空氣舵系統(tǒng)摩擦模型及參數(shù)識(shí)別方法研究

李雨青，南宮自軍，劉 博

(中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

空氣舵是飛行器廣泛使用的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，通過舵面偏轉(zhuǎn)產(chǎn)生氣動(dòng)控制力，實(shí)現(xiàn)大氣層內(nèi)飛行姿態(tài)和軌跡控制的目的，是飛行控制系統(tǒng)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)[1]?？諝舛嫦到y(tǒng)是空氣舵執(zhí)行機(jī)構(gòu)中的機(jī)械部分，一般由連桿、搖臂、舵軸、舵面等組成。空氣舵系統(tǒng)不僅組成復(fù)雜，且存在不同類型的非線性因素，如摩擦、間隙等，使其動(dòng)力學(xué)特性中的非線性問題尤為突出。在飛行過程中，如果這些非線性因素導(dǎo)致舵系統(tǒng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性超出了設(shè)計(jì)范圍，將會(huì)影響飛行控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性能和舵翼結(jié)構(gòu)的氣動(dòng)彈性特性，甚至造成飛行失利。因此，空氣舵系統(tǒng)非線性建模及參數(shù)識(shí)別方法研究已成為了工程和學(xué)術(shù)界研究的熱點(diǎn)。

在飛行器工程研制實(shí)踐中，為解決間隙和摩擦非線性對(duì)舵系統(tǒng)傳遞特性的影響問題，首先需要對(duì)舵系統(tǒng)進(jìn)行非線性建模。目前對(duì)于舵系統(tǒng)的非線性建模主要分為兩類：一類是建立簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型；一類是建立基于接觸碰撞力模型的多體動(dòng)力學(xué)模型。王成華等[2]建立了舵系統(tǒng)含間隙及摩擦的單自由度數(shù)學(xué)模型；宿月文等[3]分別基于Hertz接觸模型、K-V線性彈簧阻尼模型、L-N非線性彈簧模型，用拉格朗日方法建立含間隙約束副的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，從時(shí)域和頻域?qū)Σ煌哪Σ两佑|模型下系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比分析；李忠洪[4]將回轉(zhuǎn)鉸鏈碰撞動(dòng)力學(xué)模型引入到傳動(dòng)機(jī)構(gòu)分析中，建立了考慮間隙摩擦的空氣舵?zhèn)鲃?dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程，并構(gòu)建了SIMULINK仿真模型。在舵系統(tǒng)建模中，如何對(duì)間隙和摩擦等非線性因素建模，是研究的關(guān)鍵問題。大量的專家學(xué)者對(duì)機(jī)械系統(tǒng)中的摩擦和間隙非線性因素模型開展了研究，文獻(xiàn)[5-8]研究了各種不同的摩擦模型和間隙模型的特點(diǎn)及建模方法。然而，比較分析舵系統(tǒng)中摩擦非線性模型的研究較少，這直接影響了建模及動(dòng)特性分析的準(zhǔn)確性。為此，本文采用簡(jiǎn)化的單自由度模型，討論某型空氣舵系統(tǒng)的摩擦模型。

此外，對(duì)于獲取非線性模型中的參數(shù)也是目前工程實(shí)踐中面臨的瓶頸難題，主要解決方法是模型參數(shù)的識(shí)別。大量的專家學(xué)者提出了不同的參數(shù)識(shí)別方法，如能量法[9]、頻域法[10]、遺傳算法[11]和等效線性化理論的各種方法等[12]。本文分別采用最小二乘非線性擬合法及遺傳算法對(duì)所建模型中的參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，并分析了兩種參數(shù)識(shí)別方法的效果。

1 空氣舵系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)

空氣舵系統(tǒng)由舵面、舵軸、錐銷、搖臂、連桿、鉸鏈組成，如圖1所示，其中在兩鉸鏈處存在間隙和干摩擦等非線性因素。

圖1 空氣舵?zhèn)鲃?dòng)環(huán)節(jié)示意圖

含間隙和干摩擦的空氣舵系統(tǒng)在激勵(lì)力矩下的動(dòng)力學(xué)模型可簡(jiǎn)化為單自由度非線性彈簧阻尼模型，如圖2所示。舵系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)剛度取決于舵系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jr和舵軸的等效扭轉(zhuǎn)剛度K。為保證有足夠的強(qiáng)度和剛度特性，一般航天飛行器空氣舵舵面本身剛度相對(duì)較大，相當(dāng)于一個(gè)剛體，因此舵軸的扭轉(zhuǎn)剛度和傳動(dòng)組件的剛度對(duì)舵面偏轉(zhuǎn)過程中系統(tǒng)的剛度起決定性作用。在簡(jiǎn)化過程中，用Jr表示舵系統(tǒng)(含舵面和傳動(dòng)機(jī)構(gòu))的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，用舵軸等效扭轉(zhuǎn)剛度K表示舵軸的扭轉(zhuǎn)剛度和曲柄連桿組件的剛度的串聯(lián)剛度。舵系統(tǒng)的阻尼主要包括兩部分：一部分是軸承游隙和舵系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身的阻尼，可當(dāng)作黏性阻尼，用黏性阻尼系數(shù)C表示；另一部分為密封環(huán)及運(yùn)動(dòng)副導(dǎo)致的舵系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中由庫侖摩擦力產(chǎn)生的阻尼，用Tf表示，θr為舵面轉(zhuǎn)角，Tc為氣動(dòng)控制力對(duì)舵軸的力矩，2e為系統(tǒng)的回環(huán)間隙，同時(shí)為了便于建模，將空氣舵角運(yùn)動(dòng)等效為線運(yùn)動(dòng)的形式進(jìn)行描述。

圖2 空氣舵系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型示意圖

舵面的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

(2)

本文分別討論兩種摩擦模型：一種為庫侖摩擦模型；一種為Stribeck摩擦模型。

庫侖摩擦是非零速下的摩擦，是最早被發(fā)現(xiàn)的摩擦現(xiàn)象之一。庫侖摩擦力獨(dú)立于接觸面積，與法向載荷成比例，與運(yùn)動(dòng)方向相反，而與速度的幅值無關(guān)，庫侖摩擦模型如圖3所示。

圖3 庫侖摩擦模型

舵系統(tǒng)庫侖摩擦力矩為

(3)

式中，Mf為庫侖摩擦力。

Stribeck摩擦模型考慮了Stribeck效應(yīng)，可以描述低速區(qū)的摩擦行為，極大的減少了摩擦的不連續(xù)性。Stribeck摩擦隨速度的不斷增大，摩擦力經(jīng)歷先下降到一個(gè)極小值，然后隨速度增大而增大的過程，如圖4所示[13]，共分為三階段：第一階段為預(yù)滑動(dòng)(pre-sliding regime)和邊界潤(rùn)滑階段(boundary lubrication)，此時(shí)的摩擦力來自于固體-固體間的摩擦；第二階段為部分流體潤(rùn)滑階段(partial fluid lubrication)，此時(shí)油膜部分生成，但固體-固體間的摩擦仍大于潤(rùn)滑油的黏性效應(yīng)；第三階段為完全潤(rùn)滑階段(full fluid lubrication)，此時(shí)固-固摩擦消失，摩擦力來自于潤(rùn)滑油的黏性效應(yīng)，隨速度增加而增大，此階段也稱為流體動(dòng)力潤(rùn)滑階段。

圖4 Stribeck摩擦模型

舵系統(tǒng)Stribeck摩擦力矩為

(4)

式中：Mf為靜摩擦力矩；k1，k3為動(dòng)摩擦力矩曲線方程系數(shù)，具體形式為

(5)

式中：vm為動(dòng)摩擦力矩最小時(shí)的舵面角速度；k0為最小動(dòng)摩擦力矩與靜摩擦力矩Mf之比，當(dāng)k0=1時(shí)，Stribeck摩擦模型退化為庫侖摩擦模型。

2 參數(shù)識(shí)別方法

參數(shù)識(shí)別的目的是找到一組參數(shù)，使模型計(jì)算數(shù)據(jù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合程度最好。影響參數(shù)識(shí)別結(jié)果的因素有兩個(gè)：一是機(jī)理分析及建模的準(zhǔn)確性；二是算法精度。因此，本文選擇了兩種算法針對(duì)兩種模型進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，以達(dá)到迭代比較的目的。

2.1 最小二乘非線性擬合法

最小二乘非線性擬合一般包括三個(gè)步驟：①獲取試驗(yàn)數(shù)據(jù)；②在結(jié)構(gòu)分析基礎(chǔ)上，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)規(guī)律建立含有未知參數(shù)的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性數(shù)學(xué)表達(dá)式；③利用MATLAB nlinfit函數(shù)確定未知參數(shù)的數(shù)值(參數(shù)識(shí)別)，即得到擬合的規(guī)律。

在工程實(shí)際中得到系統(tǒng)的頻響是非常成熟和方便的，因此已知的觀測(cè)數(shù)據(jù)為系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)數(shù)據(jù)。符合幅頻響應(yīng)數(shù)據(jù)規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為幅頻響應(yīng)函數(shù)，但對(duì)于不同的摩擦模型，其表達(dá)式的形式不同，因此識(shí)別結(jié)果和擬合效果也不同?；谧钚《朔蔷€性擬合法的參數(shù)識(shí)別流程，如圖5所示。

圖5 基于最小二乘非線性擬合法的參數(shù)識(shí)別流程圖

幅頻響應(yīng)函數(shù)的求解采用諧波平衡法，忽略高次諧波，設(shè)在如下正弦激勵(lì)下

Tc=T0[sin(ωt)cosh-cos(ωt)sinh]

(6)

舵面響應(yīng)為

θr=θ0sin(ωt)

(7)

式中：T0和θ0為激勵(lì)力矩和舵面轉(zhuǎn)角的幅值；h為響應(yīng)與激勵(lì)的相位差。

將式(6)和式(7)，以及庫侖摩擦力矩(3)代入式(1)后取出一次諧波項(xiàng)的系數(shù)，得到兩個(gè)諧波平衡方程

4Mf+π[Cθ0ω+T0sinh]=0

(8)

π[T0cosh+Jθ0ω2]+

Kθ0[sin(2φ)-π+2φ]=0

(9)

式中，φ=arcsin(e/θ0)。

通過式(8)和式(9)消去相位差，得到摩擦模型為庫侖摩擦模型的舵系統(tǒng)幅頻函數(shù)方程

(10)

將式(6)和式(7)，以及Stribeck摩擦力矩(4)代入式(1)后取出一次諧波項(xiàng)的系數(shù)，得到兩個(gè)諧波平衡方程

(11)

π[T0cosh+Jθ0ω2]+Kθ0[sin(2φ)-π+2φ]=0

(12)

式中，φ=arcsin(e/θ0)。

通過式(11)和式(12)消去相位差，得到摩擦模型為Stribeck摩擦模型的舵系統(tǒng)幅頻函數(shù)方程

(13)

2.2 遺傳算法

遺傳算法是一種通過模擬自然進(jìn)化過程實(shí)現(xiàn)最優(yōu)解搜索的智能優(yōu)化算法，其優(yōu)點(diǎn)為適應(yīng)范圍廣，魯棒性強(qiáng)。

遺傳算法與最小二乘非線性擬合法的區(qū)別在于無需求出函數(shù)表達(dá)式，但需要設(shè)定一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化各參數(shù)使目標(biāo)函數(shù)值最小。由于已知的觀測(cè)數(shù)據(jù)為系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)數(shù)據(jù)，因此設(shè)置的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)能表征模型計(jì)算的幅頻響應(yīng)曲線與試驗(yàn)測(cè)得的幅頻響應(yīng)曲線的擬合程度，且擬合程度越高，目標(biāo)函數(shù)值越小?；谶z傳算法的參數(shù)識(shí)別流程，如圖6所示。

圖6 基于遺傳算法的參數(shù)識(shí)別流程圖

圖7 空氣舵系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征參數(shù)示意圖

目標(biāo)函數(shù)采用統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，具有線性加權(quán)平方和的形式，具體如式(14)所示

(14)

式中，加權(quán)因子wp(p=1,2,…,l)的選取使各分目標(biāo)函數(shù)wpfp(X)成為無量綱的具有等量級(jí)數(shù)值的函數(shù)。各分目標(biāo)函數(shù)為

(15)

式中：H0為試驗(yàn)得到各頻率的幅頻響應(yīng)向量；h0為計(jì)算得到各頻率的幅頻響應(yīng)向量；Y1，Y2，Y3，Y4分別為試驗(yàn)得到的幅頻響應(yīng)曲線的四個(gè)非線性動(dòng)力學(xué)特征參數(shù)；y1，y2，y3，y4分別為計(jì)算得到的幅頻響應(yīng)曲線的四個(gè)非線性動(dòng)力學(xué)特征參數(shù)。

3 參數(shù)識(shí)別結(jié)果

本文參數(shù)識(shí)別采用的已知觀測(cè)數(shù)據(jù)為試驗(yàn)測(cè)得的舵系統(tǒng)的頻響數(shù)據(jù)，各待識(shí)別的參數(shù)沒有確定的理論值，故評(píng)價(jià)參數(shù)識(shí)別結(jié)果是否有效的標(biāo)準(zhǔn)為將各參數(shù)的識(shí)別結(jié)果代入模型中計(jì)算所得的幅頻響應(yīng)曲線與試驗(yàn)測(cè)得的幅頻響應(yīng)曲線的吻合程度。

3.1 基于庫侖摩擦模型的參數(shù)識(shí)別結(jié)果

將庫侖摩擦力矩代入舵系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程中，可以得到摩擦模型為庫侖摩擦模型的舵系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型。該型空氣舵的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=0.346 kg·m2，待識(shí)別的參數(shù)分別為：舵軸的等效扭轉(zhuǎn)剛度K、黏性阻尼系數(shù)C、庫侖摩擦力Mf、系統(tǒng)間隙e。本節(jié)分別采用最小二乘非線性擬合法及遺傳算法對(duì)所建模型中的未知參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，識(shí)別得到的參數(shù)值如表1所示，仿真和試驗(yàn)得到的幅頻響應(yīng)曲線，如圖8所示。

表1 基于庫侖摩擦模型的參數(shù)識(shí)別值

圖8 模型計(jì)算與試驗(yàn)幅頻響應(yīng)曲線對(duì)比圖

3.2 基于Stribeck摩擦模型的參數(shù)識(shí)別結(jié)果

將Stribeck摩擦力矩代入舵系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程中，可以得到摩擦模型為Stribeck摩擦模型的舵系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型。該型空氣舵的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=0.346 kg·m2，待識(shí)別的參數(shù)分別為：舵軸的等效扭轉(zhuǎn)剛度K、黏性阻尼系數(shù)C、靜摩擦力矩Mf、系統(tǒng)間隙e、最小動(dòng)摩擦力矩與靜摩擦力矩Mf之比k0、動(dòng)摩擦力矩最小時(shí)的舵面角速度vm。本節(jié)分別采用最小二乘非線性擬合法及遺傳算法對(duì)所建模型中的未知參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，識(shí)別得到的參數(shù)值如表2所示，仿真和試驗(yàn)得到的幅頻響應(yīng)曲線，如圖9所示。

表2 基于Stribeck摩擦模型的參數(shù)識(shí)別值

圖9 模型計(jì)算與試驗(yàn)幅頻響應(yīng)曲線對(duì)比圖

3.3 結(jié)果分析

由識(shí)別結(jié)果可見：

(1)相較于Stribeck摩擦模型，采用庫侖摩擦模型所建立的舵系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型能較為準(zhǔn)確地反映該型空氣舵系統(tǒng)實(shí)際的動(dòng)力學(xué)行為?；趲靵瞿Σ聊Ｐ偷膮?shù)識(shí)別，最小二乘非線性擬合法和遺傳算法識(shí)別得到的各項(xiàng)參數(shù)值差異較小，計(jì)算得到的幅頻響應(yīng)曲線與試驗(yàn)測(cè)得的幅頻響應(yīng)曲線擬合效果均較好，分析認(rèn)為參數(shù)存在的微小差異的主要原因是不同算法產(chǎn)生的算法誤差。

(2)基于Stribeck摩擦模型的參數(shù)識(shí)別，采用兩種參數(shù)識(shí)別方法得到的最小動(dòng)摩擦力矩與靜摩擦力矩Mf之比k0的值均接近1，當(dāng)k0=1時(shí)，Stribeck摩擦模型退化為庫侖摩擦模型，進(jìn)一步驗(yàn)證了庫侖摩擦模型能較為準(zhǔn)確地反映該空氣舵機(jī)械系統(tǒng)的真實(shí)摩擦力矩。

(4)最小二乘非線性擬合法的計(jì)算時(shí)間短，效率高，但需要求出幅頻響應(yīng)函數(shù)的解析解，對(duì)于本文研究的單自由度系統(tǒng)較為適用，對(duì)于更復(fù)雜的無法求出函數(shù)表達(dá)式的系統(tǒng)并不適用。由于在遺傳算法優(yōu)化的過程中需要仿真計(jì)算模型的幅頻響應(yīng)數(shù)據(jù)，故計(jì)算較慢，效率較低，但對(duì)于任意系統(tǒng)，都具有可行性。

4 結(jié) 論

在飛行器工程研制實(shí)踐中，由于設(shè)計(jì)加工制造過程中產(chǎn)生的間隙、摩擦，導(dǎo)致系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性存在明顯的非線性特征。本文針對(duì)典型的戰(zhàn)術(shù)武器空氣舵系統(tǒng)，分別采用庫侖摩擦模型和Stribeck摩擦模型建立了空氣舵系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，并使用試驗(yàn)測(cè)得的頻響數(shù)據(jù)識(shí)別模型中的未知參數(shù)，得到以下結(jié)論：

(1)本文通過建模及參數(shù)識(shí)別，比較了庫侖摩擦模型和Stribeck摩擦模型與實(shí)際系統(tǒng)的適應(yīng)程度，結(jié)果表明庫侖摩擦模型能夠較為準(zhǔn)確地反映實(shí)際系統(tǒng)中的摩擦力矩。

(2)本文比較了最小二乘非線性擬合法和遺傳算法參數(shù)識(shí)別的效果，結(jié)果表明這兩種算法都能取得較好的參數(shù)識(shí)別效果，但適用范圍及計(jì)算效率不同。

后續(xù)應(yīng)在在以下方面開展工作：

(1)采用動(dòng)態(tài)摩擦模型，如Lugre摩擦模型建立舵系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，識(shí)別模型中的未知參數(shù)，并將模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比判斷建模的準(zhǔn)確程度。

(2)考慮接觸等非線性因素，研究其建模及參數(shù)識(shí)別方法。