基于EM算法優(yōu)化相關(guān)向量機(jī)的BDS-3超快速鐘差預(yù)報(bào)

胡 燕 王德盛 楊玉鋒

1 河南地礦職業(yè)學(xué)院測(cè)繪工程系，鄭州市永繼路51號(hào)，4514642 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)地理與信息工程學(xué)院，武漢市錦程街68號(hào)，430076

國(guó)際GNSS監(jiān)測(cè)評(píng)估系統(tǒng)(iGMAS)提供的超快速鐘差預(yù)報(bào)產(chǎn)品精度較低，一定程度上限制了北斗實(shí)時(shí)精密導(dǎo)航定位的應(yīng)用。同時(shí)，隨著B(niǎo)DS-3的建成，對(duì)其超快速衛(wèi)星鐘差進(jìn)行精密建模和高精度預(yù)報(bào)對(duì)于維持BDS系統(tǒng)時(shí)間同步及滿足實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)精密單點(diǎn)定位的需求等具有重要意義[1]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出一系列鐘差預(yù)報(bào)的模型和方法，包括譜分析模型(SA)[2]、灰色模型(GM)[2]、卡爾曼濾波及其優(yōu)化模型[3]、附加周期和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償?shù)溺姴铑A(yù)報(bào)模型[4]、基于粒子群優(yōu)化核極限學(xué)習(xí)機(jī)的鐘差預(yù)報(bào)算法[5]、T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)鐘差預(yù)測(cè)法[6]、小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[7]及其相關(guān)的組合預(yù)報(bào)模型[8-10]等。這些模型和算法都是利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或機(jī)器學(xué)習(xí)方法，從原始鐘差數(shù)據(jù)或基本鐘差模型擬合殘差數(shù)據(jù)出發(fā)進(jìn)行模型訓(xùn)練的，得到的最終鐘差預(yù)報(bào)效果雖有所提升，但仍存在一些不足：1)沒(méi)有考慮衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，且未能充分利用鐘差數(shù)據(jù)的先驗(yàn)信息；2)模型參數(shù)的選取較為困難，算法復(fù)雜度較高。針對(duì)這些問(wèn)題，本文從衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)的相關(guān)性出發(fā)，提出一種基于EM算法優(yōu)化相關(guān)向量機(jī)(relevance vector machine，RVM)的BDS衛(wèi)星超快速鐘差預(yù)報(bào)算法。

1 RVM鐘差預(yù)報(bào)模型

RVM基本原理參見(jiàn)文獻(xiàn)[11]，本文不再贅述。

1.1 EM算法求解RVM模型超參數(shù)

在計(jì)算權(quán)值后驗(yàn)概率過(guò)程中，部分超參數(shù)會(huì)趨于無(wú)窮大，相應(yīng)的權(quán)值會(huì)趨近0，其余超參數(shù)會(huì)趨于有限值，與之對(duì)應(yīng)的非零權(quán)重鐘差數(shù)據(jù)稱為相關(guān)向量，體現(xiàn)了鐘差數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性。根據(jù)p(α,σ2|t)∞p(t|α,σ2)p(α)p(σ2)，RVM模型的預(yù)測(cè)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)椴扇∮行У某瑓?shù)求解方法以最大化超參數(shù)的邊緣似然函數(shù)p(t|α,σ2)問(wèn)題。

(1)

式中，ω為RVM的權(quán)值向量，Ω=σ2I+ΦA(chǔ)-1ΦT。

(2)

式中，γi=1-αiΣii，μi為第i個(gè)后驗(yàn)權(quán)值的均值，Σii為權(quán)值后驗(yàn)方差矩陣第i個(gè)對(duì)角線元素。

(3)

式(3)在迭代計(jì)算過(guò)程中需要進(jìn)行矩陣的求逆計(jì)算，以更新模型超參數(shù)α和σ2。當(dāng)鐘差訓(xùn)練樣本較大時(shí)，運(yùn)算量會(huì)急劇增加，同時(shí)出現(xiàn)奇異矩陣，無(wú)法進(jìn)行求逆計(jì)算。為保證預(yù)測(cè)結(jié)果的可靠性，采用EM算法迭代更新α和σ2。基于EM迭代的RVM模型訓(xùn)練算法如下：

1)對(duì)RVM模型的參數(shù)ω和σ2進(jìn)行初始化。

2)根據(jù)當(dāng)前ωk和(σ-2)k估計(jì)ωk+1和E(ωωT):

(4)

3)利用步驟2)得到的ωk+1更新方差(σ2)k+1:

(σ2)k+1=

(5)

4)判斷收斂條件‖ωk+1-ωk‖/‖ωk‖<δ是否成立，或迭代是否達(dá)到最大迭代次數(shù)。若是，則停止迭代，否則轉(zhuǎn)向步驟2)繼續(xù)新的EM迭代。

1.2 RVM模型算法超快速鐘差預(yù)報(bào)流程

基于RVM模型算法的衛(wèi)星超快速鐘差預(yù)報(bào)具體流程(圖1)為：

圖1 RVM模型算法超快速鐘差預(yù)報(bào)流程Fig.1 Flow chart of ultra-rapid clock offset prediction based on RVM algorithm

1)利用組合MAD法[12]預(yù)處理超快速鐘差數(shù)據(jù)，剔除粗差與鐘跳等異常值。

2)為減弱鐘差序列趨勢(shì)項(xiàng)的影響[7]，將鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行一次差分處理，得到一組有效數(shù)字位數(shù)減少且數(shù)值較小的序列。

3)將鐘差一次差分?jǐn)?shù)據(jù)作為RVM模型的訓(xùn)練樣本，利用EM算法通過(guò)式(4)和式(5)進(jìn)行迭代，求取RVM模型的超參數(shù)α和σ2，進(jìn)而輸出最優(yōu)的RVM預(yù)測(cè)模型。

4)給定鐘差一次差分?jǐn)?shù)據(jù)樣本x*，通過(guò)優(yōu)化的RVM預(yù)測(cè)模型得到樣本數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值t*，最后將預(yù)報(bào)結(jié)果還原得到相應(yīng)的鐘差預(yù)報(bào)值。

2 算例分析

iGMAS中心提供的超快速鐘差包括觀測(cè)部分(ISU-O)和預(yù)報(bào)部分(ISU-P)，各占24 h。ISU-O鐘差是通過(guò)對(duì)多個(gè)iGMAS中心解算的鐘差進(jìn)行綜合加權(quán)得到的，精度約為1 ns；ISU-P鐘差是基于前1 d的ISU-O鐘差外推預(yù)報(bào)得到的，精度較低。本文采用iGMAS中心的實(shí)測(cè)BDS-3超快速鐘差數(shù)據(jù)，選取8顆BDS-3衛(wèi)星作為代表進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)分析，衛(wèi)星信息如表1所示。

表1 BDS-3衛(wèi)星相關(guān)信息

2.1 單天算例

為分析本文RVM模型鐘差預(yù)報(bào)算法的效果，采用QP模型、SA模型和ISU-P鐘差產(chǎn)品作為對(duì)比，其中SA模型采用加入北斗MEO衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)前2個(gè)主顯著周期項(xiàng)進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)(主顯著周期項(xiàng)為12 h和6 h)[13]。選取高斯核函數(shù)作為RVM鐘差預(yù)報(bào)模型的核函數(shù)，并利用交叉驗(yàn)證法進(jìn)行模型訓(xùn)練[11]。圖2為ISU-P鐘差產(chǎn)品和采用3種模型使用2021-02-13數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)2021-02-14鐘差的預(yù)報(bào)殘差。

從圖2可以看出：1)ISU-P鐘差產(chǎn)品隨著預(yù)報(bào)時(shí)間的推移累積預(yù)報(bào)誤差很大，預(yù)報(bào)精度衰減很快，精度有待進(jìn)一步提高；2)QP模型與SA模型的鐘差預(yù)報(bào)精度略優(yōu)于ISU-P鐘差產(chǎn)品，兩者預(yù)報(bào)結(jié)果差別不大；3)SA模型加入了鐘差數(shù)據(jù)的前2個(gè)主周期項(xiàng)，改善了部分衛(wèi)星鐘差在預(yù)報(bào)過(guò)程中周期性系統(tǒng)誤差的積累，發(fā)散程度有所減小，但提升效果并不明顯，由此可見(jiàn)BDS-3衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)的周期特性誤差并不顯著；4)RVM模型的預(yù)報(bào)精度最高，誤差曲線最收斂，超快速鐘差預(yù)報(bào)穩(wěn)定性更好。綜上，EM算法優(yōu)化的RVM鐘差預(yù)報(bào)模型可更為準(zhǔn)確地?cái)M合出鐘差數(shù)據(jù)中的非線性特征，從而取得較好的超快速鐘差預(yù)報(bào)效果。

圖2 不同預(yù)報(bào)模型BDS-3衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)殘差序列Fig.2 Clock offset prediction residual sequence of BDS-3 satellites using different prediction models

2.2 多天算例

為更好地驗(yàn)證本文RVM模型進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)的普適性，采用2021-02-13～19共7 d的BDS-3超快速鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，選取均方根誤差(RMS)作為鐘差預(yù)報(bào)精度的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)，預(yù)報(bào)結(jié)果如表2和圖3所示。

由表2和圖3可以看出：1)隨著預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)的增加，4種預(yù)報(bào)模型的超快速鐘差預(yù)報(bào)精度都有所下降，但I(xiàn)SU-P產(chǎn)品精度下降最快，降低幅度最為顯著，可見(jiàn)當(dāng)前階段超快速鐘差預(yù)報(bào)產(chǎn)品精度很低，難以滿足實(shí)時(shí)精密單點(diǎn)定位的需求；2)QP模型與SA模型的鐘差預(yù)報(bào)精度相當(dāng)；3)RVM模型預(yù)報(bào)精度與穩(wěn)定性均優(yōu)于其他3種預(yù)報(bào)模型；4)在短期6 h超快速鐘差預(yù)報(bào)下，RVM模型BDS-3鐘差預(yù)報(bào)精度優(yōu)于0.62 ns，能夠滿足北斗高精度實(shí)時(shí)PNT服務(wù)。

表2 不同預(yù)報(bào)模型一周預(yù)報(bào)結(jié)果平均精度統(tǒng)計(jì)

圖3 不同預(yù)報(bào)模型BDS-3衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)精度統(tǒng)計(jì)Fig.3 Statistics of BDS-3 satellites clock offset prediction accuracy using different prediction models

為了分析BDS-3衛(wèi)星鐘差的預(yù)報(bào)效果與星載鐘類型的關(guān)系，表3統(tǒng)計(jì)了不同星載鐘類型鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)的平均精度。表4給出了RVM模型較其他3種模型預(yù)報(bào)精度的提升率。

表3 不同星載鐘類型鐘差預(yù)報(bào)的平均精度

表4 RVM模型較其他3種模型精度提升率

由表3～4可以看出：1)在進(jìn)行12 h鐘差預(yù)報(bào)時(shí)，BDS-3衛(wèi)星銣鐘和氫鐘的鐘差預(yù)報(bào)精度相當(dāng)，但在預(yù)報(bào)24 h鐘差數(shù)據(jù)時(shí)，BDS-3衛(wèi)星氫鐘的預(yù)報(bào)精度明顯更優(yōu)，可見(jiàn)BDS-3搭載的新一代氫鐘穩(wěn)定性更強(qiáng)，性能優(yōu)于同期的銣鐘。2)對(duì)于6 h、12h和24h預(yù)報(bào)，RVM模型預(yù)報(bào)BDS-3衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)的平均精度均優(yōu)于0.61 ns；與ISU-P、QP模型和SA模型相比，RVM模型預(yù)報(bào)24 h的BDS-3衛(wèi)星鐘差精度分別提升64.1%、50.0%和49.2%，驗(yàn)證了RVM模型在BDS-3超快速鐘差預(yù)報(bào)中的可行性。

3 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)當(dāng)前BDS-3鐘差預(yù)報(bào)產(chǎn)品無(wú)法滿足實(shí)時(shí)高精度PNT服務(wù)需求的問(wèn)題，提出一種基于EM算法優(yōu)化RVM的BDS-3超快速鐘差預(yù)報(bào)算法。利用iGMAS中心提供的實(shí)測(cè)BDS-3超快速鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行單天和多天預(yù)報(bào)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證RVM模型在衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中的可行性，同時(shí)得出以下結(jié)論：

1)BDS-3超快速鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行一次差分后，數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)減少，一定程度上消除了鐘差序列趨勢(shì)項(xiàng)的影響，有利于更準(zhǔn)確地?cái)M合預(yù)測(cè)模型。

2)RVM模型采用高斯核函數(shù)，具有較強(qiáng)的局部學(xué)習(xí)與全局泛化能力，能夠很好地對(duì)超快速鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行刻畫(huà)。

3)對(duì)比4種模型24 h鐘差預(yù)報(bào)的誤差曲線發(fā)現(xiàn)，RVM模型精度最高，誤差曲線最收斂，穩(wěn)定性最好?？梢?jiàn)EM算法優(yōu)化的RVM鐘差預(yù)報(bào)模型可更準(zhǔn)確地?cái)M合鐘差數(shù)據(jù)中的非線性特征，從而取得較好的超快速鐘差預(yù)報(bào)效果。

4)對(duì)于6 h、12 h和24 h預(yù)報(bào)，RVM模型預(yù)報(bào)BDS-3衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)的平均精度均優(yōu)于0.61 ns；與ISU-P、QP模型和SA模型相比，RVM模型預(yù)報(bào)24 h 的BDS-3衛(wèi)星鐘差精度分別提升了64.1%、50.0%、49.2%。

致謝：感謝iGMAS數(shù)據(jù)中心提供產(chǎn)品支持。