擴(kuò)張李代數(shù)Schr?dinger-Virasoro子代數(shù)生成元和一些李子代數(shù)冪零性

余 德 民， 柴 嘉 潞， 李 笛， 羅 德 仁， 吳 偉 才， 蔣 嬋

( 湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院， 湖南 岳陽(yáng) 414000 )

0 引 言

本文研究擴(kuò)張李代數(shù)Schr?dinger-Virasoro．這類李代數(shù)在數(shù)學(xué)和理論物理中尤其是共形理論和弦論中有非常重要的應(yīng)用．

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m

[Lm，Mn]=nMn+m

[Mm，Mn]=0

[Lm，Nn]=nNn+m

[Mm，Nn]=-2Mn+m

[Nm，Nn]=0

1 主要結(jié)果

定義1設(shè)由Li(?i∈Z)張成的子空間為h1．設(shè)L2、L-3生成的李代數(shù)記為[[L2，L-3]]．

由于

[L2，L-3]=-5L-1

[L2，L-1]=-3L1

[L-3，L1]=4L-2

[L-1，L1]=2L0

故L-3，L-2，L-1，L0，L1，L2∈[[L2，L-3]]．

稍作分析可得，L-3、L-2、L-1、L0、L1、L2能夠生成李代數(shù)h1，h1的最小生成元為2．

現(xiàn)在來(lái)考察3個(gè)自然基向量L6、L10、L-15，由于6、10、-15兩兩不互素，從而L6、L10、L-15任意兩個(gè)自然基向量不能生成李代數(shù)h1，但

[L6，L10]=4L16

[L16，L-15]=-31L1

稍作分析可得，3個(gè)自然基向量L6、L10、L-15能生成李代數(shù)h1．同理另外考察3個(gè)自然基向量L6、L14、L-21，由于6、14、-21兩兩不互素，從而L6、L14、L-21任意兩個(gè)自然基向量不能生成李代數(shù)h1，但

[L6，L14]=8L20

[L20，L-21]=-41L-1

稍作分析可得，3個(gè)自然基向量L6、L14、L-21能生成李代數(shù)h1．

定理1設(shè)3個(gè)自然基向量Li、Lj、Lm(?i，j，m∈Z)能夠生成李代數(shù)h1，則L-i、L-j、L-m也能夠生成李代數(shù)h1．

證明構(gòu)造滿足h1到h1的線性映射如下：

φ01：φ01(Li)=-L-i， ?i∈Z

φ01([Li，Lj])=[φ01(Li)，φ01(Lj)]，?i，j∈Z

φ01是h1到h1的同構(gòu)．Li、Lj、Lm(?i，j，m∈Z)能夠生成李代數(shù)h1，由于

φ01(Li)=-L-i

φ01(Lj)=-L-j

φ01(Lm)=-L-m

則L-i、L-j、L-m(?i，j，m∈Z)能夠生成李代數(shù)h1．

□

設(shè)由L0，L-2，L-4，L-6，…，L-2n，L-2n-2，L-2n-4，…張成的子空間為h12．h12也為g的李子代數(shù)．對(duì)任意L2m、L2n，?m≤0，n≤0，m∈Z，n∈Z不能李生成h12，用定理表述如下．

定理2?m≤0，m∈Z，n≤0，n∈Z，L2m、L2n不能李生成h12．

證明采用反證法，設(shè)L2m、L2n，?m<0，n<0，n∈Z，m∈Z能李生成h12．由于

[L2m，L2n]=2(n-m)L2(n+m)；m<0，n<0，n+m<0

必有

L0?[[L2m，L2n]]

從而m、n必有一個(gè)為0，假設(shè)m、n其中有一個(gè)為0，不妨假設(shè)n=0，則由于

[L0，L2m]=2mL2m

顯然

L2m-2?[[L2m，L0]]

從而矛盾．假設(shè)m、n都為0，則由于

[L0，L0]=0

顯然

L-2?[[L0，L0]]

從而矛盾．

□

定理3?m≤0，m∈Z，n≤0，n∈Z，k≤0，k∈Z，L2m、L2n、L2k能李生成h12，則{2m，2n，2k}={0，-2，-4}．

證明由于m、n、k都是非正整數(shù)，顯然m、n、k必有一個(gè)等于0，否則

L0?[[L2m，L2n，L2k]]

不妨設(shè)m=0，2n、2k必有一個(gè)等于-2，否則

L-2?[[L0，L2n，L2k]]

不妨設(shè)2n=-2，2k必等于-4，否則

L-4?[[L0，L-2，L2k]]

從而{2m，2n，2k}={0，-2，-4}，進(jìn)一步可以證明L0、L-2、L-4確實(shí)能夠李生成h12．

□

設(shè)由Mi(?i∈Z)張成的子空間為h2，h2是g的無(wú)限維交換子代數(shù)．

定理4h2無(wú)有限生成元．

證明采用反證法，設(shè)x1，x2，…，xn為其有限生成元，?i，j∈Z，

[Mi，Mj]=0

從而?i，j∈Z，

[xi，xj]=0

h2是無(wú)限維李代數(shù)，從而必存在x，使得x不能被x1，x2，…，xn線性表示，即x≠k1x1+k2x2+…+knxn，原命題成立．

□

設(shè)由Li、Mj(?i，j∈Z)張成的子空間為h4，h4是g的無(wú)限維非交換子代數(shù)．

定理5h5無(wú)有限生成元．

證明采用反證法，設(shè)y1，y2，…，yn為其有限生成元，由于

[Mm，Mn]=0

不妨設(shè)

yi=yi1+yi2；yi1∈h2，yi2∈h6

[yi，yj]=[yi1+yi2，yj1+yj2]=

[yi2，yj2]∈h2

而h6是無(wú)限維線性空間，從而必存在y，使得y不能被y1，y2，…，yn線性表示，即y≠k1y12+k2y22+…+knyn2．則y無(wú)法由y1，y2，…，yn李運(yùn)算生成，從而原命題成立．

□

則h5/h2也是李代數(shù)．

定理6商李代數(shù)h5/h2無(wú)有限生成元．

證明

由于

商李代數(shù)h5/h2為交換李代數(shù)，商李代數(shù)h5/h2為無(wú)限維交換李代數(shù)．商李代數(shù)h5/h2無(wú)有限生成元．

□

定理7h5為冪零李代數(shù)．

證明h5的李運(yùn)算如下：

由于

[Mm，Mn]=0

不妨設(shè)

yi=yi1+yi2；yi1∈h2，yi2∈h6

由于

[yi，yj]=[yi1+yi2，yj1+yj2]=

[yi2，yj2]∈h2

從而

又由于

從而h5為冪零李代數(shù)．

□

定理8g有有限生成元．g的生成元可為5．

證明g的李運(yùn)算如下：

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m

[Lm，Mn]=nMn+m

[Mm，Mn]=0

可知L2、L-3能夠生成h1，因?yàn)?/p>

[L-2+i，M2]=2Mi

[L-2+i，N2]=2Ni

若i≠7

若i=7，由于

則

若

□

定理9g不為可解李代數(shù)．

證明方法1：g的李運(yùn)算如下：

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m

[Lm，Mn]=nMn+m

[Mm，Mn]=0

[Lm，Nn]=nNn+m

[Mm，Nn]=-2Mn+m

[Nm，Nn]=0

由于

[L0，L6]=6L6

從而

L6∈[g，g]

由于

[L0，L-15]=-15L-15

從而

L-15∈[g，g]

由于

[L0，L10]=10L10

從而

L10∈[g，g]

[L6，L10]=4L16

[L-15，L16]=31L1

進(jìn)而

L1∈[g，g]

[L0，N2]=2N2

從而

N2∈[g，g]

由于

[L0，M2]=2M2

從而

M2∈[g，g]

由于

從而

進(jìn)而有

g(1)=[g，g]=g

g(2)=[g(1)，g(1)]=g

g(3)=[g(2)，g(2)]=g

?k∈Z+，g(k+1)=[g(k)，g(k)]=g

從而g不為可解李代數(shù)．

方法2：先證h1不可解

由于

[L2，L4]=L6

[L3，L7]=4L10

[L-12，L-3]=9L-15

則L6，L10，L-15∈[h1，h1]，而L6、L10、L-15能夠生成h1，故

h1=[h1，h1]

又

從而h1不可解．

反證，如果g可解，則h1也可解，出現(xiàn)矛盾．

□

2 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了擴(kuò)張Schr?dinger-Virasoro李代數(shù)的有限生成元、李代數(shù)的冪零和可解等結(jié)構(gòu)問(wèn)題．可以進(jìn)一步研究這類李代數(shù)的中心和理想，及其全部自同構(gòu)以及自同構(gòu)群等結(jié)構(gòu)問(wèn)題．并可繼續(xù)研究擴(kuò)張Schr?dinger-Virasoro李代數(shù)的表示．