數(shù)學(xué)大概念及其提取

夏繁軍 胥慶 王建華

【編者按】 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》在前言中指出了2017年版課標(biāo)相比于2003年的實(shí)驗(yàn)版課標(biāo)“修訂的主要內(nèi)容和變化”。其中，有一條是“以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”。這一思想可以看成是2017年版課標(biāo)的指導(dǎo)思想，“發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”的課程目標(biāo)和“關(guān)注（跨課時(shí)、跨章節(jié)的）單元、主題的教學(xué)目標(biāo)”“從整體上把握課程”的教學(xué)建議都是其具體體現(xiàn)。什么是數(shù)學(xué)大概念？如何提取數(shù)學(xué)大概念？如何設(shè)計(jì)指向數(shù)學(xué)大概念的問(wèn)題？如何依據(jù)數(shù)學(xué)大概念開(kāi)展“單元—課時(shí)”教學(xué)？本期《專(zhuān)題研究》欄目的3篇文章，嘗試回答這些問(wèn)題。

摘要：教育領(lǐng)域內(nèi)的大概念又稱(chēng)大觀念，是指在某一學(xué)科中居于重要地位，對(duì)學(xué)科其他內(nèi)容具有統(tǒng)攝力、關(guān)聯(lián)性的概念。數(shù)學(xué)教學(xué)中的大概念可以分為單元大概念、學(xué)科大概念、跨學(xué)科大概念、哲學(xué)大概念四個(gè)層級(jí)。數(shù)學(xué)大概念包括數(shù)學(xué)的核心概念、重要技能、主要思想方法、解決問(wèn)題的一般思路、數(shù)學(xué)觀念等類(lèi)型。數(shù)學(xué)大概念的提取一般來(lái)源于學(xué)科（包括學(xué)科核心概念及其本質(zhì)、重要技能、主要思想方法）、課程標(biāo)準(zhǔn)、解決問(wèn)題的一般思路、學(xué)生學(xué)習(xí)觀念四個(gè)方面的分析。以《集合》單元為例具體說(shuō)明如何提取數(shù)學(xué)大概念。

關(guān)鍵詞：大概念;數(shù)學(xué)大概念;課標(biāo);單元知識(shí)結(jié)構(gòu);集合

當(dāng)前，面對(duì)時(shí)代知識(shí)量、信息量的驟增與學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間、精力的有限，精選教學(xué)內(nèi)容，聚焦少數(shù)核心概念和觀念，保證教學(xué)實(shí)施的科學(xué)性與有效性，是基礎(chǔ)教育亟須解決的關(guān)鍵問(wèn)題?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“課標(biāo)”）提出“以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”，成為實(shí)現(xiàn)“少而精”的教學(xué)指導(dǎo)思想。本文重點(diǎn)談?wù)勈裁词菙?shù)學(xué)大概念以及如何提取數(shù)學(xué)大概念，為依據(jù)數(shù)學(xué)大概念設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)奠定基礎(chǔ)。

一、什么是數(shù)學(xué)大概念？

（一）大概念的內(nèi)涵

大概念理論可以溯源到20世紀(jì)60年代布魯納提出的“一般觀念”和“課程結(jié)構(gòu)”以及1964年菲尼克斯提出的學(xué)科“代表性概念”。

1998年，埃里克森明確指出：大概念是一種抽象概括，是在事實(shí)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的深層次的、可遷移的觀念，是對(duì)概念之間關(guān)系的表述。

2004年，威金斯和麥克泰格在《追求理解的教學(xué)設(shè)計(jì)（第二版）》中，對(duì)大概念進(jìn)行了系統(tǒng)的描述，把大概念歸納為：代表一種重大的觀念，居于課程的核心，貫穿很多單元的學(xué)習(xí);通過(guò)聯(lián)結(jié)及組織許多事實(shí)信息、技能、經(jīng)驗(yàn)來(lái)提供意義的廣度，以作為理解之關(guān)鍵;指向?qū)W科的核心概念，為問(wèn)題的研究提供一個(gè)概念“透鏡”;意義需要被揭示;有極大的遷移價(jià)值，在一段時(shí)間內(nèi)，可應(yīng)用到許多其他探究主題或問(wèn)題、同一學(xué)科課程或跨學(xué)科課程，直到今后的生活中，具有超越課堂的持久性?xún)r(jià)值;需要深入探討的、抽象的、易于誤解的觀念;對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)有吸引力。

此后，蘭寧、克拉克、懷特里等學(xué)者對(duì)大概念也都有過(guò)系統(tǒng)的論述。

2009 年，在蘇格蘭舉辦的一次中小學(xué)科學(xué)教育國(guó)際研討會(huì)形成了一份重要報(bào)告——《科學(xué)教育的原則和大概念》。哈倫等科學(xué)家提出了科學(xué)教育中的大概念體系，強(qiáng)調(diào)科學(xué)教育不是知識(shí)片段的堆積，而是有結(jié)構(gòu)、有聯(lián)系的模型。這份報(bào)告推動(dòng)了中小學(xué)科學(xué)課程結(jié)構(gòu)的改革，使大概念的課程設(shè)計(jì)得到了更多的關(guān)注。

教育領(lǐng)域內(nèi)的大概念又稱(chēng)大觀念，是指在某一學(xué)科中居于重要地位，對(duì)學(xué)科其他內(nèi)容具有統(tǒng)攝力、關(guān)聯(lián)性的概念;是對(duì)眾多知識(shí)的篩選與整合，可以是一個(gè)概念、一個(gè)觀點(diǎn)。位置上，大概念處在學(xué)科的中心，集中體現(xiàn)學(xué)科課程特質(zhì)的核心思想方法;功能上，大概念有助于一門(mén)課程的結(jié)構(gòu)化，聚焦大概念的學(xué)習(xí)能促進(jìn)學(xué)習(xí)者對(duì)知識(shí)的深層理解與遷移，實(shí)現(xiàn)“少就是多”“貫穿一致”的學(xué)習(xí)理念。

（二）大概念的類(lèi)型與層級(jí)

李松林把大概念系統(tǒng)看作一個(gè)由橫向的三個(gè)類(lèi)型（結(jié)論與結(jié)果、方法與思想、作用與價(jià)值）和縱向的四個(gè)層次（學(xué)科課時(shí)內(nèi)、學(xué)科單元內(nèi)、學(xué)科單元間、跨學(xué)科）有機(jī)結(jié)合而成的網(wǎng)絡(luò)化結(jié)構(gòu)。

李剛、呂立杰提出：概念的體系符合金字塔型知識(shí)結(jié)構(gòu)，從底層到頂層分別是科學(xué)事實(shí)和現(xiàn)象、（統(tǒng)攝性較低的）具體概念和方法、核心概念和方法、跨學(xué)科主題以及哲學(xué)觀點(diǎn);其中，科學(xué)小概念包括前兩層內(nèi)容，科學(xué)大概念包括后三層內(nèi)容。

埃里克森等人將知識(shí)結(jié)構(gòu)分為五個(gè)層級(jí)。一是主題事實(shí)。二是概念。與事實(shí)相比，概念具有普遍性，是從實(shí)例、事實(shí)中抽象出來(lái)的，多使用一兩個(gè)詞或短語(yǔ)表述。三是概括。表述兩個(gè)或兩個(gè)以上概念之間關(guān)系的句子。四是原理。與概括一樣，原理是對(duì)概念之間關(guān)系的表述，但更加穩(wěn)定，如物理定律、數(shù)學(xué)公理。五是理論。一個(gè)推論或者一組解釋現(xiàn)象或?qū)嵺`的概念性觀點(diǎn)。他們認(rèn)為，在課程設(shè)計(jì)上，不必區(qū)分概括和原理，它們都是對(duì)概念之間關(guān)系的表述，都屬于大概念。

奧蘇貝爾認(rèn)為：概念不是一段孤立的詞句，而是一個(gè)層次性的結(jié)構(gòu)，知識(shí)之間有上、下位關(guān)系。進(jìn)一步地，肖沃爾特根據(jù)科學(xué)概念有邏輯且互相關(guān)聯(lián)的特征，構(gòu)建了由7層概念組成的科學(xué)概念結(jié)構(gòu)：知覺(jué)感受、直接概念、事實(shí)概念、定律概念、創(chuàng)設(shè)概念、原理概念及理論概念。7層概念有上、下位之分，理論概念是層次最高的概念，包括了各類(lèi)下位概念以及概念之間的聯(lián)系。由此可知，科學(xué)概念不僅是對(duì)客觀事物的本質(zhì)描述，而且是一種更復(fù)雜的概念體系，其中包含了事物的內(nèi)在屬性、深層結(jié)構(gòu)以及事物之間的邏輯關(guān)系，即概念的學(xué)習(xí)是一個(gè)有層次結(jié)構(gòu)且互相聯(lián)系的復(fù)雜系統(tǒng)。

實(shí)際上，概念有不同的類(lèi)型和層級(jí)，概念之間有上位、下位和并列等關(guān)系，形成了一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)（網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)）;而大概念是其中相對(duì)上位的概念，需要下位概念的支撐。

綜上，我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)中的大概念可以分為單元大概念、學(xué)科大概念、跨學(xué)科大概念、哲學(xué)大概念四個(gè)層級(jí);數(shù)學(xué)大概念包括數(shù)學(xué)的核心概念、重要技能、主要思想方法、解決問(wèn)題的一般思路、數(shù)學(xué)觀念等類(lèi)型，每種類(lèi)型都有高低不同的層級(jí)。這里值得一提的是，數(shù)學(xué)大概念是比數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)更上位的概念，數(shù)學(xué)大概念包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，但不止于此。

二、如何提取數(shù)學(xué)大概念？

國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)如何提取大概念有很多研究。

邵朝友、崔允漷指出，大觀念（大概念）主要還是來(lái)自?xún)?nèi)容標(biāo)準(zhǔn)。確定內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)后，可用四種常見(jiàn)策略來(lái)確定大觀念（大概念）：（1）尋找內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中一再出現(xiàn)的名詞或重要的短語(yǔ)，將此作為大觀念（大概念）;（2）用追問(wèn)的方式確定大觀念（大概念）;（3）用配對(duì)的方式產(chǎn)生大觀念（大概念），即對(duì)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中的概念進(jìn)行配對(duì);（4）用歸納的方式獲得大觀念（大概念）。

劉徽綜合不同學(xué)者的觀點(diǎn)，結(jié)合我國(guó)教育的實(shí)際情況，給出尋找學(xué)科大概念的八個(gè)路徑：課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)科核心素養(yǎng)、專(zhuān)家思維、概念派生、生活價(jià)值、知能目標(biāo)、學(xué)習(xí)難點(diǎn)、評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

鄧靖武提出了提煉學(xué)科大概念的三個(gè)途徑：（1）基于學(xué)科視角，聚焦學(xué)科本質(zhì)提煉學(xué)科概念;（2）基于課程標(biāo)準(zhǔn)，依據(jù)學(xué)科教材確定學(xué)科大概念;（3）基于學(xué)生的發(fā)展需求，構(gòu)建大概念統(tǒng)攝下的單元知識(shí)層級(jí)結(jié)構(gòu)。

學(xué)科不同，提取大概念的方法和路徑會(huì)有所差異。結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)以及學(xué)生學(xué)習(xí)的規(guī)律，我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)大概念的提取一般來(lái)源于四個(gè)方面的分析：學(xué)科（包括學(xué)科核心概念及其本質(zhì)、重要技能、主要思想方法）、課程標(biāo)準(zhǔn)、解決問(wèn)題的一般思路、學(xué)生學(xué)習(xí)觀念。

另外，可以對(duì)主題和學(xué)習(xí)內(nèi)容做一些追問(wèn)，如內(nèi)容的本質(zhì)是什么、為什么學(xué)習(xí)、學(xué)習(xí)什么、怎樣學(xué)習(xí)、學(xué)習(xí)這一內(nèi)容和不學(xué)習(xí)有什么區(qū)別、哪些觀念對(duì)學(xué)生一生的發(fā)展有用。這些看似“不著邊際”的問(wèn)題正是學(xué)生學(xué)習(xí)的困惑，也是我們尋找大概念的適切途徑。

下面，以高中數(shù)學(xué)《集合》單元為例，具體說(shuō)明如何提取數(shù)學(xué)大概念。

第一步，明確課標(biāo)對(duì)單元學(xué)習(xí)的總體定位。

課標(biāo)指出：“在高中數(shù)學(xué)課程中，集合是刻畫(huà)一類(lèi)事物的語(yǔ)言和工具。本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生使用集合的語(yǔ)言簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)和交流，積累數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗(yàn)。”

根據(jù)這一定位，教材引導(dǎo)學(xué)生利用集合語(yǔ)言對(duì)初中的一些重要概念進(jìn)行再抽象并用符號(hào)表示對(duì)象（集合的元素），對(duì)一些重要內(nèi)容（特別是方程、不等式、函數(shù)）進(jìn)行“再表述”。如此，在提高數(shù)學(xué)表達(dá)抽象化程度的過(guò)程中，提升學(xué)生的抽象思維水平，從而為高中學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

第二步，明確課標(biāo)對(duì)單元學(xué)習(xí)的具體要求。

課標(biāo)明確了《集合》單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括集合的概念與表示、集合的基本關(guān)系、集合的基本運(yùn)算?！凹系母拍钆c表示”的學(xué)習(xí)要求是：“通過(guò)實(shí)例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系;針對(duì)具體問(wèn)題，能在自然語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)集合;在具體情境中，了解全集與空集的含義?！薄凹系幕娟P(guān)系”的學(xué)習(xí)要求是：“理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集?！薄凹系幕具\(yùn)算”的學(xué)習(xí)要求是：“理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，能求兩個(gè)集合的并集與交集;理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，能求給定子集的補(bǔ)集;能使用Venn圖表達(dá)集合的基本關(guān)系與基本運(yùn)算，體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用。”

由此可以分析出，本單元的重點(diǎn)內(nèi)容包括：元素與集合之間的關(guān)系，描述法表示集合;集合之間的包含與相等關(guān)系;并集、交集、補(bǔ)集的含義，利用集合語(yǔ)言表示關(guān)系和運(yùn)算。

第三步，畫(huà)出單元知識(shí)結(jié)構(gòu)圖。

根據(jù)《集合》單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容及要求，可以畫(huà)出如下頁(yè)圖1所示的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖。

第四步，分析單元內(nèi)容的本質(zhì)及其中蘊(yùn)含的思想。

人教B版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第一章給出的集合定義是：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用“集合”來(lái)對(duì)所研究的對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)，把一些能確定的、不同的對(duì)象匯集在一起，就說(shuō)由這些對(duì)象組成一個(gè)集合。這與康托在著作《超窮數(shù)理論基礎(chǔ)文稿》開(kāi)篇的第一段話中給出的集合定義是類(lèi)似的：集合M是我們?cè)谥庇X(jué)上和思想上能夠明確區(qū)分的那些對(duì)象m（稱(chēng)為M的元素）的全體。但是，康托的這個(gè)定義遭到了很多的質(zhì)疑，許多哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家提出了很多悖論，比如，羅素提出了“理發(fā)師悖論”。后來(lái)，德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅羅在論文《關(guān)于集合論基礎(chǔ)的研究》中給出了集合的形式化定義：用大寫(xiě)字母A表示集合，小寫(xiě)字母x表示元素，元素x屬于集合A，表示為x∈A。在這個(gè)基礎(chǔ)上，策梅羅通過(guò)9條公理，限定了集合的性質(zhì)和運(yùn)算。此后，德國(guó)數(shù)學(xué)家弗蘭克爾作出少量的修改，形成了現(xiàn)在的ZF集合論公理體系。其中，第1條外延公理是：對(duì)于兩個(gè)集合A和B，如果A中的任一元素都是B中的元素，B中的任一元素都是A中的元素，則這兩個(gè)集合是同一個(gè)集合，記作A≡B。因此，從這個(gè)意義上說(shuō)，集合是由元素唯一確定的，這就是集合的本質(zhì)。

雖然對(duì)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)，集合包含的元素具有一般性，但是在本質(zhì)上，集合源于對(duì)數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象，甚至可以認(rèn)為，集合概念的確立實(shí)現(xiàn)了數(shù)量與數(shù)量關(guān)系抽象的最高層級(jí)。

數(shù)學(xué)研究源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過(guò)基于抽象結(jié)構(gòu)的符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型建構(gòu)等，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。抽象是一種重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)研究對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象大體可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)是對(duì)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系的抽象，一類(lèi)是對(duì)圖形和圖形關(guān)系的抽象。因此，數(shù)學(xué)也被稱(chēng)作研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)研究對(duì)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系的抽象大概可以分為三個(gè)階段：從數(shù)量到數(shù)字，實(shí)現(xiàn)從感性具體到理性具體;從數(shù)字到字母，實(shí)現(xiàn)從理性具體到理性一般;第三階段：從字母到集合，實(shí)現(xiàn)從個(gè)體到結(jié)構(gòu)。集合中的元素可以是非常抽象的東西，集合概念完全舍棄了事物的一切物理屬性，得到抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

第五步，分析單元學(xué)習(xí)的價(jià)值。

我們可以從研究問(wèn)題的角度認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)“集合”的必要性。要研究問(wèn)題，首先要有研究對(duì)象，研究對(duì)象在數(shù)學(xué)里就可以叫作元素，根據(jù)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)把能確定的不同的一類(lèi)元素放在一起就組成一個(gè)集合。因此，集合源于對(duì)問(wèn)題的分類(lèi)。事實(shí)上，康托是在研究三角級(jí)數(shù)收斂時(shí)，發(fā)現(xiàn)不同的三角級(jí)數(shù)可以收斂于同一個(gè)點(diǎn)，為了對(duì)這些級(jí)數(shù)進(jìn)行區(qū)分，引入了集合概念。

進(jìn)而，根據(jù)數(shù)學(xué)研究的一般路徑，對(duì)單個(gè)集合，要研究集合的性質(zhì)，即這一類(lèi)對(duì)象的特征，這就要用特征性質(zhì)描述集合中的元素。對(duì)多個(gè)集合，就要研究集合之間的關(guān)系，包含與非包含是兩種常見(jiàn)的關(guān)系，這些關(guān)系是通過(guò)分析元素與集合之間的關(guān)系得到的;還要研究它們的運(yùn)算和運(yùn)算律，集合的三種運(yùn)算（交、并、補(bǔ)）都要研究集合中元素的特征。因此，“元素分析法”就成為集合研究的根本方法。

此外，集合成為數(shù)學(xué)概念雖然只有200多年的歷史，但是已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)幾乎所有領(lǐng)域的基本概念，集合的語(yǔ)言（元素、集合、對(duì)應(yīng)、屬于、包含、相等、映射等）也成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)甚至是現(xiàn)代科學(xué)常用的基本語(yǔ)言，為研究各類(lèi)問(wèn)題提供了交流的基礎(chǔ)。

第六步，確定單元中的大概念。

基于以上分析，集合的概念（本質(zhì)，“是什么”）、集合的語(yǔ)言（工具性，“為什么”）、集合的研究方法（元素分析法，“怎樣研究”）都是《集合》單元中的大概念。此外，集合的研究?jī)?nèi)容還包括集合之間的關(guān)系和運(yùn)算。

關(guān)系不僅是一個(gè)數(shù)學(xué)大概念，也是一個(gè)哲學(xué)大概念。數(shù)學(xué)中的關(guān)系包括數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系。數(shù)量關(guān)系包括大小關(guān)系、相等關(guān)系、對(duì)應(yīng)關(guān)系、函數(shù)關(guān)系等;位置關(guān)系包括平行、垂直、對(duì)稱(chēng)等。

運(yùn)算是一個(gè)數(shù)學(xué)大概念，也是一種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)上的運(yùn)算通常包括集合的運(yùn)算、實(shí)數(shù)（一元數(shù)）的運(yùn)算、復(fù)數(shù)（二元數(shù)）的運(yùn)算、向量的運(yùn)算等。

另外，集合內(nèi)容的學(xué)習(xí)還給學(xué)生鋪設(shè)了一條暗線，即學(xué)會(huì)研究問(wèn)題的一般思路：實(shí)例→抽象得到數(shù)學(xué)定義→表示→性質(zhì)→關(guān)系→運(yùn)算→應(yīng)用。這也可以遷移到函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角、向量、概率等數(shù)學(xué)對(duì)象的研究上。

而在跨學(xué)科學(xué)習(xí)觀念上，主要是集合語(yǔ)言的理解和運(yùn)用、對(duì)問(wèn)題分類(lèi)研究的意識(shí)。

由此，給出《集合》單元中大概念的抽象層級(jí)（如圖2所示）。

參考文獻(xiàn)：

[1] 格蘭特·威金斯，杰伊·麥克泰格.追求理解的教學(xué)設(shè)計(jì)（第二版）[M].閆寒冰，宋雪蓮，賴(lài)平，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2017.

[2] 李松林.以大概念為核心的整合性教學(xué)[J].課程·教材·教法，2020（10）.

[3] 呂立杰.大概念課程設(shè)計(jì)的內(nèi)涵與實(shí)施[J].教育研究，2020（10）.

[4] 林恩·埃里克森，洛伊斯·蘭寧.以概念為本的課程與教學(xué)：培養(yǎng)核心素養(yǎng)的絕佳實(shí)踐[M].魯效孔，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2018.

[5] 邵朝友，崔允漷.指向核心素養(yǎng)的教學(xué)方案設(shè)計(jì)：大觀念的視角[J].全球教育展望，2017（6）.

[6] 劉徽.“大概念”視角下的單元整體教學(xué)構(gòu)型——兼論素養(yǎng)導(dǎo)向的課程變革[J].教育研究，2020（6）.

[7] 劉徽，徐玲玲.大概念和大概念教學(xué)[J].上海教育，2020（11）.

[8] 鄧靖武.大概念統(tǒng)攝下物理單元知識(shí)結(jié)構(gòu)構(gòu)建及教學(xué)探討[J].課程·教材·教法，2021（1）.

[9] 周丐曉，劉恩山.系統(tǒng)化思維研究新進(jìn)展及其在科學(xué)教育課程改革中的重要作用[J].生物學(xué)通報(bào)，2018（2）.

[10] 史寧中.數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)模型——高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問(wèn)題[M].北京：高等教育出版社，2018.

[11] 華志遠(yuǎn).落實(shí)“大概念”教學(xué)理念——對(duì)高中數(shù)學(xué)新教材中三角函數(shù)定義變更的思考與教學(xué)[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2021（1）.

*本文系北京市教育科學(xué)規(guī)劃2021年度一般課題“大概念和學(xué)習(xí)進(jìn)階視角下高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)實(shí)施策略研究”（編號(hào)：CDDB21315）的階段性研究成果。