解斜三角形的幾種類型

摘要：本文總結(jié)了用正弦定理、余弦定理解斜三角形的幾種情況。闡述了解斜三角形的四種情形的解題方法，使學(xué)生能夠根據(jù)條件選擇合適的定理，從而快捷、高效地解決相關(guān)問題。通過對問題的解決，提高學(xué)生分析問題、研究問題、解決問題的能力，培育學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心。

關(guān)鍵詞：正弦定理;余弦定理; 斜三角形

中圖分類號：G634.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1992-7711（2021）18-059

解斜三角形是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識點(diǎn)。用正弦定理和余弦定理是解斜三角形的常用方法。解題時(shí)如何根據(jù)條件，選擇正確的公式是很多學(xué)生存在的問題。教學(xué)過程中需要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析問題，能利用題目中給出的邊和角，運(yùn)用正弦定理和余弦定理求出其他的邊和角。在實(shí)際教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對公式需要的條件掌握不熟練，解題時(shí)選擇合適的公式還存在一定的困難。斜三角形問題求解在歷年的考試中均有出現(xiàn)，此類問題是常規(guī)題、難度一般，在求解時(shí)入手快、上手容易、得分也較高。仔細(xì)研究斜三角形問題就會發(fā)現(xiàn)當(dāng)一個(gè)題目圖形中三角個(gè)數(shù)不少于兩個(gè)時(shí)，一般來說，其中必有一個(gè)是可以采正弦或余弦定理求解，而題目中所求元素多數(shù)都在另一個(gè)三角形中，此時(shí)我們可以把已具有三個(gè)元素的三個(gè)角叫作可解三角形。本文主要對解三角形常見的情形進(jìn)行分類，對每一類問題進(jìn)行分析，幫助學(xué)生掌握最佳的解題方法，有效提高學(xué)生解斜三角形的整體水平。

下面介紹在本文中要用到的正弦定理和余弦定理

斜三角形中有三個(gè)角和三個(gè)邊六個(gè)量，知道其中的三個(gè)（三個(gè)角除外）可以求出剩下的三個(gè)量?；旧辖庑比切慰梢钥偨Y(jié)為以下四種情形：已知兩角一邊求另一邊、已知兩邊一角求另一角、已知兩邊一角求另一邊和已知三邊求三個(gè)角。下面對這四種情形分別進(jìn)行研究，并借助例題分析說明。

1.已知兩角一邊求另一邊

知道斜三角形的兩個(gè)角和一個(gè)角的對邊，求另一個(gè)角的對邊，可以直接運(yùn)用正弦定理求解。

2.已知兩邊一角求另一角

知道斜三角形的兩條邊和一個(gè)角，求另一個(gè)角，這里有兩種情形：（1）已知三角形兩條邊和其中一條邊的對角求另一個(gè)邊的對角;（2）已知三角形兩條邊和一個(gè)夾角求另一個(gè)角。第一種情況可以直接用正弦定理求解。第二種情況已知的角和邊不對應(yīng)，不能直接運(yùn)用正弦定理，需要先用余弦定理求出已知角的對邊，再用正弦定理或余弦定理求解。

3.已知兩邊一角求另一邊

已知斜三角形的兩條邊和一個(gè)角求另一條邊，這里有兩種情形：（1）已知兩條邊和一個(gè)夾角求另一條邊;（2）已知兩條邊和一個(gè)對角求另一條邊。第一種情況很簡單，可以直接用余弦定理求解。第二種情況很多學(xué)生會想到用正弦定理和三角形內(nèi)角和為180°求出剩下兩個(gè)角，再用正弦定理求出邊，這樣雖然能夠求出邊，但是顯得很煩瑣。可以直接運(yùn)用余弦定理建立關(guān)于所求邊的一元二次方程，再解方程求出邊。

4.已知三邊求三個(gè)角

已知斜三角形的三條邊求三角形的三個(gè)內(nèi)角，可以直接運(yùn)用余弦定理的三個(gè)變形公式求角。

綜上所述，解斜三角有多種情形，當(dāng)我們找對方法，很容易解決問題。有的題目雖然比較復(fù)雜，要多次運(yùn)用正弦定理、余弦定理，這時(shí)就考驗(yàn)我們對公式適用性的理解。只要掌握了正弦定理、余弦定理的使用條件，就能很容易解決問題。以上四種情形基本上可以分為兩大類：第一類，已知兩角一邊求另一邊和已知兩條邊和一個(gè)對角求另一個(gè)角用正弦定理比較簡便;第二類，已知兩條邊和一個(gè)夾角求另一個(gè)角、已知兩邊一角求另一邊和已知兩邊一角求解。上述的例題，告訴我們可解三角形和需解三角形的應(yīng)用，使我們在一遇到題后，可以有非常明確的思路分析出需要先做什么，之后再做什么，分析問題的思路也從試一下或者做一下，等不太確定的因素，轉(zhuǎn)變成為有的放矢的挖掘探究。以此減少斜三角形問題思考的時(shí)間，而且其解的思路可以表現(xiàn)成為：找可解的內(nèi)容，定位需要解決的內(nèi)容，缺少條件時(shí)假設(shè)處理，這就是快速解決斜三角形的有效方法。掌握這個(gè)原則在解斜三角形時(shí)可以少走彎路，幫助學(xué)生快捷、高效地解決相關(guān)問題，極大地提高了分析問題、研究問題、解決問題的能力，培養(yǎng)了學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)自信心。

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作者簡介：陳會（1980-） 男 江蘇洪澤人? 大學(xué)本科、碩士學(xué)位 從事中職數(shù)學(xué)教學(xué)。

（作者單位：淮安技師學(xué)院數(shù)控技術(shù)系，江蘇 淮安 223001）