廣義彼得森圖意大利控制數(shù)

高 紅， 黃 佳 歡， 尹 亞 男， 楊 元 生

( 1.大連海事大學(xué) 理學(xué)院， 遼寧 大連 116026；2.大連理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 遼寧 大連 116024 )

0 引 言

圖的羅馬控制[1]起源于古羅馬帝國(guó)的軍事防御問題[2]．公元4世紀(jì)，君士坦丁大帝為了保障帝國(guó)的安全在軍團(tuán)數(shù)量十分有限的情況下制定了部署和調(diào)動(dòng)軍隊(duì)的規(guī)則：(1)每個(gè)地區(qū)最多能部署兩組軍團(tuán)．(2)一個(gè)地區(qū)如果沒有駐軍，在其受到外來(lái)侵略時(shí)，相鄰地區(qū)必須能派出援軍．(3)一個(gè)地區(qū)必須擁有兩組軍團(tuán)才能派出一組軍團(tuán)去支援相鄰地區(qū)．如果一個(gè)地區(qū)部署0/1/2組軍團(tuán)，那么可以看成是將該點(diǎn)賦值為0/1/2．如果古羅馬帝國(guó)(圖G)中每個(gè)地區(qū)(頂點(diǎn))都對(duì)應(yīng)著一個(gè)數(shù)字——0、1或者2，于是，軍隊(duì)的部署方案可以看成是從圖G的頂點(diǎn)集合V到{0，1，2}的映射f，即f：V→{0，1，2}．根據(jù)部署規(guī)則，所有函數(shù)值為0的頂點(diǎn)其鄰域中至少有一個(gè)函數(shù)值為2的頂點(diǎn)，函數(shù)f稱為圖G上的羅馬控制函數(shù)．圖G中所有頂點(diǎn)函數(shù)值的總和稱為f的權(quán)重．羅馬控制函數(shù)權(quán)重的最小值稱為圖G的羅馬控制數(shù)，記為γR(G)．確定圖的羅馬控制數(shù)已成為學(xué)者們關(guān)注的熱點(diǎn)問題．

意大利控制[3]是羅馬控制的一種推廣，其定義如下．

圖的意大利控制也被稱為羅馬{2}-控制[4]或弱{2}-控制[5]．確定圖的意大利控制數(shù)是NP困難的，吸引了國(guó)內(nèi)外很多研究者的關(guān)注．文獻(xiàn)[3]研究了樹圖T的意大利控制數(shù)與經(jīng)典控制數(shù)之間的關(guān)系．文獻(xiàn)[6]研究了樹圖的意大利控制數(shù)，證明了樹圖意大利控制數(shù)與其2-彩虹控制數(shù)相等．文獻(xiàn)[5]確定了圈與圈的笛卡兒乘積圖Cn□C3和Cn□C4的意大利控制數(shù)．文獻(xiàn)[7]確定了Cn□C5的意大利控制數(shù)．文獻(xiàn)[8]確定了廣義彼得森圖P(n，3)的意大利控制數(shù)．文獻(xiàn)[9-12]研究了圖的全局意大利控制數(shù)、獨(dú)立意大利控制數(shù)、外獨(dú)立意大利控制數(shù)和完美意大利控制數(shù)．

本文研究廣義彼得森圖P(n，k)(k≥4)的意大利控制數(shù)．首先，根據(jù)廣義彼得森圖的特點(diǎn)構(gòu)造意大利控制函數(shù)．利用這些函數(shù)計(jì)算得到廣義彼得森圖P(n，k)(k≥4)的意大利控制數(shù)的上界．然后，結(jié)合前人給出的意大利控制數(shù)的下界，確定當(dāng)k≡2，3(mod 5)且n≡0(mod 5)時(shí)，P(n，k)(k≥4)意大利控制數(shù)的精確值．

1 廣義彼得森圖

廣義彼得森圖P(n，k)是一個(gè)有2n個(gè)頂點(diǎn)的3-正則圖，其頂點(diǎn)集合和邊的集合分別為

V(P(n，k))={vi|0≤i≤2n-1}，

E(P(n，k))={(vi，vi+1)，(vi，vi+2)|0≤i≤2n-1且i≡0(mod 2)，下標(biāo)對(duì)2n取模}∪

{(vi，vi+2k)|0≤i≤2n-1且i≡1(mod 2)，下標(biāo)對(duì)2n取模}

圖1(a)顯示的是彼得森圖P(9，4)．為了便于表示彼得森圖的意大利控制函數(shù)，本文將P(n，k)沿v0和v2n-2之間的半徑剪開，如圖1(b)所示．

(a) P(9，4)

(b) 剪開的P(9，4)

設(shè)f為廣義彼得森圖G上的意大利控制函數(shù)，則用下面的形式表示f：

例如，

表示P(9，4)上的意大利控制函數(shù)，其圖形如圖2所示．

圖2 彼得森圖P(9，4)上的意大利控制函數(shù)Fig.2 Italian domination function on Petersengraph P(9，4)

2 P(n，k)(k≥4)意大利控制數(shù)

2.1 P(n，k)(k≥4)意大利控制數(shù)的下界

P(n，k)是3-正則圖，所以Δ(P(n，k))=3，并且|V(G)|=2n，故由定理1可以得到推論1．

2.2 P(n，k)(k≥4)意大利控制數(shù)的上界

定理2若G=P(n，k)(k≥4)，則

證明

情況1k≡0(mod 5)．首先定義一個(gè)彼得森圖上的函數(shù)g：

情況1.1當(dāng)n≡0(mod 5k)時(shí)，構(gòu)造P(n，k)上的意大利控制函數(shù)f如下：

f(vi)=g(vi mod 10k)

此時(shí)，f的權(quán)重為

情況1.2當(dāng)n?0(mod 5k)時(shí)，構(gòu)造P(n，k)上的意大利控制函數(shù)f如下：

其中

(1)

h還可以表示為下面更直觀的形式：

此時(shí)，f的權(quán)重為

鄉(xiāng)村客棧和家庭旅館的建設(shè)也表現(xiàn)出不同的風(fēng)格和個(gè)性。鄉(xiāng)村的住宿風(fēng)格不僅有常見的形式，還包括磨坊客棧(Moulin Etape)和葡萄園旅舍(Grandes Etapes des Vignobles)等。法國(guó)所有的鄉(xiāng)村客棧和家庭旅館都會(huì)呈現(xiàn)出不同地區(qū)的濃厚地域文化風(fēng)情，具有鄉(xiāng)居情懷，讓過夜的旅客可以更好地融入本地的自然風(fēng)俗生活中。

w(f)=

(4×k5×4+4×k-55+5)×n-k5k+

k3×4=

情況2k≡1(mod 5)．定義彼得森圖上的函數(shù)g：

情況2.1當(dāng)n≡0(mod (3k+1))時(shí)，按照如下方式構(gòu)造意大利控制函數(shù)f：

f(vi)=g(vi mod (6k+2))

則f的權(quán)重為

情況2.2當(dāng)n?0(mod (3k+1))時(shí)，按照如下方式構(gòu)造意大利控制函數(shù)f：

其中，h(vi)按照情況1.2中式(1)定義，則f的權(quán)重為

w(f)=

(4×k-15×3+4)×n-k3k+1+

k3×4=4(n-k)(3k+2)5(3k+1)+4k+63

情況3k≡2，3(mod 5)．定義函數(shù)g如下：

情況3.1當(dāng)n≡0(mod 5)時(shí)，構(gòu)造意大利控制函數(shù)f(vi)=g(vi mod 10)，則f的權(quán)重為

情況3.2當(dāng)n?0(mod 5)時(shí)，構(gòu)造意大利控制函數(shù)f如下：

h(vi)按照情況1.2中式(1)定義，則f的權(quán)重為

w(f)=

4×n-k5+k3×4=

情況4k≡4(mod 5)．定義函數(shù)g如下：

情況4.1當(dāng)n≡0(mod 5k)時(shí)，令f(vi)=g(vi mod 10k)，則f的權(quán)重為

情況4.2當(dāng)n?0(mod 5k)時(shí)，令

其中，h(vi)按照情況1.2中式(1)定義，則f的權(quán)重為

w(f)=

(4×k+15+4×k-45×4+13)×n-k5k+

k3×4=4(n-k)(k+1/4)5k+4k+63

由推論1和定理2可以得到下面的定理．

定理3當(dāng)k≥4時(shí)，彼得森圖G=P(n，k)的意大利控制數(shù)或意大利控制數(shù)的界如下：

3 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了廣義彼得森圖P(n，k)(k≥4)的意大利控制數(shù)．根據(jù)圖形特點(diǎn)構(gòu)造了可遞推的意大利控制函數(shù)，利用函數(shù)計(jì)算得到了意大利控制數(shù)的上界．結(jié)合前人給出的意大利控制數(shù)的下界，確定了當(dāng)k≡2，3(mod 5)且n≡0(mod 5)時(shí)，P(n，k)(k≥4)的意大利控制數(shù)的精確值．對(duì)于其他情形下的彼得森圖，本文給出了意大利控制數(shù)的界．