深空高速撞擊的變系數(shù)末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法

鄭惠欣，彭玉明，王 偉，謝 攀，陸 希，李海洋，陳 曉

（1. 上海衛(wèi)星工程研究所, 上海 201109；2. 上海市深空探測技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 201109）

引 言

近地小行星（Near-Earth Asteroid，NEA）為軌道與地球相交或相近的小行星[1]，現(xiàn)一般認(rèn)為與地球間的相對距離小于0.05 AU且直徑大于140 m的近地小行星會對地球構(gòu)成巨大威脅[2]，這類小行星被稱為“潛在危險小行星”（Potentially Hazardous Asteroid，PHA），撞擊地球后將會造成不可挽回的區(qū)域或全球規(guī)模危害，具體表現(xiàn)形式主要有：地震、海嘯、沖擊波、熱輻射等。

近百年來發(fā)生的較嚴(yán)重的小行星撞擊事故包括：通古斯大爆炸（1908年），一顆直徑50 m的小行星發(fā)生空爆，損毀的西伯利亞森林面積約2 000 km2[3]；車?yán)镅刨e斯克爆炸事件（2013年），一顆直徑約20 m的小行星在俄羅斯上空解體爆炸，由于事故發(fā)生在人類活動區(qū)，破壞性極大，造成了約1 500人受傷，3 000棟房屋受損[4]。小行星撞擊地球后會對人類的生存、生活構(gòu)成極大威脅，如何防止小行星撞擊地球事故的發(fā)生是防御任務(wù)的重點(diǎn)[5]。

目前，改變近地小行星軌道的防御手段主要可分為3種：施加長期作用力、動能撞擊及核爆炸[6]。其中，高速動能撞擊是現(xiàn)階段應(yīng)用最多、效果較好的一種方式，世界各國共設(shè)計(jì)了近20種面向不同目標(biāo)天體的撞擊器，如美國的“深度撞擊”（Deep Impact）任務(wù)）、俄羅斯的“火星96”（Mars 96）和日本的“月神A”（Luna A）等[7]。

深空高速撞擊任務(wù)的研究難點(diǎn)包括撞擊器與目標(biāo)的相對速度大、撞擊精度要求苛刻、攜帶燃料受限等，為了使撞擊器能夠順利完成任務(wù)，精確制導(dǎo)技術(shù)是決定任務(wù)成敗的關(guān)鍵因素。目前國內(nèi)外針對撞擊末制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)方法可分為兩大類：基于預(yù)測制導(dǎo)的制導(dǎo)方法和基于比例導(dǎo)引的制導(dǎo)方法[8]。

美國發(fā)射的Deep Impact撞擊器采用的是預(yù)測制導(dǎo)技術(shù)[9]，其基本思想是結(jié)合觀測信息，通過對撞擊器及目標(biāo)的動力學(xué)方程進(jìn)行軌道積分，實(shí)現(xiàn)對撞擊器的定軌，并估算當(dāng)前撞擊點(diǎn)。根據(jù)當(dāng)前撞擊點(diǎn)與期望撞擊點(diǎn)間的差值設(shè)計(jì)制導(dǎo)律，解算得到需用的速度增量及加速度指令。預(yù)測制導(dǎo)技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)是實(shí)施簡單，可直接得到所需的機(jī)動速度，缺點(diǎn)是需要預(yù)先給定撞擊器機(jī)動時刻[10]。Deep Impact任務(wù)在地面站進(jìn)行了大量蒙特卡羅仿真，預(yù)先給出了3次機(jī)動時間，機(jī)動時刻無法根據(jù)實(shí)際任務(wù)需求變化，帶來撞擊精度和燃料消耗間的矛盾：機(jī)動時刻越靠前，改變撞擊器軌道所需的燃料消耗越少；隨著撞擊器與目標(biāo)相對距離的減小，導(dǎo)航精度的增加會提高撞擊精度，但改變軌道所需的速度增量會變大。

國內(nèi)外學(xué)者后基于比例導(dǎo)引（Proportional Navigation Guidance law，PNG）針對撞擊末段設(shè)計(jì)了制導(dǎo)律，可無需地面事先確定機(jī)動時刻。純比例制導(dǎo)律（Pure Proportional Navigation Guidance law， PPNG）生成的加速度指令為連續(xù)變量，無法應(yīng)用于依靠脈沖發(fā)動機(jī)完成軌道機(jī)動的深空撞擊器。學(xué)者們對此進(jìn)行了一些改進(jìn)研究，包括：文獻(xiàn)[11]提出了一種針對衛(wèi)星攔截任務(wù)的比例導(dǎo)引法，在發(fā)射慣性坐標(biāo)系中利用目標(biāo)和攔截器的實(shí)時絕對狀態(tài)參數(shù)構(gòu)造相對運(yùn)動參數(shù)，計(jì)算推力矢量方向以達(dá)到抑制視線轉(zhuǎn)率的目的；在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[10]設(shè)計(jì)了一種視線制導(dǎo)律，引入B平面點(diǎn)位誤差橢圓以描述預(yù)測撞擊點(diǎn)的置信度，并將其轉(zhuǎn)換為對脈沖發(fā)動機(jī)開關(guān)機(jī)曲線的設(shè)計(jì)，可在節(jié)省燃料的同時提高撞擊精度；文獻(xiàn)[12]比較了PPNG、增廣比例導(dǎo)引（Augmented Proportional Navigation Guidance law，APNG）和預(yù)測制導(dǎo)3種算法在執(zhí)行同一撞擊任務(wù)時的撞擊精度、燃料消耗等。

上述研究中，目標(biāo)的加速度（目標(biāo)和撞擊器所受到的太陽引力差及目標(biāo)對撞擊器的引力作用）對撞擊效果的影響不是重點(diǎn)研究內(nèi)容，在初始相對距離較遠(yuǎn)或撞擊器與目標(biāo)相對速度很大的情況下，目標(biāo)的實(shí)際加速度會導(dǎo)致終端誤差增大，影響撞擊效果；同時，所設(shè)計(jì)的比例制導(dǎo)算法中全過程的比例系數(shù)為一固定常值，系數(shù)取值不同會使得生成的加速度指令大小變化，進(jìn)而影響所需的速度增量及燃料消耗。

基于對潛在危險小行星撞擊防御的任務(wù)需求進(jìn)行分析，本文提出了一種基于增廣比例導(dǎo)引的深空高速撞擊變系數(shù)末制導(dǎo)律，在撞擊器與目標(biāo)小行星初始距離較遠(yuǎn)、相對速度較大的場景下，考慮目標(biāo)運(yùn)動加速度，在保證抑制探測器與目標(biāo)視線旋轉(zhuǎn)的同時能根據(jù)目標(biāo)的運(yùn)動情況產(chǎn)生相對應(yīng)的加速度指令；考慮撞擊器在距離目標(biāo)越遠(yuǎn)的情況下進(jìn)行機(jī)動消耗燃料越少，基于增廣比例導(dǎo)引，將比例系數(shù)設(shè)計(jì)為相對距離的歸一化函數(shù)，控制視線旋轉(zhuǎn)速率，在減少終端制導(dǎo)誤差的前提下使點(diǎn)火時間更少、更靠前，節(jié)省燃料消耗；設(shè)計(jì)脈沖點(diǎn)火策略，將連續(xù)的加速度指令轉(zhuǎn)化為撞擊器可直接使用的脈沖加速度指令，無需事先給定撞擊器機(jī)動時刻。通過數(shù)值仿真，驗(yàn)證了所提出的算法能夠保證撞擊精度，在相對速度較大情況下使探測器順利完成撞擊任務(wù)；且對比了比例制導(dǎo)系數(shù)為定值的算法，證明了本文所提出的變系數(shù)制導(dǎo)方法能夠更節(jié)省燃料消耗。同時，為更貼近實(shí)際應(yīng)用場景，在仿真中考慮了多種誤差對算法制導(dǎo)精度的影響，通過蒙特卡洛結(jié)果證明算法在具有誤差情況下制導(dǎo)精度較高，具有工程應(yīng)用價值。

1 目標(biāo)及撞擊器動力學(xué)模型

本文以威脅度較大的近地小行星Bennu（編號101955）為預(yù)設(shè)目標(biāo)，推導(dǎo)設(shè)計(jì)基于增廣比例導(dǎo)引的深空高速撞擊變系數(shù)末制導(dǎo)律。

首先，在日心慣性坐標(biāo)系下建立目標(biāo)及撞擊器的動力學(xué)模型，目標(biāo)及撞擊器的幾何關(guān)系如圖1所示。

圖1 目標(biāo)及撞擊器幾何關(guān)系示意圖Fig. 1 Geometric relationship between target and impactor

圖1中坐標(biāo)系原點(diǎn)為太陽中心，由于目標(biāo)及撞擊器的大小與軌道半徑相比很小，因此將目標(biāo)與撞擊器均視為質(zhì)點(diǎn)。目標(biāo)受太陽引力作用運(yùn)動，撞擊器受到的被動外力包括太陽引力和目標(biāo)小行星引力，主動外力為有控發(fā)動機(jī)產(chǎn)生的推力，兩者的運(yùn)動方程可表示為

目標(biāo)及撞擊器的相對速度及太陽系中的絕對速度大小可由對應(yīng)的位置矢量大小微分得到

其中： Vx、Vy為撞擊器相對于目標(biāo)的相對速度在x、y 軸上的分量； Rx、Ry為撞擊器與目標(biāo)的相對位置矢量在 x 、y 軸上的分量；VSx、VSy、VTx、VTy分別為撞擊器和目標(biāo)在太陽系中的絕對速度分量；RSx、RSy、RTx、RTy分別為撞擊器和目標(biāo)相對太陽的位置矢量RS、RT在x 、 y軸上的分量。

對式（4）進(jìn)行微分，可得視線角隨時間的變化率

2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 深空高速撞擊變系數(shù)末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

比例導(dǎo)引算法是一種被廣泛應(yīng)用于尋的導(dǎo)彈制導(dǎo)領(lǐng)域的方法[13]，算法的基本思想為通過設(shè)計(jì)合理的法向加速度指令，使導(dǎo)彈速度矢量的旋轉(zhuǎn)角速度與彈目視線角的旋轉(zhuǎn)角速度成比例，從而達(dá)到抑制視線角速度的目的。

純比例導(dǎo)引律在目標(biāo)速度為常值且無加速度的前提下較為有效，針對非勻速運(yùn)動目標(biāo)，可利用APNG產(chǎn)生額外的加速度指令[14]，使軌跡更平緩光滑，且滿足撞擊精度要求。下面針對深空高速撞擊任務(wù)，參照文獻(xiàn)[12]推導(dǎo)變系數(shù)增廣比例末制導(dǎo)律。

按照比例導(dǎo)引律的基本思想，設(shè)計(jì)加速度指令使撞擊器的速度矢量旋轉(zhuǎn)與視線矢量旋轉(zhuǎn)成正比，可得

為滿足撞擊要求，在終端撞擊時刻，目標(biāo)與撞擊器的相對距離大小應(yīng)為0，即終端零控脫靶量（Zero Effort Miss，ZEM）應(yīng)為零（零控脫靶量的定義為在不對撞擊器施加控制指令的情況下，撞擊器與目標(biāo)沿各自運(yùn)動軌跡的最短相對距離大?。?。

在考慮目標(biāo)加速度的情況下，零控脫靶量可表示為

其中：前兩項(xiàng)為太陽引力作用于目標(biāo)的加速度分量，后兩項(xiàng)為引力作用于探測器的加速度分量。目前工程中較常用的獲得目標(biāo)加速度的方法為利用地面測定軌技術(shù)及星歷推算確定目標(biāo)的軌道及位置速度信息，進(jìn)而推算目標(biāo)加速度[1,10,15]，本文中的目標(biāo)加速度均為理論值。

增廣比例導(dǎo)引律的基本思想是在加速度指令中考慮由太陽引力引起的零控脫靶量，推導(dǎo)得控制量指令為

因此在利用基于比例導(dǎo)引的制導(dǎo)律求解具體問題時，怎樣合理地根據(jù)任務(wù)需要設(shè)定比例系數(shù)的大小是一個比例導(dǎo)引律應(yīng)用的開放問題。

相比傳統(tǒng)的尋的導(dǎo)彈制導(dǎo)任務(wù)，小行星高速撞擊防御的任務(wù)特點(diǎn)包括相對距離變化大、初始相對速度大，攜帶燃料有限、飛行時間長等，若在全過程應(yīng)用不變的常值比例系數(shù)，可能會導(dǎo)致額外的燃料消耗或無法滿足撞擊精度要求。本文考慮將比例系數(shù)設(shè)計(jì)為相對距離的歸一化冪函數(shù)，表達(dá)式為

所設(shè)計(jì)的比例系數(shù)函數(shù)在不同系數(shù)取值下的變化如圖2和圖3所示。

圖2 比例系數(shù)N隨k變化示意圖Fig. 2 Augmented Proportional Navigation coefficient varies under different k values

圖3 比例系數(shù)N隨N0變化示意圖Fig. 3 Augmented Proportional Navigation coefficient varies under different N0 values

從圖2中可以看出，所設(shè)計(jì)的歸一化冪函數(shù)隨相對距離變化單調(diào)遞增（隨時間變化單調(diào)遞減），即在撞擊任務(wù)的前期使用較大的比例系數(shù)進(jìn)行控制指令的生成，使得撞擊器的速度盡快“追上”相對視線角。

撞擊器在相對目標(biāo)距離較遠(yuǎn)時進(jìn)行機(jī)動更節(jié)省燃料，利用本文所提出的變系數(shù)制導(dǎo)方法，撞擊器距離目標(biāo)越近，取值越小，所計(jì)算的加速度指令也越小。通過合理設(shè)計(jì)歸一化冪函數(shù)，能夠在滿足撞擊精度的前提下節(jié)省燃料消耗，后續(xù)研究方向考慮最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)。

2.2 脈沖點(diǎn)火策略

利用2.1節(jié)提出的深空高速撞擊變系數(shù)末制導(dǎo)律生成的控制量指令為連續(xù)函數(shù)，深空撞擊器攜帶的脈沖發(fā)動機(jī)無法提供連續(xù)變化的推力。可利用施密特觸發(fā)器（Schmitt trigger）邏輯[13]來應(yīng)用制導(dǎo)指令，具體的操作流程如圖4所示。

圖4 脈沖點(diǎn)火策略邏輯Fig. 4 Flowchart of Schmitt trigger algorithm

1）輸入初始狀態(tài)量：目標(biāo)/撞擊器在日心坐標(biāo)系下的絕對/相對初始位置、速度大小，并計(jì)算得視線方向角及其變化率的初始值

2）以當(dāng)前時刻的目標(biāo)位置作為期望的撞擊點(diǎn)，利用2.1節(jié)提出的深空高速撞擊變系數(shù)末制導(dǎo)律，根據(jù)式（12）由當(dāng)前相對距離解算出的制導(dǎo)系數(shù)，代入式（11）計(jì)算得連續(xù)的加速度指令。

3）根據(jù)文獻(xiàn)[11]中的施密特觸發(fā)器邏輯，判斷當(dāng)前時刻連續(xù)的加速度指令是否處于開機(jī)區(qū)間內(nèi)，若是則令加速度指令等于脈沖發(fā)動機(jī)的工作加速度值，若不在開機(jī)區(qū)間內(nèi)，則當(dāng)前時刻脈沖發(fā)動機(jī)不工作。

4）將第3）步中得到的實(shí)際加速度指令代入探測器動力學(xué)，得到探測器當(dāng)前位置。

5）判斷當(dāng)前時刻探測器與目標(biāo)間的位置關(guān)系是否滿足撞擊精度要求，若不滿足則將當(dāng)前時刻狀態(tài)量值作為下一時刻的初始值，從步驟1）開始重復(fù)計(jì)算；若滿足約束則算法結(jié)束。

3 數(shù)學(xué)仿真與分析

3.1 目標(biāo)小行星Bennu

根據(jù)近地天體動態(tài)網(wǎng)站（NEODys）[16]對近地小行星危害程度（Risk List）的排序信息，小行星Bennu的危害程度被標(biāo)記為“特殊”（Special），且危害程度位居前三，其近地點(diǎn)距離地球的距離僅40萬km。

美國國家航空航天局（National Aeronautics and Space Administration，NASA）于2016年9月發(fā)射了OSIRIS-Rex（Origins Spectral Interpretation Resource Identification Security Regolith explorer）小行星探測器，目標(biāo)是小行星Bennu?？茖W(xué)家預(yù)計(jì)，在2 175—2199年，小行星Bennu有2 700分之一的概率與地球相撞，對地球存在極大的威脅。小行星的軌道信息如表1所示。

表1 小行星Bennu軌道信息Table 1 Orbit information of Asteroid Bennu

因此本文將以小行星Bennu作為防御撞擊對象進(jìn)行仿真分析，以驗(yàn)證算法在深空高速撞擊領(lǐng)域的有效性。

3.2 數(shù)值仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證本文所提出的深空高速撞擊變系數(shù)末制導(dǎo)律算法的性能，選取高危近地小行星Bennu為撞擊目標(biāo)，在MATLAB語言環(huán)境下采用4階Runge-Kutta數(shù)值積分器[17]進(jìn)行解算。具體的仿真參數(shù)如表2所示。

表2 仿真參數(shù)值Table 2 Simulation parameter value

仿真初始時刻小行星位于其近地點(diǎn)，為了更好地展示算法的有效性，設(shè)置初始的相對速度為初始相對距離為9.363 59×105km。

假設(shè)撞擊器在最后10 min時關(guān)閉推進(jìn)器進(jìn)行無控飛行。選取制導(dǎo)系數(shù) N0=8，k=2，在測量無誤差的情況下應(yīng)用本文提出的基于增廣比例導(dǎo)引的變系數(shù)末制導(dǎo)算法生成加速度指令，得到的目標(biāo)及撞擊器的運(yùn)動軌跡如圖5所示，相對距離變化如圖6所示。

圖5 目標(biāo)及撞擊器運(yùn)動軌跡圖Fig. 5 Trajectories of target and impactor

圖6 撞擊器與目標(biāo)相對距離變化曲線Fig. 6 Relative distance history between impactor and target

從圖6可看出，撞擊器在生成的制導(dǎo)指令控制下能夠成功完成撞擊任務(wù)，撞擊器和目標(biāo)間的相對距離由初始時刻的 9 .363 59×105km 減小為3 .53 m，撞擊精度較高。

本節(jié)還對比了采用本文所提出的變系數(shù)末制導(dǎo)算法和采用常系數(shù)末制導(dǎo)算法的結(jié)果，包括加速度指令、脈沖發(fā)動機(jī)工作情況、全過程所需速度增量及終端制導(dǎo)誤差值。

表3對比了3種情況下的脈沖發(fā)動機(jī)工作情況、完成撞擊任務(wù)所需的速度增量及撞擊精度，可以看出，使用本文所提出的算法合理設(shè)計(jì)比例系數(shù)函數(shù)，能夠在同等撞擊精度下有效減少發(fā)動機(jī)點(diǎn)火次數(shù)及完成撞擊任務(wù)所需的速度增量，減少能量消耗。

表3 變系數(shù)算法與常系數(shù)算法的任務(wù)結(jié)果對比Table 3 Task results comparison under different N value (the proposed method, N=3, N=8)

在3種不同的比例系數(shù)取值下的加速度指令曲線如圖7（本文所設(shè)計(jì)變系數(shù)算法）、圖8（常值N=3）、圖9（常值N=8）所示。

圖7 采用本文算法的加速度曲線Fig. 7 The acceleration history generated by the proposed algorithm

圖8 采用常值系數(shù)N=3的加速度曲線Fig. 8 The acceleration history generated under a constant parameter N=3

圖9 采用常值系數(shù)N=8的加速度曲線Fig. 9 The acceleration history generated under a constant parameter N=8

從3種結(jié)果的分析對比可得出，采用本文的變系數(shù)制導(dǎo)方法能夠有效減少脈沖發(fā)動機(jī)的開機(jī)次數(shù)，合理分配點(diǎn)火時刻并生成脈沖加速度曲線，避免因比例系數(shù)N取值不合適造成的在接近目標(biāo)階段的頻繁開關(guān)機(jī)。對比結(jié)果體現(xiàn)了本文變系數(shù)算法較定系數(shù)算法在制導(dǎo)性能方面的提升，更適合深空高速撞擊任務(wù)的工程實(shí)施。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證算法在實(shí)際應(yīng)用中的有效性，在考慮誤差的情況下進(jìn)行蒙特卡洛仿真，測量精度如表4所示，誤差源量值均為統(tǒng)計(jì)意義下參數(shù)。

表4 誤差源仿真參數(shù)Table 4 Parameters of all error source

圖10為2 000次蒙特卡洛仿真的撞擊誤差分布圖，采用本文的深空高速撞擊變系數(shù)末制導(dǎo)律算法的制導(dǎo)誤差均方差為83.40 m，最大值為269.07 m，能夠滿足撞擊目標(biāo)小行星Bennu的需求，總速度增量平均值為9.56 m/s，符合深空高速撞擊要求。

圖10 2 000次蒙特卡洛仿真撞擊誤差分布Fig. 10 2 000 Monte Carlo simulations of impact miss distance distribution

4 結(jié) 論

本文針對小行星高速撞擊任務(wù)相對速度大、撞擊精度要求苛刻、攜帶燃料受限的特點(diǎn)，提出了一種基于增廣比例導(dǎo)引的深空高速撞擊變系數(shù)末制導(dǎo)律。算法在動力學(xué)模型中考慮了目標(biāo)的運(yùn)動加速度，并通過分析機(jī)動時刻與撞擊精度、燃料消耗間的關(guān)系，將原常值比例系數(shù)設(shè)計(jì)為相對距離的歸一化冪函數(shù)，任務(wù)初期取值較大，隨著相對距離的減小，系數(shù)隨之減?。辉O(shè)計(jì)脈沖點(diǎn)火策略，將連續(xù)的加速度指令轉(zhuǎn)化為撞擊器可直接使用的脈沖加速度指令，無需事先給定撞擊器機(jī)動時刻。仿真算法以危害度排名前三的小行星Bennu為預(yù)設(shè)目標(biāo)，仿真結(jié)果展示了算法在考慮測量誤差情況下能保證撞擊精度，且通過與常值比例系數(shù)結(jié)果的對比，證明了本文算法能夠合理給出系數(shù)曲線，明顯減少發(fā)動機(jī)開機(jī)次數(shù)及所需速度增量，達(dá)到節(jié)省燃料消耗的目的，具有工程應(yīng)用的價值。