一種基于信息融合的天線罩誤差斜率估計方法

董 航，陸科林，金冰煜，李靖峰，楊子涵

（1.東南大學自動化學院，南京 210096；2.南京航空航天大學自動化學院，南京 210016）

1 引 言

隨著現(xiàn)代軍事科技的發(fā)展，與常規(guī)武器相比，精確制導武器因為具有遠程精確打擊能力強、效 能高、殺傷威力大等優(yōu)勢而深受各國青睞。應用于精確制導武器中的天線罩作為保護雷達正常工作的一個裝置，可以確保導引頭天線能夠在惡劣的自然環(huán)境中正常有效的工作。然而，天線罩在帶來保護的同時，也因為外形和材質(zhì)而影響電磁波的傳輸，造成天線主軸的偏移，使導彈指向一個虛假的目標。虛假視線與真實視線之間的夾角稱為天線罩瞄準線誤差角[1]。

由于現(xiàn)代材料的工藝無法滿足高速飛行導彈對于天線罩氣動、電磁傳輸?shù)纫?，無法有效消除導引頭所帶來的誤差，所以需要通過一定的手段估計天線罩誤差并對其進行補償，以降低誤差角導致的脫靶率。

國內(nèi)外在天線罩誤差估計問題方面已經(jīng)取得了不少的成果。通常有三類方法，分別是靜態(tài)補償法、抖動信號法以及濾波補償法?？娧┘训萚2]從改變導引律的結(jié)構(gòu)和控制系統(tǒng)的動特性入手，提出了天線罩靜態(tài)補償方案，可有效地抑制天線罩像差的影響，提高尋的導彈制導精度，達到減小脫靶量的目的。王守斌等[3]根據(jù)地面測試數(shù)據(jù)構(gòu)建天線罩誤差斜率的函數(shù)組，構(gòu)建了誤差的靜態(tài)補償器。這些靜態(tài)補償方法不僅減小了天線罩瞄準線誤差斜率對輸出視線轉(zhuǎn)率的影響, 而且明顯削弱了天線罩瞄準線誤差斜率對耦合回路的不利影響；但缺點是靜態(tài)補償?shù)捻憫獣r間較長，不能夠滿足實時跟進的要求。

除了靜態(tài)補償法外，祁琪等[4]和Zarchan 等[5]首先提出基于抖動信號的天線罩斜率估計補償方法。抖動信號法不依賴數(shù)學模型與概率統(tǒng)計模型，是一種在線估計方法，但是其精度取決于接收到的輸入信號以及導彈加速度，有一定的局限性。

近年來，在線估計補償法受到了更多學者的重視。安相宇等[6]基于擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）將天線罩誤差斜率作為狀態(tài)變量，通過寄生回路進行估計，明顯改善了制導精度；丁明杰等[7]基于擴展卡爾曼濾波對姿態(tài)解算方法進行研究，得到精度更高的姿態(tài)信息解算；周荻等[8]通過建立導彈-目標相對運動模型來描述俯沖和側(cè)向通道，并基于EKF 聯(lián)合估計天線罩誤差斜率，提高天線罩斜率估計的可觀性與精度。但EKF 濾波方法需要求導，必須對非線性函數(shù)的具體形式完全了解，無法進行黑盒操作，很難模塊化使用[9]。因此，許海深[10]提出使用無跡卡爾曼（Unscented Kalman Filter，UKF）方法對誤差斜率進行補償以及仿真；宗睿等[11]研究了不同干擾輸入條件下隔離度對制導精度的影響，同時提出了一種基于UKF 的隔離度在線補償方法。

除了EKF 與UKF 外，Blom 等[12]提出交互多模型（Interactive Multi Model，IMM）算法，這種方法的思想是使用多個不同的機動目標運動模型匹配機動目標的不同運動模態(tài)，以提高目標運動狀態(tài)發(fā)生頻繁跳變時的跟蹤精度；Han 等[13]提出一種改進概率更新模型的IMM 算法來估計天線罩誤差斜率，以此提高IMM 算法的精度，但IMM 算法需要已知天線罩誤差斜率變化范圍來進行概率估計，同樣具有一定的局限性。

因此，針對雷達制導過程中導引頭天線罩誤差斜率的估計問題，本文提出基于信息融合的“融合-重置”在線估計框架，旨在提高對天線罩誤差斜率的估計精度，從而通過誤差修正改善導彈的制導精度。首先基于在線估計算法構(gòu)造局部濾波器，使得各子濾波器獨立并行進行時間更新和量測更新；然后基于信息融合思想，構(gòu)造全局融合性能指標，對各子濾波器的估計結(jié)果進行全局融合；最后局部濾波器得到全局濾波的反饋重置，進行下一步濾波。通過對天線罩斜率補償回路進行仿真，驗證了本文方法的有效性。

2 模型描述

2.1 天線罩誤差問題概述

在通過雷達制導的導彈中，天線罩常被裝配于導彈頭部，用來防止在大氣層穿梭過程中氣流對雷達導引頭產(chǎn)生影響。天線罩的基礎(chǔ)功能要求是有足夠的透波性，使雷達波在傳輸過程中沒有過大的損失或畸變。然而由于存在折射或彎曲效應，雷達電磁波穿過天線罩時往往會被天線罩所影響，導致導引頭指向虛假目標位置，從而產(chǎn)生天線罩瞄準誤差，如圖1 所示。

圖1 中，θΔ 為導彈天線罩瞄準誤差角，簡稱為天線罩誤差；φτ為導引頭框架角。

圖1 天線罩瞄準誤差示意圖Fig.1 Schematic diagram of aiming error of Radome

由于雷達波束穿透天線罩的位置不同，雷達 天線主瓣電軸產(chǎn)生的偏移也是不同的，所以對于不同的φτ而言，θΔ 是不同的，因此可以把天線罩誤差θΔ 看作導引頭框架角φτ的數(shù)學函數(shù)，記為

本文將導彈天線罩瞄準誤差角斜率R，定義為天線罩誤差曲線的斜率，簡稱為天線罩誤差斜率，記為

在實際工程中，天線罩誤差角θΔ 與導引頭框架角φτ呈非線性關(guān)系，然而當φτ在較小范圍變化時，可以近似地認為Δθ與φτ呈線性關(guān)系，即可將天線罩誤差斜率R近似看作常值，即

一般情況下，天線罩誤差角θΔ 保持在一個很小的范圍內(nèi)（通常在1°以內(nèi)），對導彈制導精度影響較小。但天線罩誤差斜率R的存在會引起耦合寄生回路，進而使導彈制導系統(tǒng)產(chǎn)生嚴重的穩(wěn)定性問題。

2.2 天線罩寄生回路建模

上述分析表明，天線罩的存在會影響導引頭對導彈的制導性能，圖2 給出了天線罩影響下的

圖2 天線罩影響下彈目幾何關(guān)系圖Fig.2 Projectile geometry diagram under the influence of antenna cover

導彈與目標之間的幾何關(guān)系。

圖2 中，θs為導引頭指向角，θt為真實彈目視線角，θ*為天線罩造成的虛假彈目視線角，γ為彈體姿態(tài)角，φτ為導引頭框架角，ε為導引頭指向與真實彈目視線間的誤差角，ε*為虛假彈目視線與導引頭指向的夾角。

由圖中關(guān)系可得到虛假視線目標的表達式為

由于在穩(wěn)定跟蹤的情況下，虛假彈目視線角與導引頭的實際跟蹤角只有很小的誤差，因此可認為則有

化簡后可得

由上述分析可知，在制導回路內(nèi)，由于天線罩誤差斜率的存在，彈體姿態(tài)運動被反饋至導引頭環(huán)節(jié)，因而產(chǎn)生了天線罩寄生回路。圖3 給出了在比例制導情況下的天線罩寄生回路模型。

圖3 中，Tg為制導控制系統(tǒng)時間常數(shù)，N為導航比，Vc為彈目視線速度，Vt為導彈飛行速度，Tα為角滯后時間常數(shù)，由飛行器的氣動外形決定。

圖3 天線罩寄生回路模型圖Fig.3 Radome parasitic loop model

3 “融合-重置”在線估計框架

現(xiàn)有的天線罩斜率在線估計算法通常僅使用單一濾波算法，但由于濾波模型非線性強、可觀測性差，測量誤差大，天線罩斜率范圍難以確定等，單一濾波器的估計精度往往不盡如人意。因此，如圖4 所示，本文提出了基于信息融合的融合-重置在線估計框架。

圖4 融合-重置在線估計框架Fig.4 Fusion-reset online estimation framework

首先選擇不同的子濾波器建立系統(tǒng)濾波模型，從而構(gòu)造局部濾波模塊；然后，通過子濾波器獨立進行時間更新和量測更新，得到各自的局部估計結(jié)果；接下來，通過對局部估計值的融合處理，得到給定最優(yōu)準則意義下的最優(yōu)估計值，從而提高整個系統(tǒng)的估計精度；最后將全局最優(yōu)估計值反饋給各子濾波器進行下一步濾波，這樣， 局部濾波器因為得到了較高精度的信息也提高了估計精度。

3.1 局部濾波模塊

現(xiàn)有的在線估計算法通常包括EKF 算法、UKF 算法以及IMM 算法。由于天線罩斜率估計問題的濾波模型往往是非線性的，因此本文將UKF 算法和IMM 算法選作局部濾波器算法。UKF算法能夠有效解決卡爾曼濾波在非線性條件下性能快速下降的問題，具有更高的濾波精度。而IMM 算法是一種在機動目標跟蹤領(lǐng)域的常用估計方法，其主要思想是使用多個不一樣的模型去匹配跟蹤對象的運動狀態(tài)。

3.1.1 無跡卡爾曼濾波算法

在非線性高斯系統(tǒng)中，現(xiàn)有的經(jīng)典濾波算法為EKF，它基于最小均方根誤差進行狀態(tài)估計，為了解決EKF 在強非線性系統(tǒng)中性能快速下降的問題，許海深[10]提出了UKF 算法。它具有更高的濾波精度，能夠?qū)ο到y(tǒng)狀態(tài)方差進行更精確的估計。

假設(shè)k時刻，隨機狀態(tài)變量x和觀測變量z構(gòu)成的非線性系統(tǒng)為

其中，W(k)為x具有的高斯白噪聲，V(k)為z具有的高斯白噪聲。W(k)、V(k)為互不相關(guān)的過程噪聲和測量噪聲，均為高斯白噪聲，且協(xié)方差陣分別為Q、Re。

由此，k時刻的無跡卡爾曼濾波算法如下：

（1）利用UT 變換獲得一組Sigma 采樣點，并計算出相應的權(quán)值

（2）計算2 1n+ 個Sigma 采樣點集合的一步預測值：

（3）由式(9)加權(quán)求和可得到計算系統(tǒng)狀態(tài)變量的一步預測值和估計協(xié)方差陣，狀態(tài)變量預測值與協(xié)方差陣更新公式為

（4）根據(jù)上述公式得到的系統(tǒng)狀態(tài)一步預測值，再次利用UT 變換得到更新之后的Sigma 采樣點集合

（5）將式(11)更新后的Sigma 采樣點集合代入系統(tǒng)觀測方程，得到預測的觀測值

（6）由式(12)得到的Sigma 采樣點集合的觀測預測值，通過加權(quán)求和的方式得到系統(tǒng)預測值的均值及協(xié)方差陣

（7）計算無跡卡爾曼濾波的增益矩陣

（8）最后，計算非線性系統(tǒng)的狀態(tài)量更新和狀態(tài)估計協(xié)方差陣更新

相比于EKF，UKF 有效地減少了非線性濾波的線性化誤差，提高了估計精度，但其估計性能極大程度依賴濾波模型的可觀性，對測量誤差的容忍能力不足。此外，當天線罩斜率發(fā)生劇烈變化時，單一模型往往無法準確描述該現(xiàn)象。因此，IMM 算法廣泛應用于雷達罩在線估計問題中。

3.1.2 交互多模型濾波算法

考慮到天線罩斜率難以建模且存在實時變化的問題，本文將天線罩斜率看作系統(tǒng)可變參數(shù)，對包含不同天線罩斜率的寄生回路建模，通過交互加權(quán)求和得到斜率的實時估計值。具體的IMM算法[14]如圖5 所示。

圖5 交互式多模型算法流程Fig.5 Interactive multi model algorithm flow

假定有r個模型：

其中，Wj(k)是均值為0、協(xié)方差矩陣為Qj的白噪聲序列。

測量模型為

由圖5 可知，IMM 算法主要包括4 個步驟：（1）輸入交互；（2）各模型濾波；（3）模型概率更新；（4）交互輸出。具體內(nèi)容如下：

1）輸入交互

式中

2）各模型濾波

根據(jù)輸入交互及k時刻的量測數(shù)據(jù)Zk，對各個模型進行卡爾曼濾波。

預測：

卡爾曼濾波增益：

狀態(tài)估計更新：

狀態(tài)協(xié)方差陣更新：

3）模型概率更新

模型概率更新方程為

式中

4）交互輸出

盡管IMM 算法使用多個模型去盡可能準確地描述天線罩寄生回路，使得天線罩斜率能夠快速準確地估計得到，但它的性能與模型集的選取有密切的關(guān)系。模型集不能準確描述系統(tǒng)，或選擇過多模型集，都會導致其在線估計性能的下降。

3.2 全局融合模塊

3.1 節(jié)提到的兩種濾波算法雖然能一定程度較為準確地估計天線罩斜率，但單獨使用時均有各自局限性：UKF 計算量小，具有較快估計和收斂速度，但當雷達罩斜率不可建?；蛲蝗蛔兓瘯r，UKF 的估計精度會有所下降；IMM 通過將雷達罩斜率作為系統(tǒng)變量，解決了雷達罩斜率未知且難以建模的問題，但IMM 的估計精度取決于模型集的選擇，選擇過多或過少的模型集都會影響濾波性能。

因此，本文將兩種濾波器的估計均值和協(xié)方差作為全局融合估計的先驗信息輸入融合模塊，構(gòu)造關(guān)于全局協(xié)方差的性能指標，通過最小化全局協(xié)方差得到各個子濾波器的權(quán)值，然后通過子濾波器交互加權(quán)求和得到全局估計值，最后將全局融合信息反饋至子濾波器中，對子濾波器信息進行重置，再進行下一步濾波。具體流程如圖4所示。

本文基于協(xié)方差交叉理論、逆協(xié)方差交叉理論和橢圓協(xié)方差交叉理論，分別構(gòu)造3 種全局協(xié)方差的性能指標，并求得3 種全局融合方程。

3.2.1 協(xié)方差交叉融合

Julier 和 Uhlmann[15]提出的協(xié)方差交叉（Covariance Intersection，CI）算法在相關(guān)性未知數(shù)據(jù)融合問題中已廣泛應用，本文將其應用于天線罩誤差斜率的估計。

其中，ω∈[0,1]為權(quán)值，PCI為協(xié)方差交叉融合的全局協(xié)方差， tr（·）為該矩陣的跡。對于該非線性最優(yōu)解問題，最優(yōu)解ω可以通過數(shù)值仿真求出。由此可得協(xié)方差交叉融合算法為

圖6 表明了如何通過兩個子濾波器的協(xié)方差橢圓結(jié)合得出一個新的融合協(xié)方差橢圓。顯然，采用CI 獲得的結(jié)果比任意單一傳感器濾波的精度更高，即 tr（Pi）＞ tr （PCI），但由于協(xié)方差交叉融合獲得的結(jié)果忽略了相關(guān)性，因此其融合結(jié)果具有保守性。

圖6 CI 融合后協(xié)方差橢圓變化Fig.6 Change of covariance ellipse after CI fusion

3.2.2 逆協(xié)方差交叉融合

逆協(xié)方差交叉（Inverse Covariance Intersection，ICI）算法并未采用傳統(tǒng)的擴展信息濾波器中的量測融合，而是通過融合傳感器節(jié)點的估計值從而得到更加精確的狀態(tài)估計，故逆協(xié)方差融合算法得到的結(jié)果精度高于協(xié)方差融合算法。文獻[16]證明了這一點。

根據(jù)逆協(xié)方差交叉融合理論，構(gòu)造新的性能指標：

其中，ICIP為逆協(xié)方差融合的全局協(xié)方差。

通過最小化該性能指標，可得逆協(xié)方差融合算法為

通過圖7 可以看出，當P1、P2已知時，ICI 融合器的融合精度要比CI 融合器的融合精度高。

圖7 ICI 融合后協(xié)方差橢圓變化Fig.7 Change of covariance ellipse after ICI fusion

3.2.3 橢圓交叉融合

文獻[17-18]在CI 算法上做出了改進，提出了橢圓交叉融合（Ellipse Intersection，EI）算法。橢圓交叉融合算法給出了較小保守上界，提高了融合算法的魯棒精度。橢圓交叉融合算法可寫成 如下格式：

其中，EIP為橢圓協(xié)交叉融合的全局協(xié)方差，EI?X為橢圓交叉融合的全局估計均值，γ為共有估計值，Γ為共有協(xié)方差值，1D為轉(zhuǎn)換系數(shù)，T為轉(zhuǎn)移矩陣，R?? 為近似參數(shù)，影響忽略不計。

3 種方法融合結(jié)果如圖8 所示。當P1、P2已知時，EI 的包圍圈明顯CI 與ICI。顯然，EI 的融合精度要比CI 與ICI 的融合精度高。圖8 可以得出tr（Pi） ＞tr（PCI） ＞tr（PICI） ＞tr （PEI）。

圖8 更新的協(xié)方差橢圓形狀Fig.8 Change of covariance ellipse after EI fusion

4 仿真結(jié)果及分析

為了驗證本文所提出的“融合-重置”在線估計框架是否可以有效改善對于天線罩誤差斜率的估計精度[19]，我們進行如下仿真實驗。

首先構(gòu)造如圖9 所示的天線罩誤差斜率影響下導引頭輸出視線角速度的等效模型。

圖9 天線罩誤差斜率影響導引頭輸出 視線角速度等效模型Fig.9 Equivalent model of radome error slope affecting output line of sight angular velocity of seeker

其中，tq為真實彈目視線角；tq˙為真實視線角速度；stq˙ 為真實導引頭輸出視線角速度；sq˙為

受天線罩誤差斜率影響的導引頭輸出視線角速度；假設(shè)導引頭為一階滯后環(huán)節(jié)，dT為導引頭環(huán)節(jié)時間常數(shù)；?˙為真實彈體姿態(tài)角速度，T?˙為經(jīng)過導引頭動力學的彈體姿態(tài)角速度，R為天線罩誤差斜率。

然后根據(jù)圖9，構(gòu)造濾波器的濾波模型如圖10 所示。

圖10 天線罩誤差斜率估計濾波模型Fig.10 Radome error slope estimation filtering model

針對圖9 所示的框圖，分別建立適合IMM- EKF 和UKF 算法的濾波模型。首先，選取第i個IMM-EKF 濾波器的狀態(tài)變量為量測量為輸入量為其中，uv為角速率陀螺量測噪聲，uσ為其標準差。因此，基于圖10 所示模型，第i個IMM-EKF 濾波器的狀態(tài)方程和量測方程可以表示為

wn（t）為系統(tǒng)零均值高斯白噪聲，wn(t) =[0,的功率譜密度，系統(tǒng)噪聲方差陣記為為零均值量測高斯白噪聲，標準差為，其量測噪聲方差陣記為為量測方程的已知輸入量，這里需要注意的是，由角速率陀螺測量得到的彈體姿態(tài)角速度經(jīng)過一個導引頭動力學模型得到。

其中，

其中，系統(tǒng)零均值高斯白噪聲w(t) =[0,w2(t), 0,w4(t)]T,Sw2和Sw4分別為w2(t)和w4(t)功率譜密度，系統(tǒng)噪聲方差陣記為Qk。

雖然UKF 和IMM-EKF 的濾波模型不同，但通過相同的量測值，可以得到相同物理意義下的不同的均值和協(xié)方差，為下一步信息融合奠定了基礎(chǔ)。

基于UKF 和IMM 的天線斜率子濾波模型參數(shù)如表1 所示。

表1 濾波器模型參數(shù)Table 1 Filter Model Parameters

假定導彈在飛行過程中天線罩誤差斜率R的變化范圍為 [ -0.06,0.06]，由此IMM 選取5 個離散點進行設(shè)定：

而馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣取:

假設(shè)各子濾波器的初始狀態(tài)、初始協(xié)方差均相同。將 IMM 濾波器的狀態(tài)估計初值設(shè)為 [0,0,0]T，估計誤差協(xié)方差矩陣初值設(shè)為I3×3。UKF 的狀態(tài)估計初值設(shè)為[0,0,0,0]T，估計誤差協(xié)方差陣初值設(shè)為I4×4。

取真實彈目視線角輸入qt= 1t°，即視線角速度為q˙t= 1(° )/s ，彈體作幅值3°、頻率2 Hz 的正弦擺動，分別利用UKF，IMM 以及融合-重置估計方法（fusion-CI, fusion-ICI，fusion-EI）分別對天線罩誤差斜率進行在線實時估計。

利用協(xié)方差融合方法（CI，ICI，EI）將IMM與UKF 融合，將通過IMM 方法得到的濾波器的狀態(tài)變量［X1,X2,X3］T，導引頭誤差斜率R以及對應的協(xié)方差，通過UKF 方法得到的狀態(tài)變量［X1,X2,X3,X4］T以及對應的協(xié)方差，代入3 種融合算法中，經(jīng)過運算即可得到融合后的數(shù)據(jù)。

當天線罩斜率R作常值跳變時，3 種融合-重置估計方法分別與UKF，IMM 對R的估計結(jié)果對比如圖11 所示，視線估計角速率對比如圖12所示。

圖11 5 種方法天線罩誤差斜率估計Fig.11 Five methods of radome error slope estimation

圖12 視線估計角速率Fig.12 Line of sight estimated angular rate

5 種算法的估計誤差如圖13 所示。

圖13 天線罩誤差斜率估計誤差Fig.13 Radome error slope estimation error

由圖11 可見，UKF 方法在階躍跳變時誤差較大，不能高精度跟蹤信號，而通過信息融合，有效地消除了階躍跳變時的影響，從而提高了估計精度。在3 種信息融合方法里，EI 方法的估計精度最高。

當天線罩斜率R作正弦跳變時，UKF，IMM以及融合-重置估計方法（fusion-CI，fusion-ICI，fusion-EI）對R的估計結(jié)果和視線估計角速率分別如圖14 和圖15 所示。

圖14 5 種方法天線罩誤差斜率估計Fig.14 Five methods of radome error slope estimation

圖15 視線估計角速率Fig.15 Line of sight estimated angular rate

5 種算法的估計誤差如圖16所示。

圖16 天線罩誤差斜率估計誤差Fig.16 Radome error slope estimation error

由圖14 可見，UKF 方法在正弦波峰波谷時誤差較大，不能高精度跟蹤信號，而通過信息融合有效地消除了正弦波峰波谷時的影響，從而提高了估計精度。在3 種信息融合方法里，EI 方法的估計精度最高。

通過計算均方根誤差可以得到表2。

表2 5 種算法在階躍與正弦情況下的均方根誤差Table 2 Root mean square error of five algorithms with step and sine

由表2 可以看出，基于橢圓交叉融合算法的融合-重置在線估計方法在階躍與正弦的情況下 的均方根誤差比其余4 種方法的要小，橢圓交叉融合算法在處理階躍跳變情況與正弦波峰波谷情況更具有良好的跟蹤性，綜合來看基于橢圓交叉融合算法的融合-重置在線估計方法估計精度最高。

5 結(jié) 論

本文針對雷達制導過程中的導引頭天線罩斜率在線估計問題，結(jié)合局部濾波和全局融合，創(chuàng)新性地提出了融合-重置在線估計方法。首先構(gòu)造局部濾波模塊，使得UKF 與IMM 算法獨立并行進行時間更新和量測更新，得到全局融合的先驗信息。在此基礎(chǔ)上，基于協(xié)方差交叉、橢圓交叉和逆協(xié)方差交叉3 種融合算法，分別構(gòu)造全局協(xié)方差性能指標，得到相應的最優(yōu)融合算法。最后將全局融合結(jié)果再次反饋給局部濾波模塊，完成子濾波器最優(yōu)信息的重置。通過對天線罩寄生回路的仿真實驗表明，本文所提在線估計算法比單一濾波器的估計效果更好，對天線罩誤差斜率的估計精度更高，在融合算法中，基于橢圓交叉融合算法的融合-重置在線估計方法的估計精度最高，基于逆協(xié)方差融合算法的融合-重置在線估計方法的估計精度次之，而基于協(xié)方差融合算法的融合-重置在線估計方法的估計精度最差。