鏈接史實(shí)故事 凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科育人功能

王瑩瑩 （安徽亳州利辛高級(jí)中學(xué)）

高中數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的教學(xué)策略是練習(xí)、復(fù)習(xí)、歸納和總結(jié)，訓(xùn)練了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和邏輯思維。應(yīng)在習(xí)題練習(xí)過程中，鏈接史實(shí)故事，幫助學(xué)生從人文觀角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，理解某些數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的歷史原因和背景，體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生高尚的數(shù)學(xué)情操，提升數(shù)學(xué)技能，當(dāng)遇到數(shù)學(xué)難題時(shí)，會(huì)結(jié)合故事背景進(jìn)行思維轉(zhuǎn)換，最終的目的是培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力，在美學(xué)中提升審美能力，結(jié)合現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展批判思維。

一、追溯概念發(fā)展，引導(dǎo)自主探究

高中數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，也是一門概念性很強(qiáng)的學(xué)科，掌握概念才能理解數(shù)學(xué)原理，追溯概念的發(fā)展歷程，才能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)文化產(chǎn)生興趣，愿意探究歷史并自主探究，在歷史的品鑒學(xué)習(xí)中，既掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)又學(xué)到了前人探索的經(jīng)驗(yàn)，凸顯了數(shù)學(xué)的育人功能。

16 世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾首先在《大術(shù)》中最虛數(shù)進(jìn)行記號(hào)，但僅僅是個(gè)形式表示。17 世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾正式提出“虛數(shù)”概念，并指出與“實(shí)數(shù)”相對(duì)應(yīng)，最初認(rèn)為是真實(shí)不存在的數(shù)字。直到19 世紀(jì)初，高斯系統(tǒng)地使用了i，并主張用a+bi 表示，虛數(shù)才開始進(jìn)入數(shù)學(xué)歷史。歐拉在很多地方都用了虛數(shù)，但又認(rèn)為是虛幻的數(shù)字，挪威測(cè)量學(xué)家維塞爾提出平面表示復(fù)數(shù)，高斯提出了復(fù)平面的概念，復(fù)數(shù)才開始在數(shù)學(xué)、水利、地圖乃至航空中得到應(yīng)用。所以，虛數(shù)的發(fā)展經(jīng)歷了朝代更替，幸好數(shù)學(xué)家們沒有放棄相應(yīng)的研究，后人在前人研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行了探究，最終促進(jìn)了現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展。請(qǐng)學(xué)生課后查閱資料，指出虛數(shù)在水利、地圖中的具體應(yīng)用，并發(fā)揮想象，指出現(xiàn)在科技中還存在的問題，評(píng)估可能的發(fā)展方向。

通過歷史追溯數(shù)學(xué)概念的發(fā)展歷程，讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)也是一項(xiàng)“科研項(xiàng)目”，是經(jīng)過了幾個(gè)世紀(jì)才有的比較系統(tǒng)化的知識(shí)。學(xué)生在自主探究過程中，可以領(lǐng)略前人追求真理的風(fēng)采，培養(yǎng)了獨(dú)立好學(xué)的精神。

二、理解數(shù)形結(jié)合，滲透融合思想

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中常用的思想之一，不管是數(shù)學(xué)計(jì)算思維培養(yǎng)還是邏輯思維驗(yàn)證，都起到了至關(guān)重要的作用，特別是函數(shù)解題和圖形標(biāo)識(shí)。沒有形，數(shù)學(xué)沒有直觀概念，沒有數(shù)，形沒有存在的意義和價(jià)值，那么，數(shù)形結(jié)合思想是如何傳承的，二者又是如何相互滲透的？

學(xué)習(xí)球體積的計(jì)算公式，中外很多人進(jìn)行了研究，南北朝時(shí)期，祖沖之父子獨(dú)立研究出了“祖暅原理”，祖暅在求球體積時(shí)，使用一個(gè)原理:“冪勢(shì)既同，則積不容異”?！皟纭笔墙孛娣e，“勢(shì)”是立體的高。意思是兩個(gè)同高的立體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等。更詳細(xì)點(diǎn)說就是，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)立體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)立體的體積相等。

劉徽為《九章算術(shù)》作注時(shí)指出，原書的說法有些是不正確的，只有“牟合方蓋”（垂直相交的兩個(gè)圓柱體的共同部分的體積）與球體積之比，才正好等于正方形與其內(nèi)切圓的面積之比。但劉徽沒有求出兩圓柱體垂直相交部分的體積公式，所以也就得不出球體積公式。祖沖之父子應(yīng)用“等高處橫截面積常相等的兩個(gè)立體，其體積也必然相等”這一原理，求出了“牟合方蓋”的體積。而球體體積等于π／4 乘以“牟合方蓋”體積，從而最終算出球體積。

所以，通過數(shù)形結(jié)合的方式，將形象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形有機(jī)地結(jié)合起來。使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，通過對(duì)圖形的處理，發(fā)揮直觀對(duì)抽象的支柱作用，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體抽象、表象的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，化難為易、化抽象為直觀。學(xué)生通過對(duì)數(shù)形結(jié)合歷史的認(rèn)知，理解古人的智慧，并產(chǎn)生強(qiáng)烈的民族自豪感。

三、挖掘美學(xué)內(nèi)涵，提升審美能力

高中數(shù)學(xué)不僅是一項(xiàng)邏輯思維課程，更是一項(xiàng)美學(xué)課程，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感受思維美和邏輯美，可以引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，突破學(xué)生的思維枷鎖，讓學(xué)生跳離煩瑣的公式計(jì)算和空間立體推理，在歷史故事的長(zhǎng)河中，看到數(shù)學(xué)家為了追求簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、奇異突變美所做的努力，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的形態(tài)美和思維嚴(yán)謹(jǐn)美，提升學(xué)生的邏輯審美能力。

學(xué)習(xí)等比數(shù)列時(shí)，教師引入黃金分割數(shù)列。該分割比例起源于畢達(dá)哥拉斯，據(jù)說在古希臘，有一天，畢達(dá)哥拉斯經(jīng)過鐵匠鋪，突然發(fā)現(xiàn)鐵匠打鐵的聲音非常悅耳，在駐足傾聽后，他把這個(gè)規(guī)律用數(shù)理的方式表達(dá)出來。其學(xué)派研究的正五邊形和正十邊形作圖被定義為初始黃金分割。學(xué)生都知道黃金分割比值約為1:0.618，這個(gè)數(shù)字在自然界和人們的生活中比較常見。人的肚臍是身高的黃金分割點(diǎn)，膝蓋又是肚臍到腳跟的黃金分割點(diǎn)。當(dāng)一個(gè)人的身材比例接近于黃金分割點(diǎn)時(shí)，會(huì)顯得整個(gè)人勻稱、美麗和大方。對(duì)于黃金分割數(shù)列，其數(shù)學(xué)表達(dá)形式為：0，1，1，2，3，5，8，13，21……需要特別指出的是，該數(shù)列有第0 項(xiàng)，為0，第1 項(xiàng)是1，要求學(xué)生觀察數(shù)列并回答兩個(gè)問題，數(shù)列中具體數(shù)字之間有什么聯(lián)系？為什么將其稱為黃金分割數(shù)列。學(xué)生進(jìn)行演算發(fā)現(xiàn)，從第二項(xiàng)開始，都是前兩項(xiàng)的和，而前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的比值逐漸接近于黃金分割比值，被稱為最具美感的數(shù)列。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中加入美學(xué)內(nèi)容，拓展了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬘?jì)算，開闊了學(xué)生的視野，幫助學(xué)生品位數(shù)學(xué)的美，同時(shí)加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提升了審美能力。

四、轉(zhuǎn)化經(jīng)典題目，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)

數(shù)學(xué)題目萬變不離其宗，通過轉(zhuǎn)化經(jīng)典的數(shù)學(xué)古題，向?qū)W生闡述古人的智慧，激發(fā)求知欲，將古題靈活用于現(xiàn)代式教學(xué)，挖掘思想精華，用于新題的思考，激活學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

楊輝三角，又被稱為賈憲三角或帕斯卡三角，用于解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律。與楊輝三角聯(lián)系最緊密的是二項(xiàng)式乘方展開式的系數(shù)規(guī)律，即二項(xiàng)式定理。請(qǐng)學(xué)生根據(jù)楊輝三角圖示進(jìn)行公式推導(dǎo)，提示，第三行中，三個(gè)數(shù)恰好對(duì)應(yīng)兩數(shù)的和的平方的展開式中每一項(xiàng)的系數(shù)，即(a+b)2=a2+2ab+b2，第四行中，每一個(gè)數(shù)有對(duì)應(yīng)的是兩個(gè)數(shù)和的立方展開式的系數(shù)，以此類推，向后的每一行都對(duì)應(yīng)了兩個(gè)數(shù)和的（n-1）次方展開式系數(shù)，學(xué)生很容易計(jì)算出第（n+1）行的計(jì)算公式。那么，三個(gè)數(shù)字的和是否有相似的規(guī)律？四個(gè)數(shù)字呢……

學(xué)生在一定思維的基礎(chǔ)上，結(jié)合數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)后續(xù)題目進(jìn)行總結(jié)計(jì)算，從而開發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，進(jìn)行數(shù)學(xué)命題的大膽猜測(cè)和驗(yàn)證，引導(dǎo)了學(xué)生正確的思維方向，學(xué)生在觀察過程中，闡述了自己的邏輯思維，豐富了想象，創(chuàng)新了數(shù)學(xué)計(jì)算方法，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)綜合能力的提高。

五、品鑒經(jīng)典悖論，發(fā)展批判思維

高中數(shù)學(xué)課標(biāo)要求學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和科學(xué)價(jià)值，理解應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，從數(shù)學(xué)歷史中獲得真知，在數(shù)學(xué)實(shí)踐中品鑒經(jīng)典，培養(yǎng)并發(fā)展學(xué)生的批判意識(shí)和批判思維，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義，樹立學(xué)生的辯證唯物主義觀。

極限函數(shù)有一個(gè)很經(jīng)典的問題，芝諾提出的“追龜說”。這個(gè)故事講的是阿喀琉斯追烏龜?shù)墓适?。阿喀琉斯是古希臘神話中有名的勇士，擅長(zhǎng)跑步和打仗，公元前5 世紀(jì)，芝諾提出讓烏龜先位于阿喀琉斯前面的1 千米處，二者賽跑，并假定阿喀琉斯的跑速是烏龜?shù)氖?。比賽開始，假設(shè)阿基里斯跑了1 千米，耗時(shí)t，此時(shí)烏龜領(lǐng)先100 米，當(dāng)阿喀琉斯跑完100 米，耗時(shí)t/10，烏龜在他前面10 米，繼續(xù)跑10 米，烏龜依然繼續(xù)領(lǐng)先，所以，無論該勇士如何跑，烏龜都在他前面，他只能無限接近烏龜，但永遠(yuǎn)追不上。這個(gè)結(jié)論正確么？學(xué)生指出存在的問題，因?yàn)榇蠹叶贾垃F(xiàn)實(shí)中有一種問題叫追擊問題，當(dāng)前者速度慢而后者速度快時(shí)，二者經(jīng)過一定的時(shí)間間隔后總會(huì)相遇。請(qǐng)學(xué)生思考，這兩個(gè)理論都是追擊問題，阿喀琉斯的問題出現(xiàn)在什么地方？如何反駁這個(gè)理論。學(xué)生發(fā)現(xiàn)追擊問題其實(shí)也是時(shí)間問題，在芝諾的追擊問題中，將一個(gè)固定的時(shí)間長(zhǎng)度進(jìn)行了無窮項(xiàng)的劃分，是數(shù)列{1000，100，10，1，0.1，···}的極限問題，引入極限的算法。那么跳出固定的時(shí)間長(zhǎng)度，即當(dāng)時(shí)間超過t 的間隔時(shí)，芝諾論還存在么？

通過引入經(jīng)典故事，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，通過引用經(jīng)典入數(shù)學(xué)課程，通過批判經(jīng)典，發(fā)展學(xué)生的批判思維，向?qū)W生展示不同的數(shù)學(xué)理論，指明相對(duì)和絕對(duì)區(qū)別，讓學(xué)生學(xué)會(huì)辯證地看待問題，思考問題。

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)課程中鏈接歷史故事，有助于活躍課堂氛圍，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)注入新的靈感，開動(dòng)思維。讓學(xué)生看到了數(shù)學(xué)的實(shí)用性和價(jià)值，不再單純著眼于數(shù)學(xué)使用的思維方式，而是站在藝術(shù)和教育的層面上看數(shù)學(xué)對(duì)于人類社會(huì)的意義，從而愿意學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并應(yīng)用數(shù)學(xué)。