網(wǎng)格中相似三角形的判定

王云峰

正方形網(wǎng)格試題具有趣味性、直觀性、可操作性，體現(xiàn)了“在玩中學(xué)，在學(xué)中思，在思中得”的課標(biāo)理念. 在正方形網(wǎng)格中判定相似三角形問題一直是中考的熱點，下面舉例介紹.

例（2020·浙江·湖州）在每個小正方形邊長均為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都是格點的三角形稱為格點三角形. 如圖1，已知Rt△ABC是6 × 6網(wǎng)格圖形中的格點三角形，則該圖中所有與Rt△ABC相似的格點三角形中，面積最大的三角形的斜邊長是 .

解析：由圖可知，AC=1，BC=2. 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=[AC2+BC2]=[5]. 在6 × 6網(wǎng)格圖形中，格點線段長由大到小排列為：[62+62]=[62]，[52+62]=[61]，[52+52]=[52]，[42+52]=[41]，…，以長為[62]的格點線段為直徑作圓，此時格點直角三角形是等腰直角三角形，與Rt△ABC不相似，不符合題意;以長為[61]的格點線段為直徑作圓，此時格點直角三角形的兩直角邊長分別為5，6. ∵[51] ≠ [62]，∴該三角形與△ABC不相似，不符合題意;以長為[52]的格點線段DE為直徑作圓，如圖2，取格點F. 由勾股定理得DF=[32+12]=[10]，EF=[22+62]=[210]. ∵[DFAC]=[101]=[10]，[EFBC]=[2102]=[10]，[DEAB]=[525]=[10]，∴[DFAC]=[EFBC]=[DEAB]，∴△DEF∽△ABC，∴該圖中所有與Rt△ABC相似的格點三角形中，面積最大的三角形的斜邊長是[52].

故填[52].

[ ] [A][C][B][ ] [A][F][E][B][D][C]

圖1 圖2

點評：根據(jù)“相似三角形的面積比等于相似比的平方”可知，面積最大的相似三角形的邊長應(yīng)最大，因此求解本題時，應(yīng)先考慮將正方形網(wǎng)格中格點線段由大到小排列，然后利用“直徑所對的圓周角是直角”通過畫圖確定出直角格點，最后利用“三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似”判定兩三角形相似.