精密包裝彈性支撐緩沖系統(tǒng)振動(dòng)特性修正模型及分析

嚴(yán)國平，彭震奧，鐘 飛，于道航，周宏娣，楊小俊

(湖北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，武漢 430068)

緩沖包裝系統(tǒng)可用來吸收外部的能量，起到保護(hù)產(chǎn)品的作用，被廣泛應(yīng)用于產(chǎn)品包裝運(yùn)輸過程中。由于緩沖包裝系統(tǒng)在運(yùn)輸過程中道路條件的影響，緩沖包裝系統(tǒng)通常會受到垂直于行駛方向(縱向)的振動(dòng)激勵(lì)，這也是目前減振研究的主要方向。另外，實(shí)際工程應(yīng)用中的緩沖減振結(jié)構(gòu)種類較多，國內(nèi)外學(xué)者對各類緩沖包裝力學(xué)模型進(jìn)行了廣泛的探索。

王蕾等[1]以懸掛式緩沖包裝為研究對象，探討該緩沖包裝系統(tǒng)的沖擊特性；李輝等[2]在考慮易損件的情況下建立了二自由度的懸掛緩沖包裝力學(xué)模型并在跌落環(huán)境下對其跌落防護(hù)做出了評價(jià)；李宏衛(wèi)[3]給出一種新的算法用以評估緩沖包裝力學(xué)模型強(qiáng)非線性并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。郝蒙[4]細(xì)化了易損件的形式，針對性地討論了易損件結(jié)構(gòu)為懸臂梁的緩沖包裝特性；Sakar[5]采用歐拉-伯努利梁假設(shè)法對包含懸臂梁的緩沖包裝進(jìn)行了研究，討論了對系統(tǒng)固有頻率的影響。盧富德等[6-8]以單層瓦楞紙板研究為基礎(chǔ)，提出了多層瓦楞紙板間的動(dòng)力學(xué)模型并進(jìn)行了響應(yīng)特性的計(jì)算；於崇銘等[9]給出了彈藥運(yùn)輸三自由度緩沖包裝模型并建立其在簡諧激勵(lì)下的振動(dòng)力學(xué)微分方程；Gao等[10]建立了半正弦加速度脈沖下的緩沖包裝系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，研究了考慮產(chǎn)品質(zhì)心偏移的旋轉(zhuǎn)與平移耦合問題；盧富德等[11-12]建立了可降解餐具碗在緩沖包裝作用下的有限元模型，研究了受沖擊載荷的泡沫包裝餐具碗的應(yīng)力分布及抗沖擊能力。以上這些研究主要針對緩沖包裝系統(tǒng)在工作振動(dòng)方向進(jìn)行分析，較少考慮側(cè)向緩沖系統(tǒng)對振動(dòng)特性的影響。而對于精密包裝來說，側(cè)面包裝緩沖要求較高，橫向彈簧緩沖系統(tǒng)對于縱向振動(dòng)激勵(lì)有較大影響，對其進(jìn)行振動(dòng)特性分析時(shí)如果不考慮側(cè)向緩沖系統(tǒng)則可能會使系統(tǒng)振動(dòng)分析誤差較大，達(dá)不到精確分析的要求。

有鑒于此，本文引入橫向彈簧的徑向剛度作為計(jì)算修正參數(shù)，較全面地對精密包裝彈性支承緩沖系統(tǒng)振動(dòng)特性進(jìn)行深入研究，并通過試驗(yàn)對該理論修正模型進(jìn)行了驗(yàn)證，為精密包裝彈性支撐緩沖系統(tǒng)振動(dòng)特性數(shù)值精確分析提供依據(jù)。

1 精密包裝緩沖系統(tǒng)減振分析修正模型

1.1 彈性支撐緩沖系統(tǒng)的力學(xué)模型

某精密包裝內(nèi)部減振器分布，如圖1所示。將貨物及其包裝箱以及安裝底板看作整體，可得到簡化力學(xué)模型如圖2所示。以物塊質(zhì)心為參考點(diǎn)，坐標(biāo)系建立于質(zhì)心處，質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)由沿坐標(biāo)軸的平動(dòng)位移x，y，z以及繞各坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度α，β，γ組成。同時(shí)系統(tǒng)中的等效剛度系數(shù)為kai，kbi，kci，kdi，阻尼系數(shù)分別是cai，cbi，cci，cdi，i的取值分別為0，1，2，i的編號與彈簧阻尼的固定端編號一致。設(shè)包裝產(chǎn)品的質(zhì)心為M′，其到面ADHE的距離為w1，到面BCGF的距離為w2，到面EFGH的距離為h1，到面ABCD的距離為h2，到面DCGH的距離為l1，到面ABFE的距離為l2。

1.集裝箱；2.貨物安裝底板；3.減振器；4.貨物。

圖2 力學(xué)模型

本文采用能量法研究質(zhì)心M′的六自由度運(yùn)動(dòng)。為了獲得彈簧的彈性勢能，需先對A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位置與質(zhì)心M′的運(yùn)動(dòng)位置之間存在的關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確判斷。由于所述模型的轉(zhuǎn)動(dòng)是繞過質(zhì)心的坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，可先計(jì)算出模型繞DH棱轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)變化，再進(jìn)一步完成繞M′點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的位置推算，如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)動(dòng)模型

圖3中ABCDEFGH為轉(zhuǎn)動(dòng)前位置，A′B′C′DE′F′G′H為繞DH軸旋轉(zhuǎn)了角度σ之后的位置。通過計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)后的實(shí)際位移及其在X軸的投影，可推出旋轉(zhuǎn)前后各幾何邊在X軸投影的差值，再運(yùn)用右手定則可求得圖2中模型下方四個(gè)支撐點(diǎn)的坐標(biāo)[13]為

(1)

系統(tǒng)的總動(dòng)能T，包括平動(dòng)動(dòng)能以及轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，可表示為

系統(tǒng)的總彈性勢能V為X軸向彈性勢能Vkx，Y軸向彈性勢能Vky以及Z軸向彈性勢能Vkz之和，可表示為

V=Vkx+Vky+Vkz

(3)

其中，Vkx，Vky，Vkz的表達(dá)式分別為

系統(tǒng)的總耗散能U為X軸向耗散能Ucx，Y軸向耗散能Ucy以及Z軸向耗散能Ucz之和，可表示為

U=Ucx+Ucy+Ucz

(7)

其中，Ucx，Ucy，Ucz的表達(dá)式分別為

整個(gè)包裝緩沖系統(tǒng)總能量E包含物塊運(yùn)動(dòng)總動(dòng)能T，彈簧產(chǎn)生彈性勢能V以及阻尼構(gòu)件產(chǎn)生的耗散能U。其能量方程[14]表達(dá)式為

(11)

為簡化模型，設(shè)定X，Y，Z軸向的各彈簧系數(shù)各自相等，如式(12)所示

(12)

將式(11)進(jìn)一步簡化得到各軸向安裝的彈簧阻尼相同時(shí)的能量方程為

進(jìn)而可得如下方程

(14)

(15)

(16)

1.2 考慮彈簧徑向剛度的修正模型

式(15)未考慮橫向緩沖系統(tǒng)對Y方向振動(dòng)系統(tǒng)的影響，忽略了X，Z方向彈簧對Y方向振動(dòng)產(chǎn)生的作用。這里引入X，Z方向彈簧的徑向剛度作為計(jì)算修正參數(shù)代入式(15)中，以期獲得考慮橫向彈簧影響的精密包裝彈性支承緩沖系統(tǒng)振動(dòng)的精確計(jì)算模型。

彈簧徑向剛度可由彈簧軸向剛度與軸撓度計(jì)算得到。軸向剛度k的計(jì)算式為

(17)

式中:d為彈簧線徑;Gt為彈簧材料的剪切模量；D為彈簧內(nèi)徑與外徑的平均值；n為有效圈數(shù)。

彈簧在載荷P的作用下的軸向撓度f

(18)

當(dāng)兩支承面的接觸方式為彈性接觸時(shí)，且兩支承面能發(fā)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)，徑向剛度kr計(jì)算公式為

(19)

式中：H為彈簧在載荷P的作用下兩支承面間的高度；i為載荷P對彈簧徑向變形的影響因子，其表達(dá)式為

(20)

系數(shù)i也可根據(jù)參考文獻(xiàn)[15]進(jìn)行查找。

設(shè)krai，krbi，krci，krdi為X，Z向彈簧的徑向剛度，i取1和2，設(shè)定所有徑向剛度相等，緩沖系統(tǒng)Y軸向振動(dòng)微分方程式(15)可修正為

(4ky+8kr)y+(2ky+4kr)(l1-l2)α+

(2ky+4kr)(w2-w1)γ=0

(21)

整個(gè)包裝緩沖系統(tǒng)振動(dòng)方程可表示為

(22)

式中:M為包裝緩沖系統(tǒng)的整體質(zhì)量矩陣；C為包裝緩沖系統(tǒng)的整體阻尼矩陣；K為包裝緩沖系統(tǒng)的整體剛度矩陣；X為包裝緩沖系統(tǒng)的整體廣義位移向量。

包裝緩沖系統(tǒng)的整體質(zhì)量[M]表示為

(23)

包裝緩沖系統(tǒng)的整體阻尼矩陣[C]表示為

包裝緩沖系統(tǒng)的整體剛度矩陣[K]表示為

(25)

2 具體算例

表1 徑向剛度參數(shù)表

表2 工況參數(shù)

圖4為工況一下不同側(cè)向彈簧壓縮力時(shí)y向位移變化結(jié)果曲線，圖4為工況一下徑向剛度系數(shù)變化下幅頻曲線。

圖4 工況一時(shí)Y向位移變化曲線

從圖4中可以看出，當(dāng)橫向彈簧減振器上壓縮力P發(fā)生變化時(shí)，由于其壓縮引起彈簧徑向剛度的差異，使得貨物包裝箱的固有頻率隨其產(chǎn)生變動(dòng)；當(dāng)橫向彈簧減振器所受軸向壓縮力增大時(shí)，緩沖系統(tǒng)在Y向的固有頻率也會同步增大。這一規(guī)律表明：若產(chǎn)品運(yùn)輸時(shí)主要遭受高頻激勵(lì)時(shí)，可考慮對產(chǎn)品包裝箱兩側(cè)降低壓緊程度，降低其固有頻率，防止出現(xiàn)共振現(xiàn)象；當(dāng)產(chǎn)品在遭受低頻激勵(lì)狀態(tài)時(shí)，可適當(dāng)增大壓緊力，保護(hù)集裝箱內(nèi)部產(chǎn)品。

圖5表明，徑向剛度系數(shù)i越大，緩沖包裝系統(tǒng)共振幅值響應(yīng)越大。為避免短暫共振帶來的危害，應(yīng)適當(dāng)降低精密緩沖包裝系統(tǒng)固有頻率值以保護(hù)被包裝的產(chǎn)品。進(jìn)一步地將本文所提出的修正模型所得Y軸向固有頻率與未考慮橫向緩沖系統(tǒng)影響的計(jì)算方法所得結(jié)果進(jìn)行對比，如表3所示。

圖5 工況一時(shí)徑向剛度系數(shù)變化下幅頻曲線

表3 Y軸向固有頻率值

由表3中數(shù)據(jù)可以看出，理論計(jì)算時(shí)，未考慮橫向彈簧徑向剛度時(shí)，緩沖系統(tǒng)固有頻率沒有變化。而考慮橫向彈簧徑向剛度時(shí)，精密緩沖包裝系統(tǒng)固有頻率計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生了較大的差異，且橫向彈簧軸向預(yù)壓力越大，緩沖系統(tǒng)Y軸向固有頻率越高。這說明對于側(cè)面包裝緩沖要求較高的精密包裝來說，橫向緩沖系統(tǒng)對其縱向振動(dòng)特性的影響不能忽略。

圖6中，工況二時(shí)精密包裝緩沖系統(tǒng)在X，Z軸向的加速度峰值更小。雖然此時(shí)依然存在加速度變化不穩(wěn)定的現(xiàn)象，但相較于工況一，其加速度的變化差值更小。在初位移狀態(tài)下，因加速度變化過大導(dǎo)致的產(chǎn)品損壞的幾率在一定程度上低于工況一。

圖6 兩工況下包裝緩沖系統(tǒng)加速度對比曲線

工況二時(shí)質(zhì)心位置將偏向于圖2中的C點(diǎn)，為滿足安裝準(zhǔn)則，以C點(diǎn)處Y軸向的彈簧剛度kyc為變量，討論其對振動(dòng)響應(yīng)的影響。分別令kyc為1 000 N/mm，2 000 N/mm，3 000 N/mm，Y軸向振動(dòng)加速度影響變化如圖7所示。

圖7 工況二時(shí)C點(diǎn)彈簧剛度非對稱時(shí)響應(yīng)曲線

由圖7可知，工況二時(shí)C點(diǎn)Y軸向剛度增加，產(chǎn)品包裝箱的Y軸加速度響應(yīng)產(chǎn)生相位差，加速度幅值隨之增加。此時(shí)其X軸向加速度響應(yīng)存在一段不穩(wěn)定的波動(dòng)，該波動(dòng)會隨C點(diǎn)Y軸向剛度的增加而減少。因此，工況二下，為平衡集裝箱內(nèi)產(chǎn)品的各向加速度響應(yīng)，不應(yīng)無限制地增加或減少單一支承點(diǎn)的減振器剛度，否則會對其他方向產(chǎn)生不利影響。

3 試驗(yàn)研究

精密包裝緩沖系統(tǒng)振動(dòng)試驗(yàn)平臺，如圖8所示。測試用振動(dòng)實(shí)體模型，如圖9所示。選用的彈簧變形量設(shè)計(jì)為20 mm左右，其參數(shù)如表4所示。振動(dòng)試驗(yàn)臺選用DY-300-3電動(dòng)振動(dòng)試驗(yàn)臺(蘇州試驗(yàn)儀器總廠)，除原廠配備的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)外，運(yùn)用LabView軟件編制了相應(yīng)的附加數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，用以對采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。對振動(dòng)臺進(jìn)行標(biāo)定，原振動(dòng)臺自身存在2.34%的輸出頻率誤差。使用瞬干膠將傳感器與物塊上端黏合，測量其縱向加速度數(shù)據(jù)。

表4 彈簧參數(shù)表

1.緩沖包裝振動(dòng)系統(tǒng)；2.振動(dòng)平臺；3.控制系統(tǒng)；4.采集系統(tǒng)。

1.物塊；2.彈簧減振器；3.振動(dòng)臺臺面；4.夾具板；5.角鋁固定件。

各軸向彈簧剛度kx=ky=kz=k時(shí)，對其進(jìn)行橫向彈簧在無壓緊力時(shí)進(jìn)行掃頻試驗(yàn)，其結(jié)果如圖10所示。推導(dǎo)所得的理論值如圖11所示。

圖10 橫向彈簧無壓緊力時(shí)掃頻試驗(yàn)曲線

圖11 橫向彈簧無壓緊力時(shí)理論計(jì)算曲線

圖10與圖11所示表明，在各向選用參數(shù)相同彈簧作為緩沖減振系統(tǒng)的情況下，兩圖所示趨勢基本一致。其中各固有頻率點(diǎn)所對應(yīng)的加速度響應(yīng)值存在一定的差異，主要為振動(dòng)臺的加速度穩(wěn)定性較差所致。當(dāng)選用彈簧剛度越大，系統(tǒng)的固有頻率隨之增加，且振動(dòng)響應(yīng)幅值在共振點(diǎn)處明顯提高，具體修正模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)所得固有頻率值見表5。

表5 固有頻率及誤差

對固有頻率的理論計(jì)算值與試驗(yàn)實(shí)測值進(jìn)行比較，結(jié)果顯示兩類數(shù)值接近。誤差最大值僅為3.732%。由于振動(dòng)臺自身存在2.34%的輸出頻率誤差，各自實(shí)測固有頻率值還可再分別降低2.34%，理論結(jié)果與試驗(yàn)測試結(jié)果將更為接近，這表明：本文所提出的考慮橫向彈簧徑向剛度的精密包裝緩沖系統(tǒng)振動(dòng)特性修正模型具有較好的可行性。

實(shí)際緩沖包裝系統(tǒng)中橫向與縱向彈簧可能存在差異，令橫向彈簧剛度為k1，縱向彈簧剛度為k2，試驗(yàn)分析k2在1.38 N/mm，2.25 N/mm以及3.5 N/mm時(shí)橫向彈簧剛度對縱向固有頻率的影響。測試結(jié)果曲線如圖12所示。

圖12 不同橫向彈簧剛度下試驗(yàn)曲線

由圖12測試結(jié)果可知：縱向固有頻率總會隨著橫向彈簧剛度k1的變化而變化。針對本試驗(yàn)結(jié)構(gòu)，當(dāng)縱向彈簧剛度k2一定時(shí)，橫向彈簧剛度k1不會改變縱向固有頻率的曲線形態(tài)。在縱向彈簧剛度k2相同的情況下，隨著橫向彈簧剛度k1的增大，縱向固有頻率的峰值點(diǎn)逐漸后移，其最大值也會逐漸變大。

當(dāng)橫向彈簧有一定預(yù)壓緊力時(shí)，橫向彈簧對物塊的作用力較大，采用三種不同的橫向剛度彈簧進(jìn)行測試。測試結(jié)果如圖13所示。

由圖13可知：當(dāng)彈簧剛度為2.25 N/mm且橫向彈簧存在壓縮時(shí)，壓縮長度增大，系統(tǒng)固有頻率也會隨之增加，分別是6.579 Hz，6.692 Hz和6.788 Hz，且加速度響應(yīng)峰值略有增加，這與理論分析得到的規(guī)律一致。當(dāng)彈簧剛度分別為1.38 N/mm和3.5 N/mm時(shí)，其試驗(yàn)結(jié)果的規(guī)律與之類似。這說明在壓縮工況下，固有頻率會隨著橫向彈簧壓縮量的增加而增加?？梢?，橫向緩沖系統(tǒng)的剛度對于精密包裝緩沖系統(tǒng)縱向振動(dòng)的影響具有一定的規(guī)律性。

圖13 不同壓縮量時(shí)三種橫向彈簧剛度時(shí)加速度試驗(yàn)曲線

對比橫向無彈簧與橫向有彈簧以及不同橫向彈簧剛度作用等工況下的測試結(jié)果，如圖14所示。由圖可知：當(dāng)縱向彈簧剛度k2一定時(shí)，安裝橫向彈簧后，緩沖包裝系統(tǒng)縱向固有頻率對應(yīng)加速度峰值點(diǎn)增大。當(dāng)增加橫向彈簧剛度k1后，緩沖包裝系統(tǒng)縱向固有頻率峰值點(diǎn)也隨之增大。

圖14 橫向有無彈簧及橫向彈簧剛度不同的試驗(yàn)曲線

隨著緩沖包裝系統(tǒng)固有頻率的增加，彈簧剛度為k2=1.38 N/mm，k1=0(即無橫向彈簧)與k2=1.38 N/mm，k1=1.38 N/mm時(shí)，相同固有頻率下所對應(yīng)的加速度比大于1并逐漸增大；當(dāng)頻率為4.168 32 Hz時(shí)，兩工況下縱向加速度值比出現(xiàn)峰值并逐漸減小，此過程中橫向彈簧有利于提高精密包裝彈性支撐緩沖系統(tǒng)的減振效果。當(dāng)頻率增加到5.243 86 Hz時(shí)，兩工況下縱向加速度比小于1并逐漸減少，后逐漸趨于穩(wěn)定，即當(dāng)固有頻率增加到5.243 86 Hz時(shí)，橫向彈簧對精密包裝彈性支撐緩沖系統(tǒng)的減振效果影響較小。同理，當(dāng)彈簧剛度為k2=1.38 N/mm，k1=0(即無橫向彈簧)與k2=1.38 N/mm，k1=2.25 N/mm時(shí)縱向加速度比峰值出現(xiàn)在4.306 22 Hz，增加到5.435 93 Hz時(shí)加速度比小于1并逐漸減少。彈簧剛度為k2=2.25 N/mm，k1=0(即無橫向彈簧)與k2=2.25 N/mm，k1=1.38時(shí),縱向加速度比峰值出現(xiàn)在4.805 18 Hz，增加到5.780 58 Hz時(shí)加速度比小于1并逐漸減小。當(dāng)彈簧剛度為k2=2.25 N/mm，k1=0和k2=2.25 N/mm，k1=2.25 N/mm時(shí)，加速度比峰值出現(xiàn)在4.821 67 Hz，增加到5.952 56 Hz時(shí)加速度比小于1并逐漸減小。由此可見，精密包裝彈性支撐緩沖系統(tǒng)在特定固有頻率范圍內(nèi)(本試驗(yàn)例中其值均小于6 Hz)振動(dòng)，在縱向彈簧的基礎(chǔ)上安裝橫向彈簧，對包裝件緩沖性能的提高有明顯作用。

4 結(jié) 論

通過引入彈簧徑向剛度對包裝緩沖系統(tǒng)振動(dòng)特性進(jìn)行理論與試驗(yàn)研究，可以得到如下結(jié)論：

(1)當(dāng)橫向彈簧軸向預(yù)壓緊時(shí)，隨著壓緊力的增大，包裝緩沖系統(tǒng)固有頻率及加速度響應(yīng)峰值也會隨之增加。運(yùn)輸中遭受高頻激勵(lì)時(shí)，可降低包裝緩沖系統(tǒng)兩側(cè)預(yù)緊力，遭受低頻激勵(lì)時(shí)，可提高包裝緩沖系統(tǒng)兩側(cè)預(yù)緊力，從而避免共振現(xiàn)象的發(fā)生，保護(hù)包裝內(nèi)部產(chǎn)品。

(2)徑向剛度系數(shù)越大，包裝緩沖系統(tǒng)共振幅值響應(yīng)越大。為避免共振，應(yīng)適當(dāng)降低包裝緩沖系統(tǒng)的固有頻率，且應(yīng)充分考慮橫向彈簧對其振動(dòng)特性的影響。

(3)工況二時(shí)緩沖包裝系統(tǒng)在X，Z向的加速度峰值更小。相較于工況一，其加速度的變化差值更小。在初位移狀態(tài)下，因加速度變化過大導(dǎo)致的產(chǎn)品損壞的幾率在一定程度上低于工況一時(shí)的振動(dòng)系統(tǒng)。為平衡產(chǎn)品的各向加速度響應(yīng)，不應(yīng)無限制的增加或減少單一支承點(diǎn)的減振器剛度，否則會對其他方向產(chǎn)生不利影響。

(4)試驗(yàn)結(jié)果表明：縱向固有頻率總會隨著橫向彈簧剛度的變化而變化。在各向選用相同參數(shù)彈簧減振的情況下，系統(tǒng)的固有頻率變化趨勢基本一致。在縱向彈簧剛度相同的情況下，當(dāng)橫向彈簧剛度越大，系統(tǒng)的固有頻率越大，且振動(dòng)響應(yīng)幅值在共振點(diǎn)處明顯提高，其峰值點(diǎn)也隨之明顯后移，這與理論相一致。