利用相似求物體的高度

劉斯文

利用相似求物體的高度是中考的考點(diǎn)之一，相對(duì)于圖形變換和綜合問(wèn)題中的相似，這種題型的解題技巧性更強(qiáng)，需要同學(xué)們掌握正確的解題方法和技巧，并與生活經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合. 現(xiàn)將中考題的三種題型總結(jié)如下，希望能給同學(xué)們帶來(lái)幫助.

一、利用光線構(gòu)造相似三角形

例1（2021·浙江·紹興）如圖1，樹(shù)AB在路燈O的照射下形成投影AC，已知路燈高PO=5 m，樹(shù)影AC=3 m，樹(shù)AB與路燈O的水平距離AP=4.5 m，則樹(shù)的高度AB長(zhǎng)是（ ）.

A. 2 m B. 3 m? ? ? ? ? C. [32] m? ? ? ? ? D. [103] m

解析：利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

∵AB[?]OP，

∴△CAB∽△CPO，

∴[ABPO=ACPC]，

∴[AB5=33+4.5]，

∴AB=2 m.

故選A.

點(diǎn)評(píng)：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度時(shí)，通常利用“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等”和“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等”來(lái)解決.

二、利用標(biāo)桿構(gòu)造相似三角形

例2（2021·河北）《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量井深的方法. 如圖2所示，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D觀察井水邊緣點(diǎn)C，視線DC與井口的直徑AB交于點(diǎn)E，如果測(cè)得AB=1.6 m，BD=1 m，BE=0.2 m，那么AC為 m.

解析：根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

∵BD⊥AB，AC⊥AB，

∴BD[?]AC，

∴△ACE∽△BDE，

∴[ACBD=AEBE]，

∴[AC1=1.6-0.20.2]，

∴AC=7 m.

故填7.

點(diǎn)評(píng)：直接測(cè)量井深有一定困難，在井口利用標(biāo)桿構(gòu)造相似三角形，將井下測(cè)量問(wèn)題轉(zhuǎn)移到地面上，從而使得測(cè)量變得簡(jiǎn)單易行.

三、利用鏡子反射構(gòu)造相似三角形

例3 如圖3，為了測(cè)量一棟樓的高度OE，小明同學(xué)先在操場(chǎng)上A處放一面鏡子，向后退到B處，恰好在鏡子中看到樓的頂部E;再將鏡子放到C處，然后后退到D處，恰好再次在鏡子中看到樓的頂部E（O，A，B，C，D在同一條直線上），測(cè)得AC=2 m，BD=2.1 m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG為1.6 m，試確定樓的高度OE.

解析：首先根據(jù)題意得到△GDC∽△EOC和△FBA∽△EOA，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等列式計(jì)算即可.

∵GD⊥CD，F(xiàn)B⊥OD，OE⊥OD，

∴GD[?]FB[?]OE，

∴△GDC∽△EOC，△FBA∽△EOA，

令OE=a，AO=b，CB=x，

則由△GDC∽△EOC得[GDEO=CDOC]，

即[1.6a=2.1-x2+b]，

整理得3.2 + 1.6b=2.1a - ax①，

由△FBA∽△EOA得[FBEO=ABOA]，

即[1.6a=2-xb]，

整理得1.6b=2a - ax②，

將②代入①得：

3.2 + 2a - ax=2.1a - ax，

∴a=32，

即OE=32 m.

答：樓的高度OE為32 m.

點(diǎn)評(píng)：本題應(yīng)用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運(yùn)用“相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等”即可解答.

綜上，利用相似求物體的高度屬于數(shù)學(xué)建模的題型，生活中應(yīng)用比較廣泛，其核心思想是利用光線、標(biāo)桿和鏡面來(lái)構(gòu)造相似，再利用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理解決問(wèn)題.