高等數(shù)學(xué)教學(xué)中悖論教學(xué)法的實踐應(yīng)用

茍敏磷

（貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550001）

悖論具有一定邏輯學(xué)研究性質(zhì)。如若對某理論進(jìn)行正向推理、公理解說，具有研究的正向性。然而，在理論研究期間，對研究觀點的反向思想，進(jìn)行準(zhǔn)確命題，能夠驗證正反命題的理論矛盾性，在矛盾式命題等價關(guān)系中，反向命題作為悖論表現(xiàn)。二元論思路，證實了生活中悖論思想的存在。悖論理論中，含有較為豐富的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)廣泛應(yīng)用在數(shù)學(xué)教學(xué)體系中，提升高等數(shù)學(xué)教學(xué)有效性。

一、悖論教學(xué)法內(nèi)涵

（一）悖論理論

悖論一詞來自古希臘，作為邏輯學(xué)理論的關(guān)鍵名稱，或者稱之為反論。悖論一詞具有較為豐富的詞義，包括外界物質(zhì)與人認(rèn)知存在的矛盾表現(xiàn)，泛指表面無爭議的命題、實際上在邏輯驗證時存在矛盾表現(xiàn)的結(jié)論。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)體系中，悖論含有三種表現(xiàn)形式：其一為佯謬，表示此論點看似表述不嚴(yán)謹(jǐn)，實際論證時并未表現(xiàn)出問題；其二為反論，表示此論點看似較為嚴(yán)謹(jǐn)，但論證結(jié)果為錯誤；其三為邏輯矛盾，表現(xiàn)在論點較為完整的情況下，論證發(fā)展邏輯中存在矛盾表現(xiàn)。悖論思想，在一定程度上為數(shù)學(xué)發(fā)展帶來了多重可能性。在悖論學(xué)術(shù)研究發(fā)展進(jìn)程中，相應(yīng)變革數(shù)學(xué)教學(xué)體系，提升了數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展的綜合實力[1]。

（二）悖論教學(xué)法

在原有教學(xué)體系中，以知識為教學(xué)核心，悖論教學(xué)法并未獲得較高重視。因此，在傳統(tǒng)教學(xué)體系中，教學(xué)關(guān)注高等教學(xué)內(nèi)容的講解，尚未開展悖論矛盾驗證的教學(xué)工作，以期保障課堂講解方向的明確性，減少悖論引起的學(xué)術(shù)干擾問題。然而，悖論教學(xué)法，能夠為學(xué)生帶來反向思考模式，以此提升學(xué)生高等數(shù)學(xué)邏輯辯證能力，同時高效完成數(shù)學(xué)論證情境的創(chuàng)設(shè)，極大程度地調(diào)動了學(xué)生對數(shù)學(xué)科目學(xué)習(xí)的主動性，具有實施的必要性。

（三）悖論教學(xué)法的理論依據(jù)

1．悖論問題設(shè)計，能夠讓學(xué)生在習(xí)慣性錯誤解題思路中有所警覺，減少高等數(shù)學(xué)思維固定的現(xiàn)象發(fā)生。

2．在教學(xué)活動中，有序完成悖論引入，加以論證后，形成正反觀點對比，能夠加深對觀點學(xué)習(xí)印象，提升學(xué)生對正向觀點的傾向性，為后續(xù)高等數(shù)學(xué)教學(xué)工作有序發(fā)展奠定基石。

3．有助于開展學(xué)生知識探究教學(xué)引導(dǎo)工作，便于學(xué)生自主建設(shè)高等數(shù)學(xué)知識架構(gòu)，以學(xué)生實際知識收獲為核心，保障學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有效性。

二、悖論教學(xué)法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)體系中的實踐功效

（一）最大化挖掘?qū)W生對數(shù)學(xué)科目的學(xué)習(xí)主動性

在原有高數(shù)實踐教學(xué)活動中，學(xué)生并未自主探索數(shù)學(xué)理論驗證過程，學(xué)習(xí)過程較為枯燥，不利于高數(shù)教學(xué)工作有序發(fā)展。悖論教學(xué)法的實施核心，是以學(xué)生心理認(rèn)知為出發(fā)點，以期挖掘?qū)W生對高數(shù)學(xué)習(xí)的探究性思維，以此建設(shè)學(xué)生的高數(shù)學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力。在悖論教學(xué)法實施期間，最大程度地為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了探究性學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生對已學(xué)知識形成矛盾辯證思維，以此促使學(xué)生自主開展高數(shù)學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生對高數(shù)科目的學(xué)習(xí)主動性。

（二）便于學(xué)生深層次掌握高等數(shù)學(xué)的各項理論內(nèi)涵

高數(shù)知識含有多元化學(xué)習(xí)要素，學(xué)生在進(jìn)行高數(shù)學(xué)習(xí)時，應(yīng)完成對非本質(zhì)內(nèi)容的排除，以期從干擾條件中獲取本質(zhì)內(nèi)容的驗證結(jié)果。高等數(shù)學(xué)教學(xué)體系中，含有一定數(shù)量的數(shù)學(xué)概念，以無限結(jié)構(gòu)為核心，具有較高的理論性、理解的抽象性、知識結(jié)構(gòu)的繁瑣性等特點。在悖論教學(xué)實踐中，能夠有效提升學(xué)生對無限結(jié)構(gòu)各項數(shù)學(xué)知識的理解能力，便于學(xué)生深層次挖掘高等數(shù)學(xué)的研學(xué)方式，增強(qiáng)學(xué)生高數(shù)綜合學(xué)習(xí)能力。

（三）切實增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維養(yǎng)成效果

高數(shù)學(xué)習(xí)科目，含有理性思考過程。在高數(shù)課改教學(xué)體系中，高效優(yōu)質(zhì)的教學(xué)活動，應(yīng)在簡單式教學(xué)記憶的基礎(chǔ)上，配合教學(xué)實踐活動，讓學(xué)生在自主探究、合作交流教學(xué)互動中，形成相對完整的高數(shù)知識框架。在悖論教學(xué)法實踐中，對于理解與認(rèn)知數(shù)學(xué)概念，具有深層本質(zhì)挖掘、全面解析、正確認(rèn)知等特點，有助于增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維養(yǎng)成效果，提升學(xué)生數(shù)學(xué)問題的解決能力。

（四）使學(xué)生具備較為優(yōu)異的數(shù)學(xué)審美思想

高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)內(nèi)涵，具有一定藝術(shù)性。數(shù)學(xué)的審美藝術(shù)，源自數(shù)學(xué)科目各項理論內(nèi)容的理性美感，換言之?dāng)?shù)學(xué)思維體系中，能夠呈現(xiàn)人類社會發(fā)展的形態(tài)美。悖論思維，以理論本質(zhì)矛盾視角，開展問題解析活動，探究悖論問題內(nèi)涵，以此真實反映審美主體的數(shù)學(xué)藝術(shù)，便于塑造學(xué)生數(shù)學(xué)審美思維，感受數(shù)學(xué)美感精髓。

三、在高校高等數(shù)學(xué)教學(xué)體系中融合悖論教學(xué)法的實踐策略

（一）以悖論為問題設(shè)計方向，完成新課導(dǎo)入設(shè)計

在新課程導(dǎo)入設(shè)計期間，教師應(yīng)以明確教學(xué)方向，結(jié)合章節(jié)教學(xué)工作的實際特點，完成導(dǎo)課方案設(shè)計，提升學(xué)生高數(shù)科目的學(xué)習(xí)能力。悖論教學(xué)法的實施，旨在綜合增強(qiáng)學(xué)生的科目探究能力，明晰高數(shù)教學(xué)的重要內(nèi)容，為有序開展教學(xué)工作奠定基礎(chǔ)。在導(dǎo)課方案設(shè)計期間，應(yīng)加強(qiáng)悖論問題設(shè)計，以此提升導(dǎo)課設(shè)計效果，便于有序開展新課程講解。

大學(xué)生正位于價值觀形成和發(fā)展的關(guān)鍵時刻，對自我價值與社會價值的判斷相對片面，極容易受到外界環(huán)境的沖擊與干擾，陷入政治信仰缺失、理想信念迷茫、價值判斷模糊、功利思想嚴(yán)重等思想困境。因此，高校應(yīng)從大學(xué)生的全面發(fā)展以及“中國夢”的實現(xiàn)兩方面出發(fā)，對社會主義核心價值觀培養(yǎng)策略進(jìn)行探究。

比如，在教學(xué)期間，教師可以從教學(xué)核心內(nèi)容的反向視角，向?qū)W生提出悖論，讓學(xué)生分析悖論的準(zhǔn)確性，由此完成悖論教學(xué)法的導(dǎo)課設(shè)計。

（二）充分利用悖論元素，強(qiáng)化知識掌握鞏固性

1．悖論元素使用的教學(xué)理念

在高數(shù)實踐教學(xué)活動中，學(xué)生存在多重學(xué)習(xí)問題，比如認(rèn)知事物的局限性、所學(xué)內(nèi)容反向遷移等，造成學(xué)生對高數(shù)概念理解不透徹問題，降低了高數(shù)教學(xué)有效性。因此，高數(shù)教學(xué)人員，應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識教學(xué)鞏固效果，在教學(xué)全程序中完成知識深化教學(xué)工作，便于學(xué)生深入感知所學(xué)內(nèi)容，加強(qiáng)高數(shù)知識理解應(yīng)用。在高數(shù)教學(xué)期間，有序完成悖論元素應(yīng)用，提升學(xué)生知識理解引導(dǎo)有效性，便于學(xué)生深入理解所學(xué)高數(shù)知識，切實把握知識精髓，形成牢固的知識掌握體系。

2．悖論觀念教學(xué)實踐方法

教師在開展高數(shù)教學(xué)工作時，應(yīng)加強(qiáng)悖論元素應(yīng)用。悖論元素的教學(xué)實踐方法為：

（1）教師在課堂中，為學(xué)生設(shè)定一個悖論e。

（2）讓學(xué)生以小組合作形式，討論悖論e的準(zhǔn)確性，由此引導(dǎo)學(xué)生對悖論e產(chǎn)生質(zhì)疑。

（3）借助學(xué)生已學(xué)知識f，完成悖論e的推翻，讓學(xué)生對所學(xué)知識f形成全新的理解與認(rèn)知。

（4）在悖論e獲得推翻后，引出全新的觀點g。觀點g為課程核心的講解內(nèi)容。

借助悖論教學(xué)法，加強(qiáng)學(xué)生對悖論觀點質(zhì)疑，提升學(xué)生探究學(xué)習(xí)能力。

（三）發(fā)揮悖論懸疑功能，提升高等數(shù)學(xué)體系邏輯性

1．悖論懸疑功能教學(xué)實踐方法

在原有高等數(shù)學(xué)教學(xué)期間，教師較為注重課堂教學(xué)效率。在新時代教學(xué)改革工作中，教學(xué)人員應(yīng)關(guān)注學(xué)生實際情況，包括培養(yǎng)學(xué)生知識探索能力、塑造學(xué)生辯證思維等，以此增強(qiáng)學(xué)生自身知識吸收效果，讓學(xué)生具備各類高數(shù)問題的解決能力，提升高數(shù)教學(xué)有效性。在實踐中開展悖論教學(xué)法，教學(xué)人員可為學(xué)生引入學(xué)術(shù)研究案例，借助悖論懸疑功能，讓學(xué)生對高數(shù)理論研究過程進(jìn)行探究思考，提升課程教學(xué)的延伸效果。

2．悖論教學(xué)懸疑功能實踐案例

在曲線積分高數(shù)教學(xué)課程中，學(xué)生存在對曲線積分相關(guān)概念理解不準(zhǔn)確的情況，由此增加了高數(shù)解題的錯誤可能性。教師為學(xué)生開展悖論教學(xué)，讓學(xué)生自主查詢黎曼積分相關(guān)研究內(nèi)容，獲取曲線、二重等積分的差異性，加強(qiáng)學(xué)生邏輯推導(dǎo)能力。在學(xué)生獲得知識內(nèi)容的同時，教師融合悖論問題，比如第一類曲線積分對dx有正負(fù)要求，讓學(xué)生對此悖論進(jìn)行推翻與驗證，以此加強(qiáng)學(xué)生高數(shù)學(xué)習(xí)的思考能力，使其能夠準(zhǔn)確辨別各類積分的數(shù)學(xué)概念，切實提升高數(shù)教學(xué)品質(zhì)。

四、高數(shù)教學(xué)融合悖論教學(xué)法的教學(xué)實例

（一）教學(xué)實踐的課程與規(guī)劃

1．教學(xué)課程為級數(shù)求和。

2．確定教學(xué)關(guān)鍵內(nèi)容：掌握課程中的高等數(shù)學(xué)概念，具體包括極限、有限等，此類數(shù)學(xué)知識在學(xué)生常見事物中具有陌生性，教學(xué)難度較大。

3．學(xué)情分析：學(xué)生對各類高等數(shù)學(xué)概念具有基礎(chǔ)認(rèn)知，在級數(shù)概念理解時存在誤區(qū)；情景與悖論教學(xué)方法相融合時，能夠有效激發(fā)學(xué)生對高數(shù)知識的探究能力。

4．悖論情景教學(xué)法：以“阿基里斯追龜”的悖論內(nèi)容為出發(fā)點，開展課程情景創(chuàng)設(shè)[2]。

（二）教學(xué)實施

融合悖論情景教學(xué)法，能夠為學(xué)生創(chuàng)設(shè)高數(shù)思考空間，緩解學(xué)生理解高數(shù)概念的壓力，增強(qiáng)高數(shù)情景創(chuàng)設(shè)表現(xiàn)力，發(fā)揮悖論教學(xué)法的積極作用。悖論教學(xué)法過程為：以原有認(rèn)知觀念為導(dǎo)課視角、提出悖論觀點、驗證悖論觀點的錯誤性、設(shè)定探究悖論問題根源、驗證高數(shù)知識理論正確性、消除悖論、掌握高數(shù)新課程知識。具體教學(xué)實踐過程如下：

1．教學(xué)導(dǎo)課方案設(shè)計。導(dǎo)課方案設(shè)計，融合悖論情景教學(xué)法，引入古希臘傳說，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)跑步情景，引出阿基里斯人物a跑速第一的情節(jié)，悖論問題設(shè)計為：假設(shè)a在跑步期間，前方跑道出現(xiàn)一只烏龜，烏龜?shù)某霭l(fā)點為A，認(rèn)為a不可能追趕上烏龜。由于a與烏龜?shù)某霭l(fā)點存在一定差距，在無限跑步情況下，烏龜始終在a前方，因此類推結(jié)果為人物a無法追趕上烏龜。以悖論思想融合導(dǎo)課問題中，讓學(xué)生開展思考。學(xué)生針對人物a追趕烏龜?shù)膯栴}，開展討論與研究。

2．邏輯思維引入。在學(xué)生給出否定答案時，教師讓學(xué)生表達(dá)人物a追趕烏龜?shù)睦碚撘罁?jù)，繼而引入無限極數(shù)求和的教學(xué)內(nèi)容，同時為學(xué)生講解導(dǎo)課情景中悖論觀點存在的邏輯錯誤。

3．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)。在課程講解完成時，教師帶領(lǐng)學(xué)生開展知識驗證，獲取無限項求和的學(xué)習(xí)方法。

綜上所述，現(xiàn)階段的高等數(shù)學(xué)教學(xué)工作，具有教學(xué)內(nèi)容的界限性、教學(xué)空間的開放性等特點，教學(xué)人員能夠為學(xué)生創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，切實調(diào)動學(xué)生高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)主動性。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展期間，教師應(yīng)尊重每個學(xué)習(xí)個體的思考想法，加強(qiáng)整體數(shù)學(xué)思維引導(dǎo)，以此促進(jìn)課堂開展數(shù)學(xué)辯論，升華高等數(shù)學(xué)教學(xué)效果。同時融合悖論教學(xué)法，有效建設(shè)學(xué)生數(shù)學(xué)探究內(nèi)驅(qū)力。