雪球式期權(quán)買方收益分析

王慎敏

摘 要：本文主要站在雪球式期權(quán)買方的角度對(duì)其收益進(jìn)行分析。首先介紹了如何通過(guò)隨機(jī)過(guò)程和蒙特卡洛模擬對(duì)雪球式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，然后通過(guò)蒙特卡洛模擬買方的收益分布，對(duì)其盈虧概率進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)買方盈利的概率是大于虧損的概率的，但是其在虧損情形下虧損的均值要大于盈利情形下盈利的均值。同時(shí)回測(cè)近5年連續(xù)持有同一雪球標(biāo)的收益曲線，發(fā)現(xiàn)買方在歷史上連續(xù)買入指數(shù)雪球式期權(quán)并不能獲得超過(guò)指數(shù)的收益。將買入雪球期權(quán)和香草期權(quán)進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)雪球式期權(quán)可以在震蕩行情中獲得更高的收益。

關(guān)鍵詞：雪球期權(quán);蒙特卡洛模擬;隨機(jī)過(guò)程

中圖分類號(hào)：F23 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2021.36.074

0 引言

隨著國(guó)內(nèi)期權(quán)市場(chǎng)的發(fā)展，普通的香草期權(quán)早已被廣大投資者所熟知。奇異期權(quán)則是由普通期權(quán)衍生出來(lái)的復(fù)雜期權(quán)，其有著各種復(fù)雜的收益結(jié)構(gòu)，可以滿足買方的不同投資需求。比較常見的奇異期權(quán)有亞式期權(quán)、障礙期權(quán)、彩虹期權(quán)等。而雪球期權(quán)作為奇異期權(quán)的一種，是一種多條件的障礙期權(quán)，在國(guó)內(nèi)出現(xiàn)的時(shí)間相對(duì)較晚，大家對(duì)其認(rèn)識(shí)還比較有限，而近幾年來(lái)，以雪球式期權(quán)為代表的奇異期權(quán)的交易規(guī)模在逐年上升，因此對(duì)奇異期權(quán)進(jìn)行研究與推廣有著重要意義。

1 雪球期權(quán)介紹

雪球期權(quán)是一種帶有自動(dòng)贖回機(jī)制的雙邊障礙期權(quán)，買方在持有某標(biāo)的看漲觀點(diǎn)同時(shí)，提供一定程度下跌保護(hù)，其具有以下機(jī)制。

（1）向上敲出機(jī)制。存續(xù)期間月度觀察，每月固定觀察日標(biāo)的收盤價(jià)，若該收盤價(jià)≥月觀察收益價(jià)，則該月可獲得收益;若該收盤價(jià)≥月觀察自動(dòng)贖回價(jià)，產(chǎn)品自動(dòng)贖回，返還本金，計(jì)算累計(jì)收益。

（2）向下敲入機(jī)制。存續(xù)期間日度觀察，若相應(yīng)標(biāo)的收盤價(jià)從未下跌到約定敲入水平，不會(huì)面臨投資損失。若相應(yīng)標(biāo)的收盤價(jià)曾下跌到約定敲入水平，到期可能承擔(dān)投資損失。

假設(shè)如下的雪球式期權(quán)：固定年化利息為16.18%，周期為6個(gè)月，敲入價(jià)格為80%，敲出價(jià)格為103%，則主要有三個(gè)最終收益情景：

情景1：標(biāo)的股票每日收盤價(jià)曾低于80%;第五個(gè)月度觀察日高于103%;存續(xù)月份=5個(gè)月;投資人收益率=5*16.18%/12=6.74%（年化16.18%）。

情景2：標(biāo)的股票每日收盤價(jià)未曾低于80%;月度觀察日從未高于103%;存續(xù)月份=6個(gè)月;投資人收益率=16.18%（年化）。

情景3：標(biāo)的股票每日收盤價(jià)曾低于80%;月度觀察日從未高于103%;到期標(biāo)的跌幅10%;存續(xù)月份=6個(gè)月;投資人收益率=-20%（年化）。

2 雪球式期權(quán)定價(jià)方法

奇異期權(quán)主要有兩種定價(jià)方法，方法一是理論定價(jià)，通過(guò)數(shù)學(xué)上的嚴(yán)密推導(dǎo)，求解理論封閉解析解;方法二是數(shù)值定價(jià)，通過(guò)重復(fù)大量的模擬計(jì)算，對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行收斂，求解數(shù)值解。

隨著各種奇異期權(quán)的復(fù)雜程度不斷提高，通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)理論封閉解的方式越來(lái)越復(fù)雜，并且在計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域還沒有解決高緯正態(tài)分布積分的有效解法，許多奇異期權(quán)并沒有封閉解析解。而數(shù)值定價(jià)可以對(duì)這些奇異期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，在眾多數(shù)值定價(jià)方法中，Monte Carlo模擬法是最常用的一種方法。

股價(jià)的變化在理論上是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，其可以用伊藤定理來(lái)描述：

根據(jù)模擬結(jié)果，該雪球式期權(quán)在第一個(gè)月大于敲出價(jià)觸發(fā)自動(dòng)贖回的概率最高，概率為30%，接下來(lái)的幾個(gè)月自動(dòng)贖回概率逐漸下降，第五個(gè)月達(dá)到最低（4%）。但是其第6個(gè)月到期結(jié)算的概率為第二高，概率為17%。與此同時(shí)，該結(jié)構(gòu)有24%的概率到期虧損，其中平均虧損約為15%，最大虧損高達(dá)46%。作為雪球式期權(quán)的買方，雖然其盈利的概率比虧損的概率高52%，但是其在虧損情形下虧損的均值和極值都高于盈利的情形。

3.1.2 調(diào)低敲入價(jià)格至80%，選取掛鉤滬深300指數(shù)的雪球式期權(quán)

固定年化利息為8.1%，周期為6個(gè)月，敲入價(jià)格為80%，敲出價(jià)格為103%，隱含波動(dòng)率為0.2。

采用蒙特卡洛模擬法模擬300000次持有該雪球期權(quán)的到期收益，刻畫收益分布。

根據(jù)模擬結(jié)果，該雪球式期權(quán)在第一個(gè)月大于敲出價(jià)觸發(fā)自動(dòng)贖回的概率第二高，概率為28%，接下來(lái)的幾個(gè)月自動(dòng)贖回概率逐漸下降，第五個(gè)月達(dá)到最低（12%）。但是其第6個(gè)月到期結(jié)算的概率為最高，概率為31%。主要原因是選取的隱含波動(dòng)率為0.2，并不是很高，標(biāo)的在隱含波動(dòng)率下6個(gè)月內(nèi)跌20%的概率并不高，因此該雪球式期權(quán)持續(xù)到期的概率較大。與此同時(shí)，該結(jié)構(gòu)有10%的概率到期虧損，其中平均虧損約為20%，最大虧損高達(dá)48%。作為雪球式期權(quán)的買方，雖然其盈利的概率比虧損的概率高80%，但是其在盈利情形下的利潤(rùn)較低，且在虧損情形下虧損的均值和極值都高于盈利的情形。

3.1.3 周期延長(zhǎng)，并下調(diào)敲入價(jià)格，選取掛鉤滬深300指數(shù)的雪球式期權(quán)

固定年化利息為13%，周期為12個(gè)月，敲入價(jià)格為80%，敲出價(jià)格為103%，隱含波動(dòng)率為0.2。采用蒙特卡洛模擬法模擬300000次持有該雪球期權(quán)的到期收益，刻畫收益分布。

根據(jù)模擬結(jié)果，該雪球式期權(quán)在第一個(gè)月大于敲出價(jià)觸發(fā)自動(dòng)贖回的概率最高，概率為21%，第二個(gè)月敲出的概率為10%，接下來(lái)的幾個(gè)月自動(dòng)贖回概率逐漸下降，第十一個(gè)月達(dá)到最低（1%）。但是其第十二個(gè)月到期結(jié)算的概率為第三高，概率為9%。與此同時(shí)，該結(jié)構(gòu)有17%的概率到期虧損，其中平均虧損約為20%，最大虧損高達(dá)57%。

對(duì)比以上3個(gè)例子，下調(diào)敲入價(jià)格后的到期虧損概率由例一的24%下降了14%至例二的10%，繼續(xù)延長(zhǎng)周期后，到期虧損又增加7%至17%。

作為雪球式期權(quán)的買方，雖然其盈利的概率比虧損的概率高50%以上，但是其在虧損情形下虧損的均值和極值都高于盈利的情形。如果為了降低到期虧損的概率，可優(yōu)先選擇購(gòu)買期限較短或敲入價(jià)格較低的結(jié)構(gòu)。

3.2 長(zhǎng)期持有雪球式期權(quán)收益回測(cè)

假設(shè)買方從2010年1月到2020年7月長(zhǎng)期持有掛鉤滬深300指數(shù)的雪球期權(quán)。

以2010年1月最后1日收盤價(jià)為建倉(cāng)價(jià)，每月最后1日收盤進(jìn)行觀察，如果大于敲出價(jià)，自動(dòng)贖回后再以收盤價(jià)進(jìn)行建倉(cāng)，如果小于敲出價(jià)就繼續(xù)持有。一直循環(huán)到2020年7月31日。在回測(cè)中，若沒有敲入則按月累加年化收益，若敲入在在到期日計(jì)提虧損。

買方的收益曲線如圖5。

從2010年1月到2020年7月，持有以滬深300為標(biāo)的的雪球期權(quán)和持有滬深300指數(shù)的累計(jì)收益分別為4.6%和15.2%，持有滬深300指數(shù)的收益比持有雪球期權(quán)的收益高10%左右。雪球在指數(shù)上漲或者小幅震蕩階段可以獲得固定的利息，但是在指數(shù)大幅下跌的階段會(huì)產(chǎn)生等同于指數(shù)跌幅的虧損，長(zhǎng)期來(lái)看并不能跑贏指數(shù)。

4 雪球期權(quán)價(jià)格曲線

作為雪球期權(quán)的買方，如果其在同時(shí)持有某標(biāo)的的現(xiàn)貨以及該標(biāo)的雪球式期權(quán)，其收益曲線如下：

固定年化利息為16.38%，周期為6個(gè)月，敲入價(jià)格為85%，敲出價(jià)格為103%，持有1個(gè)月的曲線如圖6所示。持有4個(gè)月的曲線如圖7所示。持有1個(gè)月時(shí)雪球期權(quán)收益減標(biāo)的收益如圖8所示。持有4個(gè)月時(shí)雪球期權(quán)收益減標(biāo)的收益如圖9所示。

對(duì)比持有該雪球期權(quán)在第一個(gè)月和第四個(gè)月時(shí)，在不同標(biāo)的價(jià)格情況下的雪球期權(quán)價(jià)格曲線可以發(fā)現(xiàn)。持有雪球的收益在敲入線以下時(shí)跟標(biāo)的本身收益基本持平，在標(biāo)的漲幅大于雪球本身的固定收益率后，持有雪球期權(quán)相對(duì)于持有標(biāo)的本身的額外收益逐漸減小，隨著標(biāo)的漲幅增加，持有標(biāo)的本身的收益會(huì)逐漸大于持有雪球期權(quán)的收益。因此，雪球式期權(quán)的收益只有在標(biāo)的漲幅較小且大于敲入價(jià)格的時(shí)候才能獲得超出標(biāo)的自身漲跌幅的收益。

5 買入雪球期權(quán)和歐式平值看漲期權(quán)對(duì)比

對(duì)于投資者而言，購(gòu)買掛鉤相同標(biāo)的雪球式期權(quán)或歐式平值看漲期權(quán)，會(huì)有不同的收益結(jié)構(gòu)。分別持有下列雪球式期權(quán)滿3個(gè)月時(shí)：固定年化利息為16.38%，周期為6個(gè)月，敲入價(jià)格為85%，敲出價(jià)格為103%，歐式平值看漲期權(quán)，周期為6個(gè)月，價(jià)格為7.24%。

對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，在標(biāo)的大幅上漲的時(shí)候，購(gòu)買歐式平值看漲期權(quán)可以獲得更大的收益，在標(biāo)的大幅下跌的時(shí)候，承受的虧損也是有限的，最大的虧損就是付出的期權(quán)費(fèi)。而雪球式期權(quán)在行情大幅上漲時(shí)收益是有限的，即約定的年化利息，在標(biāo)的大幅下跌時(shí)卻要承擔(dān)跟標(biāo)的跌幅相同的虧損，不過(guò)其在標(biāo)的橫盤或者小幅下跌時(shí)卻能獲得更多的收益。

6 結(jié)語(yǔ)

隨著期權(quán)市場(chǎng)在國(guó)內(nèi)金融市場(chǎng)的份額逐漸增加，奇異期權(quán)也成為了各金融機(jī)構(gòu)的一個(gè)重點(diǎn)業(yè)務(wù)發(fā)展方向，本文詳細(xì)介紹了一種奇異期權(quán)-雪球式期權(quán)，并介紹了如何用隨機(jī)過(guò)程模擬股價(jià)變動(dòng)并用蒙特卡洛模擬法來(lái)對(duì)雪球式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，然后詳細(xì)分析了雪球式期權(quán)的買方的收益特征。

首先，選取了2個(gè)不同的雪球式期權(quán)對(duì)其的到期收益進(jìn)行分析，通過(guò)蒙特卡洛模擬三十萬(wàn)次，刻畫雪球式期權(quán)在這三十萬(wàn)個(gè)股價(jià)路徑下的收益分布。通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，作為雪球式期權(quán)的買方，雖然其盈利的概率比虧損的概率高50%以上，但是其在虧損情形下虧損的均值和極值都高于盈利的情形，而延長(zhǎng)周期和下調(diào)敲入價(jià)格可以降低到期虧損概率。因此對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者，可以優(yōu)先選取敲入價(jià)格更低的雪球式期權(quán)。

其次，對(duì)比了近10年來(lái)長(zhǎng)期持有滬深300指數(shù)和掛鉤滬深300指數(shù)的雪球式期權(quán)，發(fā)現(xiàn)持有雪球式期權(quán)在近10年來(lái)并不能獲得超出指數(shù)的收益。隨后對(duì)比了持有雪球式期權(quán)和持有該標(biāo)的本身或掛鉤該標(biāo)的的歐式看漲期權(quán)的收益，發(fā)現(xiàn)在行情大幅上漲或下跌時(shí)持有標(biāo)的或歐式看漲期權(quán)會(huì)優(yōu)于持有雪球式期權(quán)，在震蕩行情中持有雪球式期權(quán)可以獲得更高的收益。投資者在購(gòu)買雪球式期權(quán)前，也需要對(duì)掛鉤標(biāo)的進(jìn)行一定程度的擇時(shí)或有一定的標(biāo)的選取能力，盡量避免預(yù)期在未來(lái)會(huì)大幅下跌的標(biāo)的。

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