七自由度模塊化機械臂工作空間優(yōu)化研究

鄭威特 楊陽 王大中 王琦 許凱元

摘要： 針對兩種長度相同構型不同的七自由度模塊化機械臂，研究其工作范圍的空間優(yōu)化問題。首先運用了DH法則進行手臂結構建模，得到了正運動學模型并分析了位姿變換矩陣;在模擬仿真軟件的基礎上，構造了雙臂的結構，利用蒙特卡羅方法求解了工作空間，并利用軟件繪制了兩種手臂構型的三維工作空間;最后利用數(shù)據(jù)指標對比分析兩種手臂構型的工作空間以及結構效率，比較了兩種機械臂構形的差異，獲得最優(yōu)構型，為進一步研究機械手最優(yōu)構型以及優(yōu)化工作空間奠定了基礎。

關鍵詞： DH法則; 蒙特卡洛法; 七自由度機械手;工作空間優(yōu)化; 三維仿真工作空間

中圖分類號：TP18? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2021）28-0144-05

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Research on Workspace Optimization of 7-DOF Modular Manipulator

ZHENG Wei-te， YANG Yang， WANG Da-zhong， WANG Qi， XU Kai-yuan

（Shanghai University of Engineering Science，Shanghai 201620， China）

Abstract： Aiming at two kinds of 7-DOF modular manipulators with the same length and different configurations， the space optimization of their working range is studied. Firstly， DH rule is used to model the arm structure， the forward kinematics model is obtained， and the pose transformation matrix is analyzed; Based on the simulation software， the structure of the two arms is constructed， the workspace is solved by Monte Carlo method， and the three-dimensional workspace of the two arm configurations is drawn by the software; finally， the workspace and structural efficiency of the two arm configurations are compared and analyzed by using the data index， and the differences between the two arm configurations are compared， so as to obtain the most efficient results The optimal configuration lays a foundation for the further study of the optimal configuration of manipulator and the optimization of workspace.

Key words： DH rule; monte carlo method; 7-DOF manipulator; workspace optimization; 3D simulation workspace

模塊化機械臂是以標準化模塊庫為基礎，可以根據(jù)具體不同的任務要求自定義裝配設計完成要求目標的自由構型機械臂。還可以針對模塊化機械臂構型數(shù)學表達、運動學、動力學、面向任務的構型優(yōu)化設計和軌跡規(guī)劃等問題。機械手的工作空間范圍既末端執(zhí)行器上能夠到達的所有點的集合。在機械手的設計和應用過程中，工作空間點云圖在優(yōu)化機械臂分析研究中起到了舉足輕重的地位，此外還需要對工作空間進行比對分析，例如機械手單位長度的空間體積和工作空間的靈活性等工作空間參數(shù)是衡量機械手工作能力的重要指標。

數(shù)值法、解析法和幾何法，這三種是比較常用的工作空間求解方法。第一種數(shù)值法相對另兩種方法較為實用及便捷，主要以極值理論為基礎，較為靈活并借助計算機運算能力以及可視化;解析法的求解過程比較復雜，涉及逆運動學等問題，在實際應用中不具有實用性;在解決三自由度以下的機械手的問題常采用幾何法，幾何法更簡單直觀。國內外研究人員也充分研究了求解機械臂工作空間，趙亞川等人分析傳統(tǒng)蒙特卡洛法在應對超冗余機械臂時存在的不足，引入基于k- NN（ k近鄰）的點云邊界提取方法，改善了蒙特卡洛法計算中存在的點分布不均、點云生成速度慢和點云邊界提取困難等問題，最后將改進的方法應用于蛇形機械臂的工作空間求解并證實其計算效率及實用價值;劉彥伯使用的方法是快速極坐標搜索法來對機器人的工作空間進行了分析[2];柯江巖等人[3]通過機器人正運動學建模，獲取運動云圖節(jié)點，提取分揀機器人復雜工作空間邊界曲線，根據(jù)邊界曲線中空間節(jié)點排列方式，給定性能優(yōu)化運動指標，求解機器人分揀行為逆運動學，得到求導與定義最優(yōu)組合解，確定機器人工作空間外界范圍曲線;葉鵬達等人[4]首先，結合矢量法與旋轉矩陣推導得出并聯(lián)機器人位置反解的全解析表達式，并在Mathematica中構建了并聯(lián)機器人虛擬樣機，通過算例仿真驗證了位置反解數(shù)學模型的正確性[1];然后，在考慮桿長約束的全解析位置反解的基礎上，采用有限離散法求得并聯(lián)機器人在三個不同位置的工作空間;魯凱等人[5]采用圓弧相交法求定姿態(tài)的工作空間，得到截面形狀，利用梯形積分法計算出工作空間體積;崔建昆等人[6]提出一種平面并聯(lián)機器人工作空間新的表達方法采用迭代搜索法，以運動方程逆解為判別式，進行工作空間的圓周式搜索，得到了全姿態(tài)工作空間的三維展示，并對其特性進行研究，在此基礎上，得到了在工作空間內無空腔的桿長到達工作空間的比值;Morteza Alebooyeh等人[7]利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡，使得其在一個可接受的置信區(qū)間內預測逆運動學解并利用神經(jīng)網(wǎng)絡工具箱在MATLAB平臺上建立數(shù)學模型，包括所有運動學模型，即機械手關節(jié)和連桿的物理結構，并進行可視化表示;Lucian Milicad等人提出了一種機器人幾何模型和工作空間傳感的新方法[8]，根據(jù)空間鏈閉合方程的一般方法，建立了空間鏈的正、逆幾何模型，將六維空間劃分為兩個三維空間，即平移空間和旋轉空間。根據(jù)設計初期的要求，通過特定的算法得到6D空間的二維橫截面和工作空間的直觀表示。最后，討論了三種分離方法與刀具在某一加工過程中所施加軌跡的關系。

本文主要針對相同長度下不同構型的七自由度機械臂進行優(yōu)化分析：a）進行運動學分析，并得到了運動學模型;b）對兩性結構的機械臂通過仿真建模軟件進行建模，為分析得出最優(yōu)結構，可運用蒙特卡洛法分別獲得兩機械手臂的可視化點云圖c）再采用各項指標分析判斷機械臂的優(yōu)缺點。

1 機械臂運動學模型分析

1.1機械臂模型及其坐標系

本文中出現(xiàn)的機械手是自行設計的兩種七自由度構型機械臂。圖1和圖2分別展示了兩種構型機械手的模型以及機械手構型對應的坐標系。

1.2 確定結構參數(shù)

本文分析研究的兩種機械臂均有七個旋轉關節(jié)，兩種結構的完整坐標系如圖2所示，且根據(jù)其構型特點，通過DH法則建立坐標系，將坐標原點分別設在構型1的關節(jié)1處以及構型2的關節(jié)2處，其對應的DH參數(shù)分別由表1和表2所示。

1.3位姿變換矩陣分析

連續(xù)連桿之間的坐標關系由圖3所示，顯示了連桿n-1和連桿n之間的坐標關系的轉換，關節(jié)n上方的坐標系首先需要繞軸[Zn-1]旋轉[θn]，接下來再沿軸[Zn-1]平移[dn]，其次再通過沿軸[xn]平移[an]，最后通過繞著軸[xn]旋轉[αn]完成這兩個關節(jié)坐標系之間的變換[9]。

在Zn-1軸的坐標變化可以被描述為式（1）：

[Tn-1n0=cosθn-sinθn00sinθncosθn00001dn0001]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

沿xn軸的坐標變換可以被描述為式（2）：

[Tn0n=100αn0cosαn-sinαn00-sinαncosαn00001]? ? ? ? ? ? ? ?（2）

則完整的位姿坐標變換矩陣可以視為式（1）和式（2）兩個坐標變換矩陣的疊加，如式（3）所示∶

[Tn-1n=Tn-1n0Tn0n=cosθn-sinθncosαnsinθnsinαnancosθnsinθncosθncosαn-cosθnsinαnansinθn0sinαncosαndn0001]

（3）

1.4 正運動學分析

機械手臂的正向標準運動學解就是機械手臂末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)的求解。由上文可知，已在D-H法則中建立了參數(shù)表和連桿坐標系，并推算出相鄰關節(jié)坐標系的變換矩陣。再將表1中的數(shù)據(jù)代入公式（3）即可獲得姿態(tài)變換矩陣。相對于基礎位置和機械手末端執(zhí)行器的姿態(tài)變換矩陣可以表示如下：

[T07=T01T12T23T34T45T56T67=nxoxaxpxnyoyaypynzozazpz0001]? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

式子（4）的第四列是位置向量在相對于坐標系的三維空間下的機械臂末端執(zhí)行器上的參考點。

其 中 ：[nx，ny，nz，ox，oy，oz，ax，ay，az，px，py，pz]是一組和關 節(jié) 變 量[θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6，θ7]有關的函數(shù)。且在[T07]基礎上建立了機械手的正運動學模型，并通過計算關節(jié)角度得到了機械手末端的姿態(tài)和位置。

2解析機械臂工作空間

在機械臂工作空間求解[10]中，手臂腕部位置的工作空間用如公式（5）表示：

[w=pxw（q1，...，q7）pyw（q1，...，q7）pzw（q1，...，q7）qmini≤qi≤qmaxi，i=1，2，...，7]? ? ? ? ? ? ? ?（5）

對于具有明確設計的機械手，通過廣義坐標[qi]確定工作空間，并能用關節(jié)變量[θi]定義廣義坐標[qi]。

2.1 機械臂機器人工具箱建模

依據(jù)建模軟件得出的兩種機械臂的模型對比分析圖，可以直接得出：兩種機械臂結構設計上的差異主要在關節(jié)1位置處和關節(jié)2位置處。

2.2蒙特卡洛法采樣機械臂

蒙特卡洛法[11]是一種借助于隨機抽樣來進行分析數(shù)學問題的一種數(shù)值方法。該方法會把某個隨機概率函數(shù)模型與需要解決問題的數(shù)學模型相結合，經(jīng)過仿真計算可以獲得隨機解，可以將得到的所有隨機解近似地認為是所需解決數(shù)學問題的全部解[11]。如下所示步驟為利用蒙特卡洛法來求解七自由度手臂構型的工作空間，分為四步：

1）機器人正向運動學模型被求解，確定了機器人末端參考點在坐標系中的位置方程。

2）在關節(jié)變量范圍內，利用Rand函數(shù)隨機求取關節(jié)變量值。

3）在運動學方程中，將步驟2中的關節(jié)變量替換為末端參考點的空間位置。

4）在三維圖中表示出末端參考點，形成機械臂工作空間云圖。

3 工作空間性能指標

本文采用兩種指標來評估比較機械臂的性能指標，分別是機械臂在單位長度的空間體積以及SLI指標。一般情況下，在相同長度的條件下，機械手的工作空間體積會隨著其設計的不同而變化。機械手的長度變化，工作空間也會隨之變化。所以，在初期設計機械手的時候就應該采用最優(yōu)構型，做到相同長度條件下，其所能達到的工作空間體積最大，避免后續(xù)的修改以及棄用，造成不必要的資源浪費。SLI是用來衡量機械臂柔性的數(shù)據(jù)指標，其公式（6） （7）如下所示，定義為：機械手連桿長度與臂端空間可達體積立方根的比值[12]。

[QL=LV3]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（6）

[L=i=1n（ai+di）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）

式子（6）中[ai]和[di]分別為連桿長度以及連桿偏置量; V是機械手的工作空間體積;L是機械手連桿總長度。一般來說，機械手的設計會隨著[QL]的數(shù)目減小而變優(yōu)。

由于機械手的長度直接決定了串聯(lián)機械手的工作空間，因此不能僅僅以機械手的工作空間作為衡量機械手性能的指標。本文采用機械臂在單位長度上工作空間體積作為評價機械臂工作空間大小的分析指標，即：

[E3=vi=1nli]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

其中，n 表示機械臂連桿的數(shù)目，[li]表示機械臂第 i 個連桿的長度。

4 手臂構型3D工作空間對比分析及仿真

4.1基于仿真軟件的工作空間仿真與分析

新增剖切視圖的分析與研究是很有必要的，因為對于機械臂的工作空間凡是通過蒙特卡洛法生成的只能進行針對機械手工作性能的初步判斷。此外，在以往的研究分析中，大部分工作性能分析都是通過三維模型圖的外部表面進行分析。但是內部仍然存在著空腔以及空洞，所以無法完全判斷其完整的工作性能。

本文通過使用隨機函數(shù)序列，在仿真軟件中取隨機數(shù)N=400000，得到七自由度機械臂工作空間。

之后在三維軟件中繪制其截面圖如圖7和圖8所示，由圖可得其精密工作空間體積。

4.2指標的對比分析

表3顯示了兩組數(shù)據(jù)的比較結果，結合式（6） （7）并且基于SLI[12]指標計算得出了兩種機械臂的值，由于其手臂在設計上的特殊性，本文僅研究臂型的腕部位置，在計算L值時會忽略[d6]。

由表3可得，兩種構型在長度配置相同的條件下，結構Ⅰ的工作空間體積明顯小于結構Ⅱ，且從[QL]值也可得，結構Ⅰ的靈活性是差于結構Ⅱ的，此外結構Ⅱ的單位空間體積遠大于結構Ⅰ，所以結構Ⅱ是較好構型。

5 結論

本文對兩種相同長度但構型不同的七自由度機械手進行了運動學分析，并利用建模軟件進行了仿真模擬，獲得其可視化點云圖，最后再通過各項指標對比分析以及三維空間剖切圖得出，手臂長度相同構型差異情況下，構型Ⅱ的單位空間體積大于構型Ⅰ，并且構型Ⅱ的靈活性優(yōu)于構型Ⅰ。本文主要為機械手的工作空間提供了優(yōu)化分析，旨在改善機械手結構效率以及增大工作空間達到最優(yōu)構型研究奠定了基礎。

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【通聯(lián)編輯：唐一東】