基于“思辨”與“明理”的小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)
——“圓柱與圓錐的整理與復(fù)習(xí)”教學(xué)片段思考

林麗琴

（古田縣大橋中心小學(xué)，福建 古田 352259）

小學(xué)數(shù)學(xué)整理復(fù)習(xí)課在學(xué)習(xí)中起著承前啟后的重要作用，其目的除了鞏固知識(shí)以及時(shí)查缺補(bǔ)漏，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)梳理，提煉滲透數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)習(xí)能力。然而，面對(duì)相同的學(xué)生、熟悉的內(nèi)容，教師往往只是“炒冷飯式”的簡(jiǎn)單重復(fù)，或者以練代講，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率低下，影響了復(fù)習(xí)效果。復(fù)習(xí)課并不是對(duì)已學(xué)知識(shí)簡(jiǎn)單的重復(fù)與練習(xí)，而是要“通情”——對(duì)本單元知識(shí)進(jìn)行梳理與回顧的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確把握學(xué)生對(duì)本單元所學(xué)知識(shí)掌握程度的學(xué)情，形成對(duì)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化理解；更要“達(dá)理”——通過(guò)變式、逆向和綜合訓(xùn)練于實(shí)踐應(yīng)用中增進(jìn)對(duì)知識(shí)的理解，讓學(xué)生在課堂中通過(guò)“思辨”而達(dá)到“明理”，培養(yǎng)高階思維，獲得數(shù)學(xué)思想方法，提高解決綜合問題的能力。［1］

筆者以六年級(jí)下冊(cè)單元復(fù)習(xí)課“圓柱與圓錐的整理與復(fù)習(xí)”的教學(xué)為例進(jìn)行了一次探索和嘗試，力求打破傳統(tǒng)復(fù)習(xí)課的固有模式，利用任務(wù)驅(qū)動(dòng)激發(fā)學(xué)生的探究欲望，主動(dòng)尋求知識(shí)，探究問題，恰當(dāng)加入思辨與講理，促其“明理”，深化思維。

一、分類梳理，有理有據(jù)

學(xué)習(xí)立體圖形的基礎(chǔ)是準(zhǔn)確理解和掌握?qǐng)D形的概念和本質(zhì)屬性，如果在復(fù)習(xí)中只是把概念和圖形特征進(jìn)行簡(jiǎn)單回顧，學(xué)生對(duì)此必然興致全無(wú)。我們?cè)趶?fù)習(xí)中不妨換一種形式，用開放的問題，引導(dǎo)學(xué)生自主梳理單元知識(shí)并闡述分類依據(jù)，在“講理”中進(jìn)一步完善對(duì)圖形特征本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)，溝通圖形之間的聯(lián)系，達(dá)到以“理”促“聯(lián)”的境界，培養(yǎng)學(xué)生求同存異的思維和多角度思考問題的能力。

片段寫真：

師：你們覺得圖1 中哪個(gè)圖形可以與圓柱歸為一類？為什么？

圖1

生1：長(zhǎng)方體、正方體和圓柱體可以歸為一類。因?yàn)樗鼈兊捏w積計(jì)算方法一樣：體積＝底面積×高。

生2：它們的表面積公式也相同：表面積＝側(cè)面積+底面積×2。

生3：這三個(gè)圖形上下一樣大，都是直柱體。

師播放三個(gè)圖形的表面積展開圖，提示學(xué)生：你們還能找出它們的共同點(diǎn)嗎？

生4：它們的側(cè)面沿高展開都是長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于立體圖形的底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于立體圖形的高。

生5：也就是側(cè)面積都等于底面周長(zhǎng)×高。

師：你們都對(duì)直柱體進(jìn)行了全面的梳理，還可以怎么分類？

生6：可以把圓柱和圓錐歸為一類。因?yàn)榈鹊椎雀叩膱A錐體積是圓柱體積的。

師：還有別的理由嗎？

生7：它們的橫截面都是一個(gè)圓。都是通過(guò)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的。

思考：簡(jiǎn)短的梳理過(guò)程，以“為什么這么分？”這一開放性問題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，學(xué)生通過(guò)關(guān)系聯(lián)想，本單元的知識(shí)點(diǎn)被“激活”和“喚醒”，學(xué)生自主回顧了立體圖形的特征、計(jì)算公式、平面圖形的平移與旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，找出了知識(shí)間的共性。而分類后的說(shuō)理，讓學(xué)生從不同的角度闡述了分類的理由，結(jié)合立體圖形的特征，回溯求積公式的數(shù)學(xué)本源，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。學(xué)生在通“情”之后，實(shí)現(xiàn)了“達(dá)理”。接著教師播放展開圖，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)側(cè)面的共同點(diǎn)，加強(qiáng)了二維圖形和三維圖形之間的探究，進(jìn)一步打通了這幾個(gè)立體圖形的內(nèi)部關(guān)聯(lián)。在分類的過(guò)程中“思”之融會(huì)貫通，“言”之有理有據(jù)，完成了單元知識(shí)縱向橫向的結(jié)構(gòu)化。

二、有效變式，分條析理

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要學(xué)習(xí)知識(shí)間內(nèi)在關(guān)聯(lián)，更要關(guān)注數(shù)學(xué)與外部之間的聯(lián)系。教師要立足學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)和已有的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造性地把數(shù)學(xué)問題與生活情境巧妙融合，提出能激發(fā)學(xué)生從本質(zhì)上思考的問題，創(chuàng)設(shè)有效探索空間，從而產(chǎn)生把理論轉(zhuǎn)為實(shí)踐的需求，在解決問題的過(guò)程中，激活學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際從多方位、多側(cè)面、多角度去思考問題，立足生活經(jīng)驗(yàn)講理，促使學(xué)生積極分析評(píng)價(jià)他人，主動(dòng)與他人分享觀點(diǎn)，在思考、講理、辨析中促進(jìn)學(xué)生學(xué)以致用，深化認(rèn)識(shí)。

片段寫真：

師：看到這個(gè)圓柱體（如圖2），聯(lián)系生活實(shí)際，可以怎么對(duì)這個(gè)圓柱體進(jìn)行加工？

圖2

學(xué)生經(jīng)過(guò)思考討論，羅列出了許多“加工”方法，如切、拼、滾、挖、削、熔……

在充分引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圓柱進(jìn)行“加工”之后，讓學(xué)生獨(dú)立編題并列式，同桌相互批改。

接著出示一個(gè)同學(xué)的做法。（如圖3）：

圖3

生1：這個(gè)同學(xué)的做法是錯(cuò)誤的。把圓柱體熔成一個(gè)最大的圓錐，形狀改變了，體積是不變的，不用乘以三分之一。

師：你能夠用“變和不變”眼光來(lái)看問題，真棒。如果還這樣列式，可以提什么問題呢？

生2：把一個(gè)底面積30 平方分米，高是8 分米的圓柱體熔成三個(gè)同樣大的圓錐，每個(gè)圓錐的體積是多少？

生3：把一個(gè)底面積30 平方分米，高是8 分米的圓柱體削成一個(gè)最大的圓錐，圓錐體積是多少？

師：這個(gè)同學(xué)改變了“加工”方法，削出一個(gè)圓錐，體積就發(fā)生變化了。你們還能根據(jù)圓柱圓錐的關(guān)系改編這道題目嗎？

生4：把一個(gè)底面積30 平方分米，高是8 分米圓柱體熔成一個(gè)等底的圓錐，求圓錐的高是多少？

生5：把一個(gè)底面積30 平方分米，高是8 分米圓柱體熔成一個(gè)高是6 分米的圓錐，求圓錐的底面積是多少？

生6：用4 個(gè)這樣的圓柱，熔鑄成等底等高的圓錐，能熔幾個(gè)？

……

思考：這一環(huán)節(jié)以加工圓柱為基點(diǎn)，讓學(xué)生帶著逆向發(fā)散思維，帶著數(shù)學(xué)的眼光回歸生活，學(xué)生根據(jù)所學(xué)的內(nèi)容自己出題，并選擇對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)去解決問題，這樣解決問題不再是單純地模仿，機(jī)械地套用公式，而是對(duì)本單元的重難點(diǎn)進(jìn)行的一次全方位聚焦，必須明其“理”，才能編題、解題，可謂“窺一柱而思全局”。在編題的過(guò)程中，審題能力得到提高，并學(xué)會(huì)了用創(chuàng)編題目的“套路”去反推解題的思路，在自主編題、分析評(píng)價(jià)、反思總結(jié)的過(guò)程中不斷地把認(rèn)識(shí)和思考引向深入，使得課堂上的活動(dòng)不僅有情、有趣，更有理、有效。

三、運(yùn)用內(nèi)化，言之有理

復(fù)習(xí)課中，把知識(shí)內(nèi)化為學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑之一就是學(xué)以致用，以練習(xí)育思維，深化知識(shí)的運(yùn)用和內(nèi)化。在復(fù)習(xí)課中，要努力做到“講練結(jié)合”，即讓學(xué)生在動(dòng)腦、動(dòng)手的同時(shí)動(dòng)口，把課堂還給學(xué)生講理，從語(yǔ)言到思維，從知識(shí)到能力，從而促成分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造等高階思維能力的提升，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成溯源追根的數(shù)學(xué)精神。

片段寫真：

如下圖，把一個(gè)底面積是20 平方分米，高是6 分米的圓柱形木料，削成兩個(gè)完全一樣的圓錐體，并且每個(gè)圓錐的底面積與圓柱的底面積相等。削去部分木料的體積是多少立方分米?［2］

投影學(xué)生的作業(yè)，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)解題思路。

生1：我是用大圓柱的體積減去兩個(gè)小圓錐的體積。（如圖4）

圖4

接著教師呈現(xiàn)生2 的做法。（如圖5）

圖5

問：這個(gè)同學(xué)的做法你們有什么想說(shuō)的嗎？

生3：為什么20 乘以6，接著120 又除以6 等于20？

師：（問做題的學(xué)生）你能解釋一下嗎？

生2：把圓柱橫切成兩個(gè)一樣的小圓柱，每個(gè)小圓柱的體積是這個(gè)圓錐的三倍，也就是說(shuō)一個(gè)大圓柱里有6 個(gè)這樣的小圓錐。20×6 表示圓柱體積，120÷6 表示每個(gè)圓錐的體積。所以用20×（6-2）表示削去部分是4 個(gè)圓錐的體積。

師：你們聽懂了嗎？此20 非彼20，一個(gè)20 是圓柱體底面積，一個(gè)20 表示圓錐的體積。

在完成此題的基礎(chǔ)上教師繼續(xù)提出問題引發(fā)學(xué)生的深度思考。

師：如果我們還用這個(gè)圓柱削成兩個(gè)圓錐，圓錐的底面積與圓柱的底面積相等，但是高不同，削去部分體積是多少立方分米？請(qǐng)大家思考一下，可以同桌討論，把你們的思路寫下來(lái)。

（同桌交流后反饋）

圖6

生7：他用的是舉例法，我覺得還不夠全面。這只是一種情況。我是這樣想的（如圖7）

圖7

師：看這個(gè)同學(xué)的想法，他和前一個(gè)同學(xué)的說(shuō)理方法有什么不一樣的地方嗎？

生：這里h1 和h2 可以代表任何數(shù)，也說(shuō)明了不管怎么分，只要底面積一樣，兩個(gè)圓錐的高的和就是圓柱的高，那么體積之和肯定是圓柱體積的三分之一，那削去的部分就是三分之二。

師：真棒，你已經(jīng)有了數(shù)學(xué)家的思想。我們明白了其中的道理，就可以舉一反三，解決很多問題。

……

思考：這道習(xí)題融合了圓柱和圓錐體積之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)解題促進(jìn)學(xué)生對(duì)體積計(jì)算公式意義的深入理解。在課堂中，教師把握最佳時(shí)機(jī)，抓住問題本質(zhì)合理追問，當(dāng)學(xué)生理解了20×6×的意義時(shí)，教師趁勢(shì)追問“如果兩個(gè)圓錐的高不同，削去部分體積是多少”。學(xué)生在追問下思考，在思考后講理，在辨析中明理，在變化的“高”當(dāng)中，找到了不變的“理”，在“想明白”之余還要“說(shuō)清楚”，實(shí)現(xiàn)了有理有據(jù)地表達(dá)推理的過(guò)程，提升了對(duì)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

復(fù)習(xí)課中，讓學(xué)生溫故“情”而知新“理”，在講理中提升對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，在“思辨”中“明理”，把學(xué)生帶入“柳暗花明又一村”的暢快境界，讓思考走向深處，促進(jìn)學(xué)生高階思維發(fā)展。這不僅是復(fù)習(xí)課的使命所在，更是它的魅力。