小學數(shù)學教學中如何滲透數(shù)學思想和數(shù)學方法

劉穎

（河北省廊坊市永清縣龍虎莊鄉(xiāng)中心校，河北 廊坊 065600）

數(shù)學方法是用數(shù)學語言表達事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程，經(jīng)過推導、運算與分析，以形成解釋、判斷和預言的方法。而一般性數(shù)學方法作為數(shù)學方法的一種表現(xiàn)形式，與分類討論法、數(shù)學歸納法等特殊性數(shù)學方法相比，它更適用于普遍性、基礎性和一般性的數(shù)學應用領域，與小學生數(shù)學認知生活化、主體化、個性化的特點相符合，因此，我們在小學數(shù)學教學中應注重一般性數(shù)學方法的教學滲透，為學生有效地獲得數(shù)學知識、建構(gòu)數(shù)學認知、形成數(shù)學思想奠定基礎。一般性數(shù)學方法的常見類型有合情推理、數(shù)學抽象、數(shù)學化歸、數(shù)學模型、數(shù)形結(jié)合等。

一、合情推理——數(shù)學發(fā)現(xiàn)的基本方法

合情推理是根據(jù)已有事實和正確的結(jié)論、實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程。在解決問題的過程中，合情推理為猜測、探索提供思路。

（一）采用歸納法進行合情推理：歸納法是從個別事實概括出一般原理的推理方法。例如，在教學《圓的面積》時，教師首先呈現(xiàn)以下圖形供學生觀察后，設問：請根據(jù)圓與大、小正方形位置和大小的的關(guān)系，猜想圓面積的計算公式？

生1：圓的面積介于小正方形和大正方形之間。

生2：圓的面積介于2r2 和4r2 之間。

生3：估計是3r/2 左右。

（二）獲解原問題的方法。

（1）通過特殊值法實現(xiàn)化歸：“特殊值法”，就是求解一個較一般數(shù)學問題遇到困難時，先考慮這個問題的一種特殊情況，找出一種簡單情形進行解決，利用特例的結(jié)論再來求解一般問題。

例如：求解甲比乙多1/7，乙比甲少幾分之幾？

一般解：根據(jù)條件乙為1，甲為1+1/7；先求乙是甲的幾分之幾？1÷（1+1/7）=7/8；再求乙比甲少幾分之幾，即1—7/8=1/8。條件和問題中單位“1”發(fā)生變化，相應甲乙所對應的數(shù)值也隨之變化，學生解答時往往會產(chǎn)生混淆，容易出現(xiàn)計算錯誤。

化歸解：根據(jù)條件，先假設甲為8，乙為7；再求乙比甲少幾分之幾？（8-7）÷8。用特殊值法解，在始終把握基本數(shù)量關(guān)系的前提下，使得復雜的數(shù)據(jù)換算得以簡單化。

（2）通過語義轉(zhuǎn)換實現(xiàn)化歸：一個數(shù)學符號式子的最初意義或常用意義容易被固化，而在問題解決中，式子意義解釋的尋求和提取因環(huán)境而異，不同的問題環(huán)境會激活不同的意義解釋，不同的意義理解造成問題解決的不同思路和不同難度。

二、數(shù)學模型——一數(shù)學應用的基本方法

數(shù)學模型方法就是對所研究的問題構(gòu)造出相應的數(shù)學模型，通過對數(shù)學模型的研究來解決原型問題的方法。從廣義的觀點看，數(shù)學概念、性質(zhì)、法則、公式都是數(shù)學模型。從狹義的觀點看，解決小學數(shù)學中的具體的數(shù)學問題，特別是解答應用題都需要構(gòu)建數(shù)學模型來解決。

（一）數(shù)學概念（方法）的建立：數(shù)學概念建立或數(shù)學方法歸納的過程實質(zhì)就是建立數(shù)學數(shù)學模型的過程。學生通過操作、比較、歸納、分析和綜合，在對對象的各個屬性形成較為清晰的表象后，教師引導學生將這些對象屬性進行剖析，將對象的本質(zhì)屬性抽象出來，并將這種本質(zhì)屬性概括到同類事物當中去，于是就形成關(guān)于對象的數(shù)學屬性的基本模型。

（二）運用數(shù)學問題的解決：解決數(shù)學問題的關(guān)鍵步驟就是通過分析數(shù)量關(guān)系，把題中的實際問題抽象成一個純數(shù)學的關(guān)系結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)成數(shù)學模型，依據(jù)該數(shù)學模型固有的解決問題的策略進行運算。

三、數(shù)形結(jié)合——一數(shù)學理解的基本方法

數(shù)形結(jié)合是指將數(shù)（或量）與形（或圖）結(jié)合起來進行分析、研究、解決問題的一種思維策略，即根據(jù)問題的需要，把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)和特征來研究，或者把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題來研究，從而利用數(shù)形的辯證法和各自的優(yōu)勢，得到解決問題的方法。

（一）以形直觀的表達數(shù)：其實質(zhì)就是抽象對象或關(guān)系的“可視化”，將抽象的東西“原型化”，有利于利用形象思維和直觀思維。

借助“形”的直觀建立數(shù)學概念。由于概念的抽象與概括性，教學時要向?qū)W生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在數(shù)小棒、搭多邊形中認識整數(shù)，在等分圖形中認識分數(shù)、小數(shù)；利用交集圖理解公因數(shù)與公倍數(shù)，等等。借助“形”的操作形成數(shù)學規(guī)則。讓學生明確規(guī)則的合理性、理解其推導過程的意義，不僅僅在于理解算理，更重要的在于學會學習，實現(xiàn)過程性目標。而數(shù)形結(jié)合能降低思維難度，讓學生有信心和能力歸納出法則。

借助“形”的啟發(fā)獲得解題思路。借助圖形解題的最大優(yōu)勢是將抽象問題形象化。因為將數(shù)量信息反映在圖形上，能直觀表現(xiàn)數(shù)量間關(guān)系，從而獲得解題思路。尤其在解較復雜的應用題（如“種植株數(shù)”、“截斷”等）時，恰當選用線段圖、示意圖、集合圖等，是尋找解題途徑最有效的手段之一。

（二）以數(shù)精確地研究形：“形”具有形象直觀的優(yōu)勢，但也有其粗略和不便于表達的問題，需要以簡潔的數(shù)學描述、形式化的數(shù)學模型表達，才能使學生更準確地把握“形”的特征。

借助數(shù)學語言的描述認識圖形的特征。例如，教學《空間和方位》，教師引導學生掌握用東、南、西、北和東北、西北、東南、西南這些詞語描繪物體所在的方向，用方向、角度數(shù)和距離或數(shù)對來表示物體所在的位置，使學生認識到以數(shù)釋形的精確和周密。

借助數(shù)學運算的方式判斷圖形的性質(zhì)。例如，求解“周長相同的正方形、長方形和圓，哪個面積最大？哪個最??？”由于作圖困難，憑圖形直觀難以判斷，而通過設定特殊值作具體計算，圖形大小關(guān)系就比較容易判別了。