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    佐洛塔廖夫?qū)Υ鷶?shù)數(shù)論的貢獻(xiàn)

    2021-12-01 02:59:34張文君王淑紅
    科學(xué) 2021年5期
    關(guān)鍵詞:理想

    張文君 王淑紅

    19世紀(jì)以來,代數(shù)數(shù)論得到了蓬勃發(fā)展,樹立了數(shù)學(xué)史上的一座座豐碑。在其產(chǎn)生和演化的過程中,涌現(xiàn)出大批數(shù)學(xué)英雄人物。在這些英雄人物中,有一位卻鮮為人所提及。他英年早逝,卻在數(shù)學(xué)的多個領(lǐng)域留下厚重的足印。這就是圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的伊戈爾·伊萬諾維奇·佐洛塔廖夫(Egor Ivanovich Zolotarev, 1847—1878)。

    短暫而奮發(fā)圖強(qiáng)的一生

    佐洛塔廖夫1847年3月31日出生于圣彼得堡的一個中產(chǎn)階級家庭,其父伊萬·佐洛塔廖夫(Ivan Zolotarev)是鐘表店老板,其母阿加菲婭·佐洛塔廖夫(Agafya Zolotarev)是一位家庭主婦。

    1857年,佐洛塔廖夫進(jìn)入圣彼得堡第五文法學(xué)校(The Fifth St Petersburg Grammar School)學(xué)習(xí)。這所學(xué)校以數(shù)學(xué)和自然科學(xué)為重心,數(shù)學(xué)出身的校長特別注重選拔優(yōu)秀的數(shù)學(xué)、物理教師,甚至還親自教授數(shù)學(xué)課程。他曾寫道:“在每一次算術(shù)運算和代數(shù)量的學(xué)習(xí)中,學(xué)生們將被安排盡可能多的任務(wù),大部分是實際可操作的,并進(jìn)一步考察盡可能廣泛的問題[1]?!眱?yōu)秀的老師使佐洛塔廖夫接受了豐富的數(shù)學(xué)知識,培養(yǎng)了獨立思考的能力,再加上自己具有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)天賦,使他在學(xué)生中脫穎而出。

    1863年,佐洛塔廖夫以第二名的優(yōu)異成績畢業(yè),同年進(jìn)入圣彼得堡大學(xué)(St Petersburg University),因為年紀(jì)太小只能當(dāng)旁聽生。1864年,他正式被圣彼得堡大學(xué)物理和數(shù)學(xué)學(xué)院(Faculty of Physics and Mathematics)錄取。在此期間,他聆聽了切比雪夫(P. L. Chebyshev, 1821—1894)和科爾金(A. Korkin, 1837—1908)的課,兩位老師精彩的課程以及提出的建議幫助他迅速提高,后來他與他們有多方面合作。此外,他的老師還有索莫夫(I. Somov, 1815—1876)等人,佐洛塔廖夫與他們建立起親密的科學(xué)友誼。1860年代是俄羅斯綜合國力的全盛時期,許多杰出科學(xué)家活躍于這個時代。

    1867年,佐洛塔廖夫完成了大學(xué)學(xué)業(yè),為獲得教師應(yīng)聘資格,他完成論文“關(guān)于回轉(zhuǎn)方程的積分”(About the integration of gyroscope equation)。1868年,他完成了求職論文“關(guān)于極小值的一個問題”(About one question on minima)。這篇文章很出色,展示了作者強(qiáng)大的知識儲備和較為深刻的研究成果。之后,佐洛塔廖夫開始作為無薪講師在圣彼得堡大學(xué)授課。他先是為自然科學(xué)學(xué)院(School of Natural Science)的學(xué)生講授微積分(直到1871年夏天),之后為數(shù)學(xué)系低年級學(xué)生講授積分和分析導(dǎo)論。除了中間一段短暫時期,他在擔(dān)任講師和教授期間還為數(shù)學(xué)專業(yè)的高年級學(xué)生講授高等代數(shù)。

    在為學(xué)生授課的同時,佐洛塔廖夫繼續(xù)在物理和數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)習(xí),研究三次不定方程。1869年春,22歲的他通過了碩士入學(xué)考試,師從切比雪夫。同年12月,他完成碩士論文“關(guān)于三次不定方程的解”(About the solution of the indefinite equation of the third degree)。這篇文章共62頁,是佐洛塔廖夫科研上的一次重大突破[2]。值得一提的是,當(dāng)時俄國的碩士論文水平相當(dāng)于英國或美國大學(xué)的博士學(xué)位論文水平。碩士畢業(yè)后,佐洛塔廖夫繼續(xù)在切比雪夫的指導(dǎo)下做博士論文,1873年獲得博士學(xué)位。博士論文于1874年4月28日發(fā)表,題目為“復(fù)數(shù)理論在積分學(xué)中的應(yīng)用”(Theory of complex numbers with an application to integral calculus),這篇論文討論了一系列更重要的問題,使他一躍成為當(dāng)時最杰出的數(shù)論學(xué)家之一。

    其間,即1872年,佐洛塔廖夫曾出國游學(xué),訪問了柏林。這是他第一次出國訪學(xué)。在那里他聆聽了魏爾斯特拉斯(K. T. W. Weierstrass, 1815—1897)的解析函數(shù)論課程、柯尼斯伯格(L. K?nigsberger, 1837—1921)的復(fù)變函數(shù)論課程和庫默爾(E. E. Kummer, 1810—1893)的解析幾何課程。佐洛塔廖夫覺得庫默爾講課非常有趣,會認(rèn)真聽其課上的每一句話。佐洛塔廖夫后來在代數(shù)數(shù)論方面的成果也得益于與庫默爾的交流。

    1876年夏,佐洛塔廖夫再次出國訪學(xué),這次去的是巴黎。在巴黎期間,他與埃爾米特(C. Hermite, 1822—1901)進(jìn)行了許多討論。埃爾米特對他和科爾金合作的二次型算術(shù)理論方面的工作非常感興趣,并給予高度評價。佐洛塔廖夫遂寫信給科爾金,在信中他談到了國外訪學(xué)的感受,對德國和法國數(shù)學(xué)家的印象,并討論一些相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。

    1876年冬季學(xué)期的開始,佐洛塔廖夫被任命為圣彼得堡大學(xué)物理和數(shù)學(xué)學(xué)院的教授。索莫夫去世后,佐洛塔廖夫是他的繼任者,成為圣彼得堡科學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院的副院士。該院的成員中包括許多法國和德國數(shù)學(xué)家,從一個側(cè)面說明佐洛塔廖夫在俄國和歐洲受到了廣泛的贊賞。

    1878年7月7日,正值暑假,佐洛塔廖夫在去普希金探親的途中,意外跌倒在一輛車下,因救治無效,于7月19日不幸去世。

    在多個數(shù)學(xué)領(lǐng)域建立功勛

    雖然佐洛塔廖夫因意外離世,其科學(xué)活動僅僅持續(xù)了10多年,但他在代數(shù)數(shù)論、逼近論、二次型和橢圓積分等方面做出了奠基性工作。

    佐洛塔廖夫研究了代數(shù)數(shù)域中的整數(shù)環(huán),給出了這類整數(shù)環(huán)的可除性理論,發(fā)展了庫默爾的思想。1878年他在《數(shù)學(xué)年刊》(Mathematische Annalen)上發(fā)表的論文“關(guān)于復(fù)數(shù)”(On complex numbers),主要探討了具有整系數(shù)的函數(shù),證明了在奇異情況下的定理,還包含一個基本引理的證明,該引理是適用于非奇異和奇異情形的可除性理論的基礎(chǔ)。1880年在《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées)上發(fā)表的論文“關(guān)于復(fù)數(shù)理論”(On the theory of complex numbers),其中包含了可除性理論的一般構(gòu)造方法。

    佐洛塔廖夫于1874年在《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了文章“關(guān)于切比雪夫先生的積分方法”(Sur la méthode dintégration de M.Tchebichef)。這篇文章強(qiáng)調(diào)了橢圓函數(shù)和復(fù)變函數(shù)之間的關(guān)系,將復(fù)整數(shù)理論應(yīng)用于橢圓微分的積分。阿貝爾已經(jīng)證明了某些橢圓微分可以用對數(shù)積分,但他的方法幾乎沒有實際應(yīng)用價值。佐洛塔廖夫提供了更有效的解決方案。

    埃爾米特提出了求含有n個實系數(shù)變量的二次型最小值的問題。佐洛塔廖夫與科爾金一起研究,他們能分別給出含有4個變量和5個變量二次型的最小值。

    佐洛塔廖夫在逼近論中提出了4個問題,并都進(jìn)行了解答,這些成果主要出現(xiàn)在1877年的《數(shù)學(xué)年刊》上。他研究的前兩個問題,試圖將多項式p(x)上的max{p(x):-1≤x≤1}最小化,其中多項式p(x)的系數(shù)滿足給定條件。第三和第四個問題是關(guān)于給定區(qū)間上的有理函數(shù)的最優(yōu)逼近[3]。

    佐洛塔廖夫發(fā)表論著共28篇(部)。從1870年代初一直到1877年,他的文章都發(fā)表在《數(shù)學(xué)年刊》上。從同時代人對他的評價來看,佐洛塔廖夫是一個非常善良、直率和友好的人,他對于教學(xué)持有極其認(rèn)真的態(tài)度并深受同事和學(xué)生們的愛戴。除了在圣彼得堡大學(xué)任教之外,他自1869年還在交通工程學(xué)院(School of Transportation Engineering)教授“分析力學(xué)”。他參與編寫了一些教科書,比如《分析力學(xué)教程》(Course in Analytical Mechanics)、《高等代數(shù)》(Higher Algebra)等。

    抒寫代數(shù)數(shù)論壯麗華章

    佐洛塔廖夫的代數(shù)數(shù)論思想來源于高斯的復(fù)整數(shù)理論和庫默爾的理想數(shù)理論。

    高斯在1801年出版了《算術(shù)研究》(Disquisitiones arithmeticae),開始了互反律的研究。1832年,高斯又發(fā)表了一篇重要論文,其中出現(xiàn)了四次互反律。他為了簡潔完美地表述這一定理,使用了形如a+bi的數(shù),將其稱為復(fù)數(shù),這里a, b是整數(shù)且i是x2+1=0的一個根。后人為了將它與通常的復(fù)數(shù)相區(qū)分,稱之為復(fù)整數(shù)(或高斯整數(shù))。他把形如a+bi的每一個數(shù)a都定義其范數(shù)為Nα=(a+bi)(a-bi)=a2+b2。根據(jù)范數(shù)的定義可以得到Nαβ=NαNβ。容易看出,復(fù)整數(shù)之間進(jìn)行加、減、乘運算仍是復(fù)整數(shù)。在通常的整數(shù)論中,可逆元素是±1,而在高斯的復(fù)整數(shù)論中,可逆元素卻是±1和±i。進(jìn)一步高斯又證明:只要不把4個可逆元素作為不同的因數(shù),唯一因子分解定理對復(fù)整數(shù)也成立。通過復(fù)整數(shù),高斯能夠給出四次互反律的一種更為簡潔的表述形式。但遺憾的是,高斯未曾發(fā)表它的證明。第一個給出這一定理的證明的人是雅可比(C. Jacobi, 1804—1851),后來,雅可比為了闡述高次互反律的特殊情形,又分別研究了具有5次、8次、12次單位根的復(fù)整數(shù),而且把這些數(shù)分解成了素整數(shù)的乘積,規(guī)定它們也滿足自然數(shù)通常的性質(zhì)。

    雖然庫默爾和佐洛塔廖夫在文章中都提到“理想因子”,但是他們本質(zhì)上主要討論的是理想因子在整數(shù)中的指數(shù)。佐洛塔廖夫發(fā)展了庫默爾的局部方法,構(gòu)造了一種完全嚴(yán)格的代數(shù)運算。同樣值得注意的是,在他的代數(shù)數(shù)構(gòu)造中,佐洛塔廖夫依賴于上述引理,該引理同時對代數(shù)數(shù)和代數(shù)函數(shù)成立,因此他的理論可以立即推廣到代數(shù)函數(shù)環(huán)上。

    同時代的戴德金(J. W. R. Dedekind, 1831—1916)和克羅內(nèi)克(L. Kronecker, 1823—1891)也對庫默爾的理想數(shù)理論進(jìn)行了發(fā)展,但只有戴德金的理想論獲得了更多的傳承。佐洛塔廖夫雖然與戴德金一樣將庫默爾的理論推廣到代數(shù)數(shù)域和函數(shù)域,但他們所采用的方法是不同的[8]。戴德金將庫默爾理論推廣到代數(shù)整數(shù)環(huán)上,他的基本思想是用理想的概念取代庫默爾的理想數(shù)概念。佐洛塔廖夫也在同樣的環(huán)中做研究,但是對于有理素數(shù)p,他引入了關(guān)于p的特定概念,證明了由代數(shù)整數(shù)所表示的理想素因子的存在性,用的是指數(shù)賦值的思想。雖然戴德金和佐洛塔廖夫兩人在學(xué)術(shù)上有著相似的研究課題,但是他們沒有多少交流,通信很少。他們之間缺少溝通的原因可能正是他們的基本思想方法不同,以至于雙方覺得跟對方討論數(shù)學(xué)是徒勞的,即使如此,他們對彼此的文章還是有所了解的,比如通過佐洛塔廖夫1874年的博士論文以及其他材料,可以知道他也知道戴德金的理想論。

    在傳承中獲得長久生命力

    佐洛塔廖夫的代數(shù)數(shù)論思想對博列維奇(Z. I. Borevich, 1922—1955)和沙法列維奇(I. R. Shafarevich, 1923—2017)產(chǎn)生了重要的影響。博列維奇與沙法列維奇在1964年共同出版了著作《數(shù)論》(Number theory)。該書的主要內(nèi)容既有經(jīng)典理論,也有當(dāng)時的新理論,包含了許多其他書籍所沒有的重要且有意義的結(jié)果。在大多數(shù)章節(jié)末尾都有一個習(xí)題集。作者在前言中介紹了研究不定方程的主要方法,包括代數(shù)方法、幾何方法和分析方法。該書分為五章,每章都有七八節(jié)。這五章的內(nèi)容分別為同余、用可分解的型表示數(shù)、可除性理論、局部方法和分析方法。作者特別重視局部方法,其中許多內(nèi)容是對佐洛塔廖夫代數(shù)數(shù)論思想的繼承和發(fā)展。

    在第三章“可除性理論”中作者概述了代數(shù)整數(shù)分解為素因子乘積的問題。本部分介紹了源于庫默爾的可除性理論。然后,作者進(jìn)一步描述了可除性理論和給定環(huán)的商環(huán)的指數(shù)之間的密切聯(lián)系,闡述了指數(shù)的性質(zhì)并證明了指數(shù)在環(huán)的最終擴(kuò)張上保持不變的定理,延續(xù)了佐洛塔廖夫的指數(shù)賦值思想。在這一部分的附錄中,作者給出了構(gòu)造因子和計算因子類數(shù)的方法,并對費馬大定理和其他理論進(jìn)行了評述,其中有佐洛塔廖夫的可除性理論。在第四章“局部方法”中,作者專門介紹了佐洛塔廖夫的方法,主要內(nèi)容是研究局部環(huán)和這些環(huán)上解析函數(shù)的性質(zhì)。

    《數(shù)論》自出版以來,就在數(shù)學(xué)界被廣泛傳播,1966年分別被譯成德文和英文出版,1967年又被譯為法文出版,俄文的第二版與第三版分別出現(xiàn)在1972年和1984年,法文版于1992年出了第二版。據(jù)谷歌學(xué)術(shù)不完全統(tǒng)計,截止到2021年1月,各個版本的《數(shù)論》被引用總量超過2200余次,其中英文版本的被引用量最高,高達(dá)2100余次,法文、德文、俄文版本的引用量也都超過10余次。該書不僅僅為人們廣泛閱讀,而且得到了大家的一致好評和高度贊譽。數(shù)學(xué)家尼文(I. Niven, 1915—1999)這樣評價《數(shù)論》英文版:“這是一本非常獨特并且富有價值的書,因為它很少與其他目前可用的相關(guān)英語文本重疊。該書神韻與深度并存,它在數(shù)論方面提供了一種高水平教材[9]?!睌?shù)學(xué)家莫德爾(L. J. Mordell, 1888—1972)對《數(shù)論》評價道:“這本書是我有幸讀過的最迷人的書之一,它非常具有啟發(fā)性,每一個對數(shù)論有興趣的人都應(yīng)該得到這本有意義的書[10]。”總之,《數(shù)論》中關(guān)于數(shù)論的內(nèi)容非常豐富,提供了一些很有價值的成果,這些成果使公眾以更容易的方式涉足這一領(lǐng)域,必將會繼續(xù)影響一批又一批的數(shù)學(xué)工作者。

    佐洛塔廖夫勤奮好學(xué),不畏艱難,勇攀科學(xué)高峰,致力于攻克重要的數(shù)學(xué)問題。他在高斯和庫默爾等人的數(shù)論思想基礎(chǔ)上,發(fā)展了庫默爾的局部方法,構(gòu)造了一種完全嚴(yán)格的代數(shù)數(shù)的運算,運用局部化和整體化的方法研究局部環(huán)和半局部環(huán),證明了關(guān)于主理想環(huán)的結(jié)果。這一方法之后被亨澤爾(K. Hensel,1861—1941)所獨立發(fā)展。佐洛塔廖夫和亨澤爾的工作是局部代數(shù)核心思想和方法的開端。佐洛塔廖夫31歲便因意外溘然長逝,不得不說這是國際數(shù)學(xué)界的重大損失。但他給出的理論和方法仍為人們所沿用和發(fā)展,相信他卓越的數(shù)學(xué)成就將永遠(yuǎn)被人們銘記。

    [本文相關(guān)工作獲國家自然科學(xué)基金項目(11871018)資助。]

    [1]OConnor J J, Robertson E F. Egor Ivanovich Zolotarev. [2003-03-01].https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Zolotarev/

    [2]Kolmogorov A N, Yushkevich A P. Mathematics of the 19th century: geometry, analytic function theory. Boston: Birkh?user Verlag, 1992: 245-256.

    [3]Bashmakova I G. Zolotarev, Egor Ivanovich. [2021-01-19]. https:// mathshistory.st-andrews.ac.uk/DSB/Zolotarev.pdf

    [4]Edwards H. The background of Kummers proof of Fermats last theorem for regular primes. Archive for History of Exact Sciences, 1975,14(3): 219-236.

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    關(guān)鍵詞:佐洛塔廖夫 代數(shù)數(shù)論 理想 p整數(shù) ■

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