面向建模誤差PDF 形狀與趨勢擬合優(yōu)度的動態(tài)過程優(yōu)化建模

周 平 趙向志

實(shí)際復(fù)雜工業(yè)過程如高爐煉鐵過程、磨礦過程、造紙制漿過程、污水處理過程等,通常涉及復(fù)雜的物理化學(xué)反應(yīng),具有多變量、強(qiáng)耦合、非線性、大滯后等綜合復(fù)雜動態(tài)特性,利用傳統(tǒng)的物理化學(xué)等機(jī)理方法時,難以建立精確的數(shù)學(xué)模型[1?4].近年來,隨著大數(shù)據(jù)和人工智能技術(shù)的發(fā)展,對于難以進(jìn)行機(jī)理建模的工業(yè)過程,甚至缺乏機(jī)理模型的復(fù)雜工業(yè)系統(tǒng),數(shù)據(jù)驅(qū)動建模常被看作是一種非常有效的建模方法[1,4?5].目前,數(shù)據(jù)驅(qū)動建模主要采用人工智能技術(shù)或多元統(tǒng)計分析技術(shù)來描述過程輸入與輸出之間的復(fù)雜未知動態(tài)關(guān)系,在此基礎(chǔ)上建立具有一定結(jié)構(gòu)和適當(dāng)模型參數(shù)的過程數(shù)據(jù)模型.由于數(shù)據(jù)模型輸出與實(shí)際過程輸出之間存在一定的偏差,為了最優(yōu)化模型性能,通常需要采用相關(guān)算法來優(yōu)化關(guān)于建模誤差的性能指標(biāo),如均方根誤差(Root mean square error,RMSE)、均方差(MSE)及平均絕對誤差(Mean absolute error,MAE)等,以此獲得滿意的數(shù)據(jù)模型參數(shù)[6].

在實(shí)際工業(yè)過程建模時,單純的RMSE、MSE、MAE 等性能指標(biāo)均以最小化一維的統(tǒng)計建模誤差均值為目標(biāo),并不能完全描述和刻畫動態(tài)系統(tǒng)建模過程的隨機(jī)性和不確定性[6].在復(fù)雜工業(yè)過程中,外部不確定因素和隨機(jī)動態(tài)干擾往往具有非高斯特性,將其假設(shè)為高斯分布特征時,難以獲得滿意的建模效果[7].另一方面,復(fù)雜工業(yè)過程中,其建模誤差通常是一個未知的隨機(jī)變量,因而建模誤差在時空尺度上的二維概率密度函數(shù)(Probability density function,PDF)形狀分布能夠包含動態(tài)系統(tǒng)建模誤差的所有分布和統(tǒng)計信息.因此,誤差PDF 形狀優(yōu)化的思想受到了越來越廣泛的關(guān)注,并逐漸用于復(fù)雜工業(yè)過程的數(shù)據(jù)建模與控制中,如以非高斯動態(tài)系統(tǒng)PDF 形狀為目標(biāo)的隨機(jī)分布控制已成為解決隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)控制的非常有效的方法,得到了廣泛的應(yīng)用[7?8].近年,面向建模誤差PDF 形狀優(yōu)化的數(shù)據(jù)建模方法也逐漸引起重視.文獻(xiàn)[6]中,作為有界隨機(jī)分布系統(tǒng)建模與控制方法的擴(kuò)展,Zhou等將輸出PDF 控制或隨機(jī)分布控制思想引入到過程建模中.通過優(yōu)化建模誤差PDF 形狀,進(jìn)而對模型參數(shù)求解,使得實(shí)際建模誤差PDF 形狀接近設(shè)定的期望PDF 形狀[6].該方法不僅可以獲得較為滿意的建模效果,而且一定程度降低建模過程中的隨機(jī)性和不確定性.此外,文獻(xiàn)[9]通過優(yōu)化建模誤差PDF 形狀,建立了選礦過程精礦品位的最小支持向量機(jī)模型.而文獻(xiàn)[10]通過優(yōu)化建模誤差PDF 形狀,間接對模型參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié),建立了間歇過程的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.

上述方法均是期望實(shí)際模型的建模誤差PDF形狀更好地跟蹤期望的高斯分布形狀,以此建立具有最優(yōu)參數(shù)的過程數(shù)據(jù)模型.然而,不管是常規(guī)建模方法的誤差RMSE 指標(biāo),還是上述改進(jìn)方法提到的建模誤差PDF 指標(biāo),均僅僅體現(xiàn)過程模型輸出與實(shí)際輸出之間的誤差大小情況,難以衡量模型輸出與實(shí)際動態(tài)過程輸出之間擬合趨勢是否一致.實(shí)際上,實(shí)際工業(yè)動態(tài)系統(tǒng)中,過程輸出變化趨勢的估計和預(yù)測,對于基于模型的預(yù)測控制、生產(chǎn)過程運(yùn)行態(tài)勢的把握與調(diào)控等諸多工程應(yīng)用,都具有十分重要的作用.因此,在動態(tài)系統(tǒng)建模時,除了需要優(yōu)化建模誤差的PDF 形狀,同時也需要考慮建模輸出與樣本數(shù)據(jù)之間擬合趨勢最接近,即曲線擬合動態(tài)變化趨勢的相似度最大[11].

針對上述動態(tài)系統(tǒng)建模的實(shí)際需求和現(xiàn)有方法的不足,本文以小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Wavelet neural network,WNN)[12?13]數(shù)據(jù)建模為例,提出一種新型的面向建模誤差PDF 形狀與趨勢擬合優(yōu)度(相似度)多目標(biāo)優(yōu)化的動態(tài)系統(tǒng)數(shù)據(jù)建模方法.所提方法不僅引入二維尺度的PDF指標(biāo)來對動態(tài)建模誤差在時間和空間進(jìn)行全面刻畫,同時引入擬合優(yōu)度(相似度)指標(biāo)[11,14]刻畫動態(tài)系統(tǒng)數(shù)據(jù)建模的擬合趨勢.通過采用核密度估計(Kernel density estimation,KDE)[15?17]技術(shù)對實(shí)際建模誤差PDF 形狀進(jìn)行估計,以及采用NSGA-II 算法[18]對建模誤差PDF 形狀的偏差以及擬合優(yōu)度指標(biāo)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化,從而建立具有最優(yōu)模型參數(shù)的WNN 模型.數(shù)值仿真以及污水處理過程[19?20]數(shù)據(jù)驗(yàn)證表明所提方法的實(shí)際建模誤差PDF 能夠更好地逼近設(shè)定的期望PDF,并且模型輸出與樣本數(shù)據(jù)擬合趨勢接近.

1 建模思路與策略

1.1 WNN 簡介

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是結(jié)合小波分析與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一種前饋型網(wǎng)絡(luò).WNN 用小波函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)Sigmoid 函數(shù)作為激勵函數(shù),通過仿射變換建立起小波變換與網(wǎng)絡(luò)參數(shù)之間的連接,能以任意精度對函數(shù)進(jìn)行逼近[12?13].如圖1 所示,WNN 通常采用三層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),其中:x1,x2,···,xM為WNN 的輸入變量,y1,y2,···,yN為輸出變量,ωI,ji和ωH,lj分別是輸入層到隱含層的連接權(quán)值以及隱含層到輸出層的連接權(quán)值,θH,j,θO,l分別為隱含層和輸出層節(jié)點(diǎn)閾值,aj和bj分別為小波基函數(shù)的伸縮因子和平移因子.

圖1 WNN 結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of WNN

WNN 隱層激勵函數(shù)?(t) 通常采用如下的Morlet母小波函數(shù)[12]:

輸出層激勵函數(shù)f(t) 則采用Sigmoid 函數(shù),即:

此外,定義三層WNN 的輸入層、隱含層、輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為M,n和N,則隱含層第j個節(jié)點(diǎn)的輸入netj和輸出zj分別為:

式中,bj為小波基函數(shù)φ(t)的平移因子,aj為小波基函數(shù)的伸縮因子,φ(t) 為Morlet 母小波函數(shù),θH,j為隱含層節(jié)點(diǎn)的閾值,則WNN 的最終輸出為:

式中,θO,l為輸出層節(jié)點(diǎn)的閾值,函數(shù)f(·) 為輸出層 的激勵函數(shù).

1.2 建模策略

對于常規(guī)WNN 等現(xiàn)有多數(shù)建模方法,通常采用如下均方根誤差(RMSE)、均方差(MSE)、平均絕對誤差(MAE)等單一的誤差性能指標(biāo),通過性能指標(biāo)數(shù)值大小來評價建模精度.

然而,式(6)所示傳統(tǒng)性能指標(biāo)是從建模誤差的均值角度評價模型精度,并不能全面描述動態(tài)系統(tǒng)建模誤差在時空尺度上的隨機(jī)特性.此外,對于時序相關(guān)動態(tài)系統(tǒng)建模,運(yùn)行數(shù)據(jù)擬合趨勢的估計對于建模效果有很大影響,并且更有實(shí)際意義.而式(6)所示常規(guī)建模性能評價指標(biāo)僅希望建模輸出與實(shí)際數(shù)據(jù)之間偏差最小,卻難以描述動態(tài)系統(tǒng)的擬合趨勢好壞.

為了解決上述問題,本文以WNN 智能建模為基礎(chǔ),通過引入建模誤差概率密度函數(shù)(PDF)指標(biāo)從時空二維角度對建模誤差進(jìn)行全面刻畫,以及引入擬合優(yōu)度指標(biāo)對動態(tài)系統(tǒng)數(shù)據(jù)建模的擬合趨勢進(jìn)行相似性評估,從而提出圖2 所示的面向建模誤差PDF 形狀與趨勢擬合優(yōu)度的動態(tài)系統(tǒng)優(yōu)化建模方法,具體如下:

圖2 面向建模誤差PDF 形狀與趨勢擬合優(yōu)度的優(yōu)化建模策略Fig.2 Optimized modeling strategy towards modeling error PDF shape and goodness of fit

1)首先,構(gòu)建動態(tài)系統(tǒng)數(shù)據(jù)建模的實(shí)際建模誤差PDF 與期望建模誤差PDF 的偏差平方積分作為多目標(biāo)優(yōu)化計算的第一個評價指標(biāo),如下所示:

式中,Γ(e) 和 Γtarget(e) 分別為實(shí)際建模誤差PDF和期望建模誤差PDF.本文實(shí)際建模誤差PDF 是采用核密度估計技術(shù)對所建立數(shù)據(jù)模型的建模誤差序列進(jìn)行求解獲得,而期望建模誤差PDF 是設(shè)置的一個較為理想的(即均值為0、方差盡量小)高斯分布形狀的PDF,e為建模誤差PDF 的自變量.

2)其次,引入式(8)所示的擬合優(yōu)度指標(biāo)ρAB[11,14]對動態(tài)系統(tǒng)數(shù)據(jù)建模的動態(tài)擬合趨勢進(jìn)行相似性評估,然后構(gòu)建式(9)所示關(guān)于擬合優(yōu)度的性能指標(biāo)作為第二個評價指標(biāo).

式中,A,B為兩個數(shù)據(jù)矩陣,分別為數(shù)據(jù)矩陣A,B的均值.事實(shí)上,ρAB是衡量數(shù)據(jù)矩陣A 和B之間近似程度的量,|ρAB|→1 表示數(shù)據(jù)矩陣A 和B 之間相關(guān)性很強(qiáng),而|ρAB|→0 意味著數(shù)據(jù)矩陣A 和B 之間相關(guān)性較弱.由于本文要衡量建模輸出與實(shí)際輸出的時序相關(guān)數(shù)據(jù)之間的動態(tài)擬合趨勢,所以本文式(8)中A 和B 分別表示小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型輸出和實(shí)際過程輸出所構(gòu)成的時序相關(guān)數(shù)據(jù)矩陣.

3)最后,分別將式(8)和式(9)作為數(shù)據(jù)建模的綜合性能評價指標(biāo)的適應(yīng)度函數(shù),采用運(yùn)算速度快、解集收斂性好的NSGA-II 算法[11]來獲得WNN模型的最優(yōu)參數(shù)集 [ωI,ji,ωH,lj,aj,bj,θH,j,θO,l].

2 建模算法

所提方法的具體建模算法包括如下幾個過程:首先,采用式 (1)～(5) 所示算法構(gòu)建初始的WNN數(shù)據(jù)模型,通過比較WNN 數(shù)據(jù)模型輸出與過程輸出或者相應(yīng)的實(shí)際值,可以得到特定時間內(nèi)的建模誤差序列.然后,采用第3.1 節(jié)的核密度估計技術(shù)對實(shí)際建模誤差PDF 進(jìn)行計算.最后,采用NSGAII 算法優(yōu)化式(8)和式(9)所示的多目標(biāo)性能指標(biāo),獲得同時具有較好建模誤差PDF 形狀與擬合優(yōu)度值的多組WNN 模型參數(shù)集解.

2.1 建模誤差PDF 核密度估計

核密度估計(Kernel density estimation,KDE)是由Parzen 提出的一種非參數(shù)估計方法[15?17],用于求解給定隨機(jī)變量數(shù)據(jù)集合分布的概率密度函數(shù).假設(shè)xi∈R,i=1,···,n為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量數(shù)據(jù)集,其所服從的分布密度函數(shù)為f(x),x ∈R,則f(x)的核密度估計定義如下:

式中,窗寬hp是一個給定的正數(shù),?(x) 為核函數(shù),n為樣本數(shù).

對于所提建模方法,采用KDE 對建模誤差PDF進(jìn)行估計,可以得到估計的建模誤差概率密度函數(shù)Γe為:

式中,K為建模誤差樣本數(shù)目,通過設(shè)置期望的建模誤差PDF,可以構(gòu)造式(7)所示的性能指標(biāo).式(11)所示基于KDE 的WNN 實(shí)際建模誤差PDF估計求解步驟如下:

1)選擇核函數(shù):在估計隨機(jī)變量未知概率密度函數(shù)時,常用的核函數(shù)有高斯核函數(shù)、矩形窗核函數(shù)、Epanechnikov 核函數(shù)等.核函數(shù)的不同選擇在KDE 中不敏感,當(dāng)樣本數(shù)據(jù)很大時,對核函數(shù)密度估計的結(jié)果影響不大.本文選取高斯核函數(shù),其表式如下:

2)選擇窗寬:窗寬hp的選擇對核函數(shù)的密度估計起著局部光滑的作用,如果hp過大會使模型誤差PDF 形狀很光滑,使其主要部分的某些特征(如多峰性)被掩蓋起來,從而增加估計量的偏差;而若hp過小,則整個密度函數(shù)表現(xiàn)粗糙.本文基于正態(tài)參照規(guī)則方法[17]進(jìn)行窗寬選擇,假設(shè)建模誤差服從正態(tài)分布,則窗寬hp設(shè)置為hp=1.06σK?1/5其中σ由 min{s,Q/1.34}估計,s 表示樣本標(biāo)準(zhǔn)差,Q為四分位數(shù)間距.

3)求解模型誤差PDF:根據(jù)步驟1)和2)選擇合適窗函數(shù)和窗寬參數(shù),然后代入式(11),可以得到WNN 建模誤差PDF 函數(shù)的估計值為:

2.2 模型參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化求解

式(1)～(5)所示基本W(wǎng)NN 數(shù)據(jù)模型的參數(shù)主要包括:輸入層連接權(quán)值ωI,ji、隱含層連接權(quán)值ωH,lj、隱含層閾值θH,j、輸出層閾值θO,l、小波基函數(shù)的伸縮因子aj以及平移因子bj.這些參數(shù)的取值直接決定了WNN 數(shù)據(jù)模型的性能,因而基于前述構(gòu)建的多目標(biāo)建模性能指標(biāo),采用NSGA-II 算法對模型參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,步驟如下:

1)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的編碼.將WNN 模型參數(shù)集θWNN=[ωI,ji,ωH,lj,aj,bj,θH,j,θO,l]與每條染色體相對應(yīng),即對WNN 模型參數(shù)進(jìn)行如下形式的編碼:

式中,染色體基因數(shù)為S=(M+3)n+(n+1)N,P=[S1,S2,···,Si,···,SQ]T表示包含Q條染色體的初始種群.

2)個體適應(yīng)度計算.每條染色體中的各個基因分別代表WNN 的各個參數(shù),將第t代種群中第h條染色體上的各個基因代入下式的第t代、第h個個體多適應(yīng)度函數(shù)中:

3)選擇算子.根據(jù)非支配排序結(jié)果,選擇非支配排序中支配層較低的個體.如果有多個個體在同一支配層,從種群多樣性角度考慮,選擇擁擠度距離較大的個體.

4) 模擬二進(jìn)制交叉.基于實(shí)數(shù)編碼,交叉后代為父代的線性組合,即

5) 多項(xiàng)式變異.二進(jìn)制交叉后,進(jìn)行多項(xiàng)式變異,變異后的個體為:

采用NSGA-II 算法優(yōu)化WNN 模型參數(shù)時,每個待優(yōu)化的參數(shù)對應(yīng)染色體上的一個基因.在遺傳算法中,適應(yīng)度函數(shù)的選擇決定著遺傳優(yōu)化的精度和收斂速度.描述個體性能的指標(biāo)主要通過適應(yīng)度函數(shù)值體現(xiàn),依據(jù)適應(yīng)度值的大小對個體進(jìn)行優(yōu)勝劣汰.本文多目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)為實(shí)際建模誤差PDF與期望建模誤差PDF 之間的二維偏差平方和以及趨勢擬合優(yōu)度的倒數(shù),并通過基因之間的選擇、二進(jìn)制交叉、變異產(chǎn)生最優(yōu)個體即最優(yōu)模型參數(shù).

3 數(shù)值仿真及工業(yè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證

3.1 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證所提方法的有效性和優(yōu)越性,首先使用下述兩輸入一輸出非線性動態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證:

式中,y(0)=0.1,u(k) 為在區(qū)間(0,1)內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)序列,ω(k)為通過參數(shù)σ描述的、服從瑞利分布的非高斯隨機(jī)干擾序列.針對以上非線性系統(tǒng),利用提出的建模方法進(jìn)行建模,所要建立的WNN 數(shù)據(jù)模型可以表示為:

假設(shè)ω為隨機(jī)產(chǎn)生、服從瑞利分布且參數(shù)為0.2的非高斯干擾.WNN 隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)選擇為6,迭代優(yōu)化步長r為0.003.采用NSGA-II 算法對WNN 模型參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)時,交叉分布指數(shù)ηc=20,變異分布指數(shù)ηm=20,優(yōu)化變量的上限與下限分別設(shè)定為1 和?1,交叉率和突變率分別設(shè)為0.9 和0.1.

建模后,得到60 組Pareto 前沿解進(jìn)化過程如圖3 所示,而圖4 為60 組多目標(biāo)優(yōu)化解對應(yīng)的擬合優(yōu)度變化曲線,這里將所提方法與常規(guī)WNN 方法以及近年文獻(xiàn)[6]中提出的面向建模誤差PDF優(yōu)化的WNN 方法進(jìn)行比較.由于文獻(xiàn)[6]是采用梯度下降方法來優(yōu)化WNN 模型的建模誤差PDF,因而本文將其稱為GD-WNN.從圖4 可以看出,采用所提建模方法可以獲得具有較大動態(tài)變化趨勢擬合優(yōu)度的一組解集,這些解對應(yīng)的擬合優(yōu)度均遠(yuǎn)好于常規(guī)WNN 方法以及GD-WNN 方法.所提方法得到的解對應(yīng)的擬合優(yōu)度指標(biāo)最高達(dá)到0.96,而文獻(xiàn)[6]中方法的擬合優(yōu)度指標(biāo)僅為0.83,以及常規(guī)WNN 方法的擬合優(yōu)度指標(biāo)甚至僅為0.75.并且圖4還可以看出所提方法有39 組解的擬合優(yōu)化度指標(biāo)好于文獻(xiàn)[6]中方法得到的擬合優(yōu)度值.圖5 是圖3中1 到60 號解對應(yīng)的建模誤差PDF 曲線變化圖,可以看出60 號解對應(yīng)模型的建模誤差PDF 最好.圖6 為多目標(biāo)優(yōu)化后30 號解與60 號解的建模誤差PDF 曲線與其他兩種現(xiàn)有方法的建模誤差PDF曲線的對比圖,本文設(shè)置的期望PDF 為均值為0方差為0.25 的高斯型概率密度函數(shù).

圖3 Pareto 前沿解進(jìn)化過程Fig.3 Evolution process of Pareto front

圖4 不同優(yōu)化解對應(yīng)的擬合優(yōu)度值變化曲線Fig.4 Change curve of goodness of fit corresponding to different optimization solutions

圖5 不同優(yōu)化解對應(yīng)的建模誤差PDF 變化曲面Fig.5 PDF changing surface corresponding to different optimization solutions

圖6 不同方法建模誤差PDF 比較Fig.6 Comparison of modeling error PDF with different methods

可以看出,本文方法獲得的非最優(yōu)30 號解對應(yīng)的建模誤差PDF 曲線也要遠(yuǎn)好于常規(guī)WNN 方法和GD-WNN 方法.所提方法得到的建模誤差PDF 較高且較窄,與其他方法相比方差更小,即模型的隨機(jī)性和不確定性更小,這也表明所提方法的有效性和優(yōu)越性.圖7 和圖8 分別是本文方法中非最優(yōu)的30 號解對應(yīng)的建模效果和新樣本測試效果,可以看出所提方法得到非最優(yōu)解對應(yīng)的模型不論是建模和新樣本測試均好于其他兩種方法.

圖7 所提方法30 號優(yōu)化解對應(yīng)的建模效果Fig.7 Modeling result corresponding to the 30th optimization solution of the proposed method

圖8 所提方法30 號優(yōu)化解對應(yīng)的測試效果Fig.8 Testing result corresponding to the 30th optimization solution of the proposed method

3.2 活性污泥污水處理過程生化反應(yīng)池出水COD含量建模

目前,城市污水處理廣泛采用活性污泥法[3,19?22].圖9 為典型活性污泥污水處理的工藝流程圖,主要包括三個級別的處理過程.一級處理主要進(jìn)行物理反應(yīng),除去原生污水中的懸浮固體.二級處理過程包括曝氣池及二沉池處理兩個部分.曝氣池是污水處理的核心部分,主要進(jìn)行微生物自身的代謝活動,從而達(dá)到對污水中有機(jī)污染物如氮、磷的去除以及有氧生物的降解.

圖9 典型活性污泥法污水處理過程工藝流程圖Fig.9 Flow chart of a typical activated sludge wastewater treatment process

經(jīng)過曝氣池處理后的污水流入二沉池進(jìn)行固液分離,上層是澄清的液體,下層的污泥一部分回流至曝氣池,以維持曝氣池內(nèi)的污泥濃度,另一部分污泥排出系統(tǒng).經(jīng)過二級處理后的污水進(jìn)入三級處理過程,通過加入藥劑進(jìn)而得到達(dá)標(biāo)的出水.判斷水質(zhì)是否達(dá)標(biāo)主要通過水質(zhì)參數(shù)進(jìn)行衡量.在眾多水質(zhì)參數(shù)指標(biāo)中,出水COD 含量不僅代表污水中含有的有機(jī)物的量,同時還包括污水中還原性無機(jī)物被氧化時所消耗的氧氣量.COD 數(shù)值越小,在氧化過程中氧氣的消耗量就越少,即水體中有機(jī)物的量越少.因此,該指標(biāo)能夠反映有機(jī)污染物受納的程度,是非常重要的出水水質(zhì)指標(biāo).雖然目前有許多COD 含量的在線檢測儀,但是都存在檢測周期長、價格昂貴的問題.所以,通過基于數(shù)據(jù)的智能建模技術(shù)來預(yù)測曝氣池出水COD 含量對于判斷出水水質(zhì)是否達(dá)標(biāo)具有重要意義.

影響污水出水COD 含量的參數(shù)較多,包括:入水流量(Q)、入水化學(xué)需氧量(COD)、溶解氧濃度(DO)、污泥濃度(MLSS)、懸浮固體濃度(SS)、出水PH 值等.為此,根據(jù)過程機(jī)理分析,確定出水COD 預(yù)測建模的輸入變量為:入水COD、入水流量(Q)和污泥濃度(MLSS).為消除變量間的量綱影響,建模所用訓(xùn)練與測試數(shù)據(jù)都?xì)w一化處理.設(shè)定WNN 隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)為6,迭代優(yōu)化步長為0.003,得到的100 組多目標(biāo)優(yōu)化Pareto 前沿解如圖10 所示.圖11 和圖12 分別為100 組多目標(biāo)優(yōu)化解對應(yīng)的擬合優(yōu)度變化曲線和建模誤差PDF 變化曲線.同樣,這里也將所提方法與常規(guī)WNN 方法以及文獻(xiàn)[6]中的GD-WNN 方法進(jìn)行比較.可以看出,采用所提建模方法可以獲得具有較大動態(tài)趨勢擬合優(yōu)度的70 余組解,這些解對應(yīng)的擬合優(yōu)度均遠(yuǎn)好于常規(guī)WNN方法以及文獻(xiàn)[6]中的GD-WNN 方法,并且所提方法所得解的最優(yōu)擬合優(yōu)度已非常接近1.從圖12所有多目標(biāo)優(yōu)化解的建模誤差PDF 變化曲線可以看出,從第1 號解到第100 號解,建模誤差PDF 的形狀越來越窄而尖,并且越來越接近設(shè)定的理想PDF 形狀,即模型的隨機(jī)性和不確定性很小.

圖10 COD 含量建模Pareto 前沿進(jìn)化過程Fig.10 Pareto front evolution process of COD content modeling

圖11 不同優(yōu)化解對應(yīng)的擬合優(yōu)度值變化曲線Fig.11 Change curve of goodness of fit corresponding to different optimization solutions

圖12 不同優(yōu)化解對應(yīng)的COD 含量建模誤差PDF 變化曲面Fig.12 PDF changing surface of COD content modeling error corresponding to different optimization solutions

圖13 為50 號解與100 號解的建模誤差PDF曲線與其它方法的建模誤差PDF 曲線對比圖,這里設(shè)置的期望PDF 為均值為0 方差為0.3 的高斯型概率密度函數(shù).圖中可以看出,本文方法獲得的非最優(yōu)50 號解對應(yīng)的建模誤差PDF 形狀為窄而高的形狀,仍然遠(yuǎn)好于常規(guī)WNN 方法和GDWNN 方法.圖14 和圖15 分別是本文方法所得非最優(yōu)50 號解的建模效果以及對新樣本的測試效果,雖然是選取的本文方法的非最優(yōu)解,但是從圖中可以看出非最優(yōu)解的建模和新樣本測試效果均好于其他兩種對比方法.

圖13 不同方法COD 含量建模誤差PDF 比較Fig.13 PDF comparison of COD content modeling error with different methods

圖14 所提方法50 號優(yōu)化解對應(yīng)的COD 含量建模效果Fig.14 Modeling result of COD content corresponding to the 50th optimization solution of the proposed method

圖15 所提方法50 號優(yōu)化解對應(yīng)的COD 含量測試效果Fig.15 Testing result of COD content corresponding to the 50th optimization solution of the proposed method

4 結(jié)語

基于誤差最小的數(shù)據(jù)驅(qū)動工業(yè)系統(tǒng)建模時,通常基于單一的RMSE 等一維性能指標(biāo).但是RMSE等時間維度的一維性能指標(biāo)并不能充分體現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模的隨機(jī)性和不確定性.同時,對于傳統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)建模方法,并沒有考慮模型輸出和動態(tài)系統(tǒng)實(shí)際輸出之間的擬合趨勢.為此,本文基于數(shù)據(jù)驅(qū)動小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)智能建模、多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化以及核密度估計技術(shù),提出綜合考慮建模誤差PDF 形狀與趨勢擬合優(yōu)度的動態(tài)系統(tǒng)優(yōu)化建模方法.其中多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化的性能指標(biāo)分別為實(shí)際建模誤差PDF與期望建模誤差PDF 之間二維偏差平方、趨勢擬合優(yōu)度.仿真實(shí)驗(yàn)以及污水處理過程數(shù)據(jù)驗(yàn)證表明:相比于對比的兩種現(xiàn)有建模方法,所提方法不僅具有更好的建模精度和泛化能力,還可控制建模誤差的空間分布狀態(tài),使得所提方法的建模誤差PDF比傳統(tǒng)建模方法的建模誤差PDF 更高、更窄,即模型中含有的隨機(jī)性和不確定性更小.此外,所提方法還可以獲得一大類具有建模誤差PDF 形狀接近期望分布形狀,且模型輸出與實(shí)際輸出的趨勢擬合優(yōu)度值較大的數(shù)據(jù)模型參數(shù)解,因而具有更好的實(shí)用性.