基于非光滑系統(tǒng)的局域共振聲子晶體結(jié)構(gòu)動態(tài)特性研究

何 超，高海峰，徐慧東，李志強

(太原理工大學 機械與運載工程學院，太原 030024)

低頻振動和噪音的存在與長期工作生活在周圍的人體內(nèi)臟固有頻率接近，產(chǎn)生的共振嚴重影響人體健康。而且在交通運輸、航空航天以及精密加工等領域產(chǎn)生不利影響，造成了大量的經(jīng)濟損失，由此低頻減振降噪顯得尤為重要。聲子晶體所具有的帶隙特性使其在減振降噪方面的應用得到重視。早在二十世紀七十年代，人們就開始了對彈性波在層狀介質(zhì)中的傳播進行研究[1]。在1993年，Kushwaha等[2]首次提出了聲子晶體概念，并利用平面波展開法計算了彈性波帶隙。1995年，Martinez-Sala等[3]通過聲學特性試驗對雕塑“流動的旋律”進行研究，第一次在試驗中得到聲波帶隙。之后2000年，Liu等[4]在《Science》雜志上首次提出聲子晶體局域共振帶隙機理，制造出的三維三組元周期性復合材料，成功通過試驗驗證了“小尺寸控制大波長”，為局域共振型聲子晶體在低頻減振降噪領域的發(fā)展奠定了基礎。局域共振型聲子晶體這種周期復合結(jié)構(gòu)在特定頻率的彈性波激勵下，各個散射體產(chǎn)生共振并與彈性波相互作用抑制其傳播，由此產(chǎn)生了局域共振帶隙[5]。根據(jù)局域共振聲子晶體帶隙的特性，在各個領域有著廣泛的應用。由于其頻率可設計、尺寸小、針對性強等特點，為精密加工、精密儀器等提供一定頻率范圍內(nèi)的無振動工作環(huán)境。聲子晶體也常用于聲吶、醫(yī)學超聲探測成像等領域。在潛艇的消聲瓦等軍工方面也有廣闊的應用前景。

到目前為止，主要的研究都是圍繞局域共振型聲子晶體的線性特性展開的?；诰钟蚬舱裨碓O計具有等效負質(zhì)量密度、負折射特性的聲子晶體，可以產(chǎn)生高效低頻聲吸收或隔離、聲透射等現(xiàn)象，廣泛應用于生產(chǎn)生活等各個方面[6-8]。盡管局域共振型聲子晶體在低頻抑振方面有著突出的表現(xiàn)，但是在寬頻抑振方面有一定的局限性。因此非線性系統(tǒng)的引入可以改變帶隙對系統(tǒng)線性特性的依賴性，從機理上對帶隙特性產(chǎn)生影響。1955 年，F(xiàn)ermi等[9-10]研究了含有非線性項的64粒子的一維動力系統(tǒng)，后人將這一離散結(jié)構(gòu)稱為 FPU問題,對該問題的進一步研究極大地推動了非線性領域的發(fā)展。國防科技大學智能科學學院振動與噪聲控制團隊在非線性聲學超材料低頻寬帶減振特性的研究上取得重要進展[11-16]探究了周期結(jié)構(gòu)中的非線性波動與振動特性及新機理—混沌帶，揭示了低頻寬帶高效抑振機制。目前，大量的工作圍繞非線性周期結(jié)構(gòu)的色散關系開展。研究發(fā)現(xiàn)帶隙頻域和帶寬可以通過調(diào)整非線性的強度來調(diào)控, 并且隨著激勵幅值的增加，帶隙頻率和色散曲線向高頻移動，帶隙寬度增加[17]。2013年Donahue等[18]用顆粒晶體設計了用于水下聲聚焦和成像的非線性聲透鏡結(jié)構(gòu)，并成功通過試驗實現(xiàn)。2017年，Ciampa等[19]提出的非線性彈性波傳感聲子晶體波導換能器，成功地使超聲設備產(chǎn)生的二次諧波產(chǎn)生衰減，從而證明了非線性聲子晶體在超聲材料損傷檢測中的廣泛應用潛力。近期Khobragade等[20]的研究表明，利用非線性聲學共振器，可以直接可靠地讀出生物受體介質(zhì)的復雜樣本中整個營養(yǎng)細菌的結(jié)合。

本文的研究基于一維扭轉(zhuǎn)局域共振型聲子晶體[21]，利用機械結(jié)構(gòu)在局域共振聲子晶體的基礎上構(gòu)建了非線性聲子晶體結(jié)構(gòu)。利用傳遞矩陣法驗證線性帶隙，并通過扭振衰減試驗驗證了線性帶隙的存在。運用單自由度非光滑振動碰撞理論，通過數(shù)值仿真對單個振子運動微分方程的穩(wěn)態(tài)解進行分析研究，說明了振子在多個低頻頻域內(nèi)存在分岔和混沌等非線性現(xiàn)象。在上述結(jié)構(gòu)基礎上加入非線性機構(gòu)并對該新結(jié)構(gòu)進行扭轉(zhuǎn)減振試驗分析，進一步說明多振子疊加產(chǎn)生混沌帶隙的機理。并與在同強度寬頻激勵下的線性帶隙進行對比分析，表明混沌帶隙在少量振子周期排列的情況下對包括10 Hz在內(nèi)多個低頻頻域內(nèi)的振動都有顯著的抑制效果。

1 聲子晶體結(jié)構(gòu)的構(gòu)建

局域共振聲子晶體扭轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)由作為元胞基體結(jié)構(gòu)的均質(zhì)軸系和其上周期排列的一種新型扭轉(zhuǎn)局域共振單元組成，如圖1所示。該單元為通過軸承(16004型)黏接在軸系上的圓盤形質(zhì)量塊及彈簧等構(gòu)成的元胞，局域共振單元間距為a(晶格常數(shù))，軸承的內(nèi)圈和外圈分別與軸的外表面和金屬圓盤的內(nèi)表面黏結(jié)，如圖2所示。軸的半徑為R0,軸承外圈內(nèi)圓半徑為R1，振子內(nèi)圈半徑為R2，振子外圈半徑為R3，振子厚度(即軸向長度)為L。兩組彈簧機構(gòu)對稱安裝，以使其對軸的扭矩抵消，其距軸心的距離為Rk,每組彈簧的兩端分別固接在軸系以及質(zhì)量盤上，彈簧剛度為ks。圖2中強非線性碰撞體系由質(zhì)量盤上固接彈簧機構(gòu)的碰撞桿和固接在軸系上一根獨立于元胞的立柱構(gòu)成，當扭振振幅等于間隙時，兩個接觸點從分離狀態(tài)過渡到接觸狀態(tài)時會發(fā)生碰撞，碰撞前后振子的角速度產(chǎn)生突變，從而產(chǎn)生強非線性。

圖1 軸系示意圖

圖2 局域共振單元示意圖

2 帶隙形成機理

2.1 局域共振帶隙

本文的如圖1中給出的扭轉(zhuǎn)局域共振單元，在未達到碰撞非線性的條件時，通過傳遞矩陣法[22]計算扭轉(zhuǎn)減振結(jié)構(gòu)的色散關系，該局域共振單元，在扭轉(zhuǎn)波激勵下繞軸線扭轉(zhuǎn)振動，波動方程為

(1)

局域共振聲子晶體帶隙由元胞結(jié)構(gòu)決定，在無限周期結(jié)構(gòu)中計算該元胞帶隙，第n個元胞的解可以寫成

θ(xn,t)=T(t)Θ(xn)=

eiωt[Ansin(qxn)+Bncos(qxn)]

(2)

式中:xn=x-na;ω為角頻率,q=ω/c為扭轉(zhuǎn)波的波數(shù)。假設第n個局域共振結(jié)構(gòu)中金屬盤的扭轉(zhuǎn)位移為

φn(t)=Vneiωt

(3)

式中，Vn為第n個振子的振幅。對于第n個振子的慣量矩，根據(jù)力矩平衡得

(4)

將式(2)和式(3)代入式(4)中得到

(5)

由第n-1個晶胞和第n個晶胞之間的位移連續(xù)和扭轉(zhuǎn)連續(xù)得到

Bn=An-1sin(qa)+Bn-1cos(qa)

(6)

An+FBn=An-1cos(qa)-Bn-1sin(qa)

(7)

式中，F(xiàn)=ω2IK/(G0JtqK-Iω2)。將式(6)及式(7)寫成矩陣形式為

Ψn=TΨn-1

(8)

式中:Ψn=[An,Bn]T；T為傳遞矩陣。

T=

(9)

由|T-eikaI|=0可以求解到解析的色散關系為

(10)

式中，k為x方向的Bloch波數(shù)。對于任意給定的頻率ω，利用式(10)可以求得對應的k值，即可獲得局域共振聲子晶體扭轉(zhuǎn)線性帶隙特性。

為了研究分析該結(jié)構(gòu)帶隙特性，具體驗證該聲子晶體的線性帶隙結(jié)構(gòu)，取基體材料為有機玻璃，密度ρ0為1 142 kg/m3,剪切模量G0為0.072×1010Pa。金屬圓盤材料為硬質(zhì)鋁合金，密度ρ1為2 800 kg/m3, 軸承外圈材料為軸承鋼，密度ρ2為7 810 kg/m3。結(jié)合表1試驗結(jié)構(gòu)參數(shù)及材料參數(shù)，角頻率ω取0～560π rad/s，通過傳遞矩陣帶隙計算方法計算得聲子晶體局域共振扭轉(zhuǎn)帶隙結(jié)構(gòu)，如圖3所示。由圖3可知，該結(jié)構(gòu)可在12.4～235.3 Hz(24.8π～470.6π rad/s)產(chǎn)生局域共振線性帶隙。

表1 試驗結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖3 帶隙結(jié)構(gòu)圖

2.2 混沌帶隙

該非光滑系統(tǒng)混沌帶隙的研究分析基于單自由度振動碰撞理論，兩個物體在相互接觸時，在接觸點產(chǎn)生非線性的力與變形，該強非線性行為使系統(tǒng)產(chǎn)生分岔、混沌等非線性現(xiàn)象。如圖1所示結(jié)構(gòu)，只考慮圓盤振子的扭轉(zhuǎn)運動，振子通過線性彈簧與軸體上連桿連接，并且軸體受到簡諧激振力的作用。隨著激振力幅值的增大，當質(zhì)量塊的相對角位移θ(t)等于間隙θ0時，質(zhì)塊將與剛性約束碰撞，速度方向發(fā)生改變。在彈簧作用下又以碰撞后新的初值運動，然后再次與約束碰撞，如此反復；假設碰撞過程中的能量損失由碰撞恢復系數(shù)r確定，碰撞持續(xù)時間略去不計。

軸體做簡諧運動

θ(t)=θgcos(Ωt)

(11)

(12)

式中：θg為軸體的扭振振幅；Xg，Rg分別為激振器振幅和連接處據(jù)軸心的距離。

在相鄰兩次碰撞之間，單個振子振動的運動微分方程為

(13)

式中：Fg=IΩ2θg；I為振子轉(zhuǎn)動慣量；C為系統(tǒng)阻尼系數(shù)；K為系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)等效剛度系數(shù)；θ(t)為圓盤與軸體的相對轉(zhuǎn)角。

由碰撞動量守恒定律，碰撞恢復系數(shù)r的定義，得碰撞瞬時方程為

(14)

根據(jù)微分方程的相關理論，上述式(13)運動微分方程的通解可表示為

θ(t)=e-ζωnt[X1cos(ωdt)+X2sin(ωdt)]+

Xrcos(Ωt-φ)

(15)

利用數(shù)值仿真求解上述非光滑碰撞振子的運動微分方程，針對該非光滑扭振碰撞振子，采取碰撞截面作為Poincaré截面。計算時邊界條件中涉及的碰撞間隙取0，阻尼C及碰撞恢復系數(shù)r在3.2節(jié)試驗參數(shù)估計中給出。通過該截面方法對上述微分方程的穩(wěn)態(tài)解進行取值分析，得到單自由度碰撞振動系統(tǒng)全局分岔圖，如圖4所示。圖4(a)～圖4(d)四幅圖說明在多個頻率范圍內(nèi)的非線性情況，在這些頻域內(nèi)規(guī)律的出現(xiàn)小范圍的分岔和混沌現(xiàn)象。分岔是由穩(wěn)定解失去穩(wěn)定性之后產(chǎn)生的一種非線性現(xiàn)象，這將伴隨不穩(wěn)定解的出現(xiàn)，而存在不穩(wěn)定的解是出現(xiàn)混沌的必要條件，不穩(wěn)定的周期解和穩(wěn)定性交替變化的頻帶會導致混沌波的產(chǎn)生。因此本文基于一起出現(xiàn)分岔和混沌的分岔圖進一步來驗證試驗結(jié)果。圖4(e)為140 Hz附近范圍內(nèi)的局部分岔圖，也表明該區(qū)域有著豐富的分岔和混沌現(xiàn)象。

圖4 速度分岔圖

3 試驗裝置及參數(shù)

3.1 試驗裝置

為了對該非光滑局域共振系統(tǒng)進行試驗分析，基于上述結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)制作了如圖5所示的試驗結(jié)構(gòu)。軸體通過兩個支座固定在試驗臺上，振子等間距的周期排列固定在軸體上。在基體一端施加0～300 Hz軸周向簡諧激勵，使用激光位移傳感器分別在軸的兩端拾取扭轉(zhuǎn)位移激勵和響應信號。試驗流程及儀器如圖6所示。通過傅里葉變換將時域信號轉(zhuǎn)變?yōu)轭l域信號，通過振幅頻譜圖對該系統(tǒng)線性及非線性減振特性進行研究分析。

1.簡諧激勵；2.激光位移傳感器；3.軸的左端；4.振子；5.軸體；6.軸的右端；7.支座。

圖6 試驗流程圖

3.2 試驗參數(shù)

圖7 彈簧剛度(k=338 N/m)

圖8 振子脈沖響應

圖9 離散傅里葉變換的幅度(峰值處頻率為10.49 Hz)

圖10 單次碰撞位移曲線

4 試驗數(shù)據(jù)分析與數(shù)值仿真對比

通過試驗得到的線性振幅頻譜圖，如圖11所示。陰影區(qū)域為通過傳遞矩陣法得到的帶隙計算結(jié)果所在頻率區(qū)域。

圖11 線性振幅頻譜圖

從圖11中可以看出，從12 Hz附近振幅開始出現(xiàn)衰減趨勢，由于帶隙計算時按照無限周期結(jié)構(gòu)計算，而試驗所用結(jié)構(gòu)僅安裝了五個局域共振單元，因此會在理論計算帶隙內(nèi)存在一些特征頻率[23]，在這些特征頻率附近振幅強度衰減較弱。在減振效果明顯的頻域范圍內(nèi)，振幅強度降低了10～15 dB。與數(shù)值計算結(jié)果對比可得，線性帶隙試驗結(jié)果基本符合計算預期結(jié)果。

在上述線性試驗研究的結(jié)構(gòu)基礎上，由于碰撞機構(gòu)的存在，使軸系在扭振時在特定頻率內(nèi)產(chǎn)生非線性現(xiàn)象從而形成混沌帶隙。在同強度寬頻激勵下，得到非線性結(jié)構(gòu)振幅頻譜圖如圖12(a)中實線所示，在陰影區(qū)域A(15～45 Hz)、區(qū)域B(70～130 Hz)、區(qū)域C(148～180 Hz)三個頻域范圍以及140 Hz附近，振幅強度出現(xiàn)了劇烈衰減。對照圖4速度分岔圖進一步說明單個振子在這些頻域內(nèi)規(guī)律出現(xiàn)小范圍分岔和混沌使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌帶隙。多個振子間相互耦合在局域共振帶隙頻域內(nèi)激發(fā)不同頻率的振動，使低頻通帶內(nèi)共振峰數(shù)量增加，將能量分散在多個頻率范圍內(nèi)，不僅抑制了低頻振動，還拓寬了局域共振線性帶隙。相對于線性帶隙，該系統(tǒng)在同等外部激勵條件下振幅強度降低了10～20 dB，對扭轉(zhuǎn)振動的抑制作用明顯強于線性帶隙，彌補了線性結(jié)構(gòu)在實際應用中振子數(shù)量較少而引起的抑振效果不明顯的不足。

相對于線性帶隙，混沌帶隙有效地在更低頻域內(nèi)抑制振動。如圖12(b)所示為更低頻率的振幅頻譜細節(jié)對比圖，從圖中可以得到在3～8 Hz的頻率范圍內(nèi)，振幅強度從-5 dB附近最低衰減到了-20 dB以下，說明該結(jié)構(gòu)在10 Hz以下的低頻范圍內(nèi)無論線性還是非線性機構(gòu)都可以有效抑制振動，尤其是非線性條件下混沌帶隙范圍內(nèi)的振動強度衰減劇烈。

圖12 線性與非線性振幅頻譜對比圖

5 結(jié) 論

(1)通過傳遞矩陣法對該扭轉(zhuǎn)局域共振聲子晶體結(jié)構(gòu)的線性帶隙進行計算，得到該周期結(jié)構(gòu)可在12.4～235.3 Hz產(chǎn)生局域共振線性帶隙，并設計加工周期扭振機械結(jié)構(gòu)，通過對該結(jié)構(gòu)進行扭轉(zhuǎn)減振試驗分析，對照前文傳遞矩陣法數(shù)值仿真結(jié)果，驗證了該聲子晶體結(jié)構(gòu)的線性帶隙。

(2)采用數(shù)值方法對包含非光滑系統(tǒng)的單個振子運動微分方程的穩(wěn)態(tài)解進行分析研究，說明了振子在多個低頻頻域內(nèi)存在分岔和混沌等非線性現(xiàn)象，解釋了聲子晶體結(jié)構(gòu)混沌帶隙產(chǎn)生機理。

(3)對含有非光滑系統(tǒng)振子的聲子晶體結(jié)構(gòu)進行扭轉(zhuǎn)減振試驗分析，通過試驗驗證了混沌帶隙與單個振子非線性動力學特性之間的作用，并且可以看出混沌帶隙與線性帶隙疊加作用下不僅提高了抑振效果并且在線性帶隙以外10 Hz以下產(chǎn)生了基于混沌帶的抑振特性。