全，操作比較方便。常用模塊有計(jì)算功能(矩陣、標(biāo)準(zhǔn)化、概率分布等)、圖形分析(柏拉圖、散點(diǎn)圖、直方圖等)、統(tǒng)計(jì)分析(基本統(tǒng)計(jì)量、方差分析、回歸分析等)模塊。對(duì)4種引信保險(xiǎn)球零件每種各200件合格品進(jìn)行直徑測(cè)量和質(zhì)量稱重，將其結(jié)果作為樣本數(shù)據(jù)，所用型號(hào)等信息見(jiàn)表1。

2.2 樣本概述

測(cè)量的4種保險(xiǎn)球基本信息見(jiàn)表2。應(yīng)用Minitab軟件的圖形分析模塊，得到這4種保險(xiǎn)球的質(zhì)量和直徑分布直方圖，如圖1和圖2所示。

將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)通過(guò)Minitab軟件的計(jì)算功能進(jìn)行數(shù)據(jù)處理得到質(zhì)量和直徑的均值μ，標(biāo)準(zhǔn)差σ和極值，見(jiàn)表3和表4。同時(shí)利用軟件中的統(tǒng)計(jì)分析模塊對(duì)保險(xiǎn)球質(zhì)量和直徑進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，得出Pearson和Spearman相關(guān)系數(shù)，見(jiàn)表5。由表5可知，4種保險(xiǎn)球質(zhì)量與直徑均表現(xiàn)為極強(qiáng)正相關(guān)性。

表1 保險(xiǎn)球直徑和質(zhì)量測(cè)量?jī)x器

表2 4種保險(xiǎn)球基本信息

圖1 4種保險(xiǎn)球質(zhì)量頻率分布直方圖

圖2 4種保險(xiǎn)球直徑頻率分布直方圖

表3 4種保險(xiǎn)球質(zhì)量均值、標(biāo)準(zhǔn)差和極值

表4 4種保險(xiǎn)球直徑均值、標(biāo)準(zhǔn)差和極值

表5 4種保險(xiǎn)球質(zhì)量和直徑相關(guān)性檢驗(yàn)

3 參數(shù)估計(jì)和分布擬合

首先對(duì)樣本進(jìn)行估計(jì)，對(duì)保險(xiǎn)球質(zhì)量與直徑分布進(jìn)行正態(tài)分布假設(shè)，并進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)(以下所有置信度檢驗(yàn)假設(shè)均為95%)。

正態(tài)分布是一種較為完善的分布類型，在擬合隨機(jī)數(shù)據(jù)分布時(shí)具有很強(qiáng)的靈活性。正態(tài)分布的分布函數(shù)為[4]：

(1)

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為：

(2)

式中:μ為均值，σ為標(biāo)準(zhǔn)差。

常見(jiàn)的正態(tài)性檢驗(yàn)法有Ander-Darling檢驗(yàn)法、Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)法和Ryan-Joiner檢驗(yàn)法。Ryan-Joiner檢驗(yàn)法是專門用來(lái)檢驗(yàn)正態(tài)分布的方法，具有特定性，另外2種檢驗(yàn)方法也能檢驗(yàn)其他分布[5]。相比較之下，擬采用Ryan-Joiner(以下簡(jiǎn)稱RJ)檢驗(yàn)法，對(duì)測(cè)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。此檢驗(yàn)通過(guò)計(jì)算數(shù)據(jù)與正態(tài)分值之間的相關(guān)性來(lái)評(píng)估正態(tài)性，相關(guān)系數(shù)(RJ值)越接近于1表明數(shù)據(jù)和正態(tài)分布擬合得越好。

RJ檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量定義為[6]：

(3)

(4)

(5)

式中i值為樣本數(shù)據(jù)的秩。

利用Minitab軟件，對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，再利用RJ檢驗(yàn)法檢驗(yàn)分布假設(shè)是否接受正態(tài)分布，得到保險(xiǎn)球質(zhì)量和直徑分布參數(shù)以及RJ檢驗(yàn)擬合的結(jié)果，見(jiàn)表6。其中P值大于顯著水平0.05，表明數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。

表6 4種保險(xiǎn)球質(zhì)量和直徑的RJ檢驗(yàn)結(jié)果

4 分析與討論

從表6的結(jié)論可推出，4種保險(xiǎn)球質(zhì)量均服從正態(tài)分布，直徑僅3 mm不銹鋼球不服從正態(tài)分布。為了探究3 mm不銹鋼球不服從正態(tài)分布的原因，將3 mm不銹鋼球直徑數(shù)據(jù)進(jìn)行異常值檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方法為Grubbs準(zhǔn)則[7]。該準(zhǔn)則是在未知總體標(biāo)準(zhǔn)差情況下，對(duì)正態(tài)樣本或接近正態(tài)樣本異常值的一種判別方法。判別結(jié)果發(fā)現(xiàn)在3 mm不銹鋼球直徑的數(shù)據(jù)中存在一個(gè)異常值(異常值顯示為紅色)，檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖3。

直徑測(cè)量工具誤差0.001 mm，質(zhì)量測(cè)量工具誤差0.000 1 g，相比較之下質(zhì)量測(cè)量誤差要比直徑誤差小很多。球體形狀很簡(jiǎn)單，假設(shè)磨球工藝所帶來(lái)的形狀誤差很小，可通過(guò)質(zhì)量分布特性推算出球的直徑分布。由表5結(jié)論可知，球質(zhì)量和直徑可看作正相關(guān)，即M∝D3。

圖3 3 mm不銹鋼球直徑的異常值圖

可推出以下公式：

(6)

又由式(6)可推出，質(zhì)量的變化率與直徑的變化率線性相關(guān)。更加證明了直徑分布特性可由質(zhì)量分布特性推導(dǎo)得出。

從表6結(jié)論可知，保險(xiǎn)球在測(cè)量?jī)x器精度足夠高的情況下，質(zhì)量服從正態(tài)分布，即m～N(μ，σ2)。

(7)

(8)

由式(7)和式(8)可得：

(9)

以3.5 mm保險(xiǎn)球?yàn)槔?，將?18.04 g/cm3，μ=0.405 0 g，σ=7.831×10-4g代入式(7)和式(9)中，并利用python軟件繪出函數(shù)圖像，見(jiàn)圖4和圖5。

圖4 保險(xiǎn)球質(zhì)量概率密度曲線

圖5 保險(xiǎn)球直徑概率密度曲線

從圖4和圖5可看出，若保險(xiǎn)球質(zhì)量分布為正態(tài)分布(圖4)，則保險(xiǎn)球理論直徑分布也是正態(tài)分布(圖5)。為證明這一結(jié)論，利用Minitab軟件生成一組樣本數(shù)為200、均值為0.405 0 g，標(biāo)準(zhǔn)差為7.831×10-4g的隨機(jī)數(shù)據(jù)A，再將數(shù)據(jù)進(jìn)行式(8)運(yùn)算得到另一組數(shù)據(jù)B。將數(shù)據(jù)B進(jìn)行正態(tài)分布擬合，得到擬合后正態(tài)分布的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，作出函數(shù)曲線，見(jiàn)圖6。

圖6 保險(xiǎn)球理論直徑分布和擬合分布曲線

圖6中，實(shí)線曲線為隨機(jī)數(shù)據(jù)(樣本)擬合得到的正態(tài)分布曲線，點(diǎn)畫(huà)線部分是由式(9)(總體)計(jì)算得到的曲線，虛線部分是根據(jù)實(shí)際測(cè)量直徑擬合得到的正態(tài)分布曲線。由式(9)得到的正態(tài)分布曲線與隨機(jī)數(shù)據(jù)擬合的正態(tài)分布曲線基本一致，可認(rèn)為引信保險(xiǎn)球直徑分布符合正態(tài)分布。與實(shí)測(cè)直徑分布曲線相比，由質(zhì)量數(shù)據(jù)計(jì)算得到的直徑分布曲線，標(biāo)準(zhǔn)差較大，圖像偏右。表明實(shí)測(cè)直徑偏小，區(qū)分度不高。

為進(jìn)一步研究保險(xiǎn)球質(zhì)量和直徑分布情況，利用Minitab軟件中個(gè)體標(biāo)識(shí)功能，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行多種分布檢驗(yàn)。個(gè)體標(biāo)識(shí)功能基于Anderson-Darling檢驗(yàn)方法，該檢驗(yàn)方法是一種擬合檢驗(yàn)，通過(guò)比較樣本數(shù)據(jù)分布和擬合函數(shù)分布的差異，檢驗(yàn)樣本是否服從某一分布。常見(jiàn)擬合的分布種類除正態(tài)分布外還包括Logistic分布、Gamma分布、極值分布等[8]。保險(xiǎn)球質(zhì)量和直徑分布檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表7。

表7 4種保險(xiǎn)球質(zhì)量和直徑的分布檢驗(yàn)結(jié)果

從表7的結(jié)論可看出，引信保險(xiǎn)球質(zhì)量和直徑分布除不滿足正態(tài)分布外，對(duì)Weibull等分布檢驗(yàn)結(jié)果也是拒絕。對(duì)直徑較小(2.5～4 mm)的保險(xiǎn)球零件，質(zhì)量和直徑分布特性不明顯，分布假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果均是拒絕。2種檢驗(yàn)方法結(jié)論不一致的原因可能是檢驗(yàn)原理不同。Anderson-Darling檢驗(yàn)法是一種基于擬合優(yōu)度的算法，可檢驗(yàn)總體是否服從正態(tài)分布，也可檢驗(yàn)總體是否服從其他分布，對(duì)正態(tài)性檢驗(yàn)不具有特性，因而功效較差[9-11]。本文選用的Ryan-Joiner檢驗(yàn)法是一種基于相關(guān)性的算法，原理與文獻(xiàn)[11]中Shapiro-Wilk檢驗(yàn)法相同。

在零件加工上，可能會(huì)出現(xiàn)個(gè)別尺寸異常的零件。GJB 3793A—2018《彈用鎢合金球規(guī)范》[12]給出的鎢合金球直徑測(cè)量工具為千分尺，質(zhì)量測(cè)量工具為感量0.01 g的電子天平，每批樣本數(shù)量為200粒。在質(zhì)量和直徑合格品的要求上，每批允許質(zhì)量不合格的上限為3粒，直徑不合格產(chǎn)品的上限為11粒。從此要求可看出，同一批次會(huì)出現(xiàn)個(gè)別直徑不合格的產(chǎn)品，這些個(gè)別產(chǎn)品會(huì)影響到保險(xiǎn)球直徑的判別。

標(biāo)準(zhǔn)球形零件直徑精度很高，但常規(guī)測(cè)量手段難以適應(yīng)其高精度，因而區(qū)分度不足，相比由質(zhì)量數(shù)據(jù)換算得到的直徑分布特性，準(zhǔn)確度較低。未見(jiàn)有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)球形零件直徑分布特性的文獻(xiàn)報(bào)導(dǎo)，僅文獻(xiàn)[1-3]對(duì)標(biāo)準(zhǔn)球形零件的質(zhì)量特性進(jìn)行過(guò)研究，但得出的結(jié)論是標(biāo)準(zhǔn)球形零件質(zhì)量無(wú)明顯分布特性。本文選取Ryan-Joiner檢驗(yàn)方法，證明標(biāo)準(zhǔn)球形零件質(zhì)量和直徑均符合正態(tài)分布。

5 結(jié)論

4種直徑2.5～4 mm、不同材質(zhì)的引信保險(xiǎn)球質(zhì)量與直徑，服從正態(tài)分布，不服從Weibull分布、Gamma分布、Logistic分布和極值分布，其分布特性與保險(xiǎn)球材質(zhì)無(wú)關(guān)。保險(xiǎn)球質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為0.19%～1.27%，直徑標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為0.044%～0.11%。標(biāo)準(zhǔn)球形零件的直徑分布可通過(guò)質(zhì)量分布推導(dǎo)。