巧用“一線三等角”模型解題

王友峰

對于初中幾何的學(xué)習，我們除了需要掌握課本中的定義、定理等基本知識外，還要對一些基本模型進行積累，下面給同學(xué)們介紹一個基本模型：“一線三等角”.

一、引例

例1 （2020·湖南·長沙）如圖1，在矩形ABCD中，E為DC邊上一點，把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F. 求證：△ABF∽△FCE.

例2 如圖2，等腰梯形ABCD中，AB = CD，AD[?]BC，點E在AD上，且 ∠BEF = ∠A. 求證：△ABE∽△DEF.

二、模型提煉

綜合上面兩道例題，我們可以得到以下模型：如圖3，若∠B = ∠C = ∠ADF = α，則△ABD∽△DCF. 因為直線BC上有三個相等的角：∠B，∠C，∠ADF，故稱為“一線三等角”模型.

[A][D][E][C][F][B] [D][E][A][B][C] [F][A] [F][C][D][B]

? ? ? 圖1 ? ? ? ? ? ? 圖2 ? ? 圖3

三、模型應(yīng)用

例3 如圖4，在△ABC中，AB = AC，點E在邊BC上移動（點E不與點B，C重合），滿足∠DEF = ∠B，且點D，F(xiàn)分別在邊AB，AC上.

（1）求證：△BDE∽△CEF.

（2）當點E移動到BC的中點時：①找出圖中其余相似三角形;

②求證：DE平分∠BDF，F(xiàn)E平分∠DFC.

解析：（1）∵AB = AC，∴∠B = ∠C，∵∠DEF = ∠B，∴∠B = ∠C = ∠DEF，

根據(jù)“一線三等角”模型，易證△BDE∽△CEF.

（2）①∵△BDE∽△CEF，∴[ BDCE] = [? DEEF]. ∵E是BC的中點，∴BE = CE，

∴[BDBE] = [? DEEF]，∴[BDDE] = [? BEEF]. ∵∠DEF = ∠B，∴△BDE∽△EDF.

同理，△CEF∽△EDF.

②∵△BDE∽△EDF，∴∠BDE = ∠EDF，∴DE平分∠BDF.

同理，由△CEF∽△EDF，得FE平分∠DFC.

點評：問題（1）具備了“一線三等角”要素即可證明三角形相似，本題中若有ED = EF，則可得這兩個相似三角形全等.

例4 （2020·湖北·鄂州）如圖5，點A是雙曲線y = [1x]（x<0）上一動點，連接OA，作OB⊥OA，且使OB = 3OA，當點A在雙曲線y = [1x]上運動時，點B在雙曲線y = [kx]上移動，則k的值為 ? ? .

解析：如圖5，分別過點A，B作AC⊥x軸于點C，BD⊥x軸于點D，由“一線三等角”模型，易得△ACO∽△ODB，∴S△ACO∶S△ODB = [OAOB2] = [19]. ∵S△ACO = [12]，S△ODB = [|k|2]，∴|k| = 9，k = -9.

點評：過點A，B分別作x軸的垂線構(gòu)造出兩個直角，這樣就具備“一線三等角”條件了.

四、能力提升

1. （2020·湖北·十堰）如圖6，菱形ABCD的頂點分別在反比例函數(shù)y = [k1x] 和y = [k2x]的圖象上，若∠BAD = 120°，則[k1k2]等于（ ）.

A. [13] B. 3

C. [3] D. [33]

提示：連接CO，DO，則CO⊥DO，且∠DCO = 60°，DO = [3]CO，再過點C，D作x軸的垂線，仿照例4構(gòu)造“一線三等角”模型，可得選項B.

2. 如圖7，直線AB與坐標軸交于點A（3，0），B（0，6）. 直線BC交x軸于點C，點C在點A的右側(cè)，且滿足tan∠ABC = [13]，求點C的坐標.

提示：過點A作AD⊥BC，垂足為點D，過點D作DE⊥x軸于點E，作BF⊥ED于點F，構(gòu)造 “一線三等角”模型，可得點C的坐標為（6，0）.

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校）