例談勾股定理的逆定理在解題中的應用

陳曉燕

勾股定理是初中幾何中的一個重要定理，是直角三角形的性質(zhì)定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它在解題中有著廣泛的應用.靈活運用勾股定理的逆定理是判斷三角形的形狀，求邊長、角度以及求圖形面積的一種有效方法.

一、判斷三角形的形狀

勾股定理的逆定理：如果三角形三邊長 a ， b ， c滿足，那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊.利用勾股定理的逆定理可以直接判斷三角形是否是直角三角形.這是從邊的角度來判斷三角形形狀的方法.

例1

解：是等腰直角三角形.

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理和勾股定理的逆定理，根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到三角形三條邊之間的關系，再利用勾股定理的逆定理解題.

二、求線段的長

二在求邊長時，我們常常把所求的線段放在一個特殊的三角形中，如等邊三角形、等腰三角形、直角三角形等.當我們判斷出三角形是直角三角形之后，就可以利用垂直的有關定理或直角三角形的各種性質(zhì)去解題.

例2

解：

點評：此題考查勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理得出DA1AB，然后利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等求得線段長.

三、求角度

勾股定理的逆定理把數(shù)與形統(tǒng)一起來， 打破了證一個角是90。，只能靠角與角之間轉化的固定模式.當看到題目的已知條件中給出的是三角形的邊長或三邊的關系時，我們也可以考慮用勾股定理的逆定理來確定要求的角.

例3

分析：

解：

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，解題需正確作輔助線，把PA、PB、PC放在“一個三角形”中，進而構造出等邊三角形和直角三角形來解題.

四、求圖形的面積

利用勾股定理的逆定理求圖形面積，首先要證明該三角形為直角三角形，然后利用相關公式直接求解.如果所求圖形是不規(guī)則圖形時，則需作出適當?shù)妮o助線，將不規(guī)則圖形分割成面積可求部分及一個三邊已知的三角形，然后證得直角三角形求解.

例4

解：

點評：此題通過作輔助線證明三角形全等，求得邊長后，利用勾股定理的逆定理證明△ABE是直角三角形即可求解.

五、證明代數(shù)式

勾股定理的逆定理實際上是通過代數(shù)運算，把三角形中數(shù)的特征（疽+屏=凌）轉化為圖形的特征（有一個角為直角）.因此，我們在解答某些代數(shù)問題時，可先觀察代數(shù)式的特征， 挖掘代數(shù)式背后的幾何意義，并作出相應的圖形，從而將代數(shù)問題轉化成幾何問題來求解.

例5

分析：

解：

點評：本題考查了勾股定理的逆定理的應用.解此題的關鍵是根據(jù)條件構造直角三角形和其斜邊上的高.