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    基于開關(guān)算法的欠驅(qū)動(dòng)剛體航天器姿態(tài)控制

    2012-09-18 02:33:14朱家興孫兆偉陳長(zhǎng)春
    上海航天 2012年6期
    關(guān)鍵詞:姿態(tài)控制對(duì)稱軸角速度

    朱家興,孫兆偉,陳長(zhǎng)春

    (哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所,黑龍江 哈爾濱 150001)

    0 引言

    可靠性、安全性和有效性是航天產(chǎn)品品質(zhì)的主要指標(biāo)。對(duì)衛(wèi)星等航天器來說,一旦發(fā)射入軌便成為不可維修系統(tǒng),因此研究控制算法,保證航天器在部分執(zhí)行機(jī)構(gòu)發(fā)生故障時(shí)能全部或部分完成飛行任務(wù),是挽救損失和提高系統(tǒng)可靠性的有效途徑[1]。理論上,欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)屬于二階非完整系統(tǒng),即系統(tǒng)加速度具有不可積性。文獻(xiàn)[2]建立了二階非完整系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)與控制的理論框架,并分析了系統(tǒng)的可控性和可鎮(zhèn)定性,為欠驅(qū)動(dòng)控制領(lǐng)域的深入研究提供了基礎(chǔ)。欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)是指由控制輸入向量構(gòu)成空間的維數(shù)小于位形空間維數(shù)的系統(tǒng),即指控制輸入數(shù)小于系統(tǒng)自由度的系統(tǒng)[3]。欠驅(qū)動(dòng)航天器,是指姿態(tài)控制系統(tǒng)中的執(zhí)行機(jī)構(gòu)是非完整配置的航天器,即執(zhí)行機(jī)構(gòu)不能提供三軸獨(dú)立的控制力矩[4]。由于研制、發(fā)射等費(fèi)用巨大和幾乎不可維修的特點(diǎn),當(dāng)部分執(zhí)行機(jī)構(gòu)發(fā)生故障時(shí),設(shè)計(jì)者希望航天器控制系統(tǒng)仍具有令人滿意的性能。欠驅(qū)動(dòng)控制可為此提供一種備份技術(shù),欠驅(qū)動(dòng)航天器姿態(tài)控制的研究對(duì)提高整個(gè)控制系統(tǒng)的可靠性、延長(zhǎng)航天器的使用壽命,具有重要的意義。

    目前,欠驅(qū)動(dòng)航天器的姿態(tài)控制已成為研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[5]的研究表明,采用角動(dòng)量交換裝置作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的航天器,在系統(tǒng)總角動(dòng)量不為零條件下,當(dāng)控制輸入的個(gè)數(shù)小于3時(shí),系統(tǒng)將不可控;文獻(xiàn)[6]認(rèn)為僅有兩個(gè)控制輸入的剛體航天器,因不滿足文獻(xiàn)[7]的Brockett必要條件,不能由光滑狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)控制。文獻(xiàn)[8]針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)軸是否為對(duì)稱軸,通過開關(guān)控制,分別提出非連續(xù)的反饋控制策略。文獻(xiàn)[9、10]基于(w,z)參數(shù),在欠驅(qū)動(dòng)軸為對(duì)稱軸和欠驅(qū)動(dòng)軸初始角速度為零的假設(shè)條件下,設(shè)計(jì)了非連續(xù)反饋控制律,實(shí)現(xiàn)了欠驅(qū)動(dòng)航天器姿態(tài)的漸近穩(wěn)定。

    本文利用開關(guān)算法,通過在不同控制律間的切換,研究了航天器姿態(tài)角速度和姿態(tài)角的欠驅(qū)動(dòng)控制律設(shè)計(jì)。

    1 剛體航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型

    1.1 姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程

    根據(jù)Euler方程,剛體航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程可表示為

    式中:Ii(i=1,2,3)為航天器的主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ωi為航天器相對(duì)慣性空間的角速度矢量在星體固聯(lián)坐標(biāo)系中的分量;Mi為外力矩矢量在星體固聯(lián)坐標(biāo)系中的分量。假設(shè)M3=0,即第三軸為欠驅(qū)動(dòng)軸,則成立

    式中:uj(j=1,2)為控制量,且uj=Mj/Ij;α1,α2,α3為與航天器主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的常數(shù),且α1=(I2-I3)/I1,α2=(I3-I1)/I2,α3=(I1-I2)/I3。

    1.2 姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

    根據(jù)歐拉有限轉(zhuǎn)動(dòng)定理,將參考坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)3次即可得星體固聯(lián)坐標(biāo)系,3次轉(zhuǎn)過的歐拉角分別為滾動(dòng)角φ,俯仰角θ,偏航角ψ,如圖1所示。

    圖1 3-2-1順序歐拉角Fig.1 Eulerian angles sequence 3-2-1

    歐拉角(3-2-1順序)參數(shù)描述的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為:

    2 欠驅(qū)動(dòng)航天器姿態(tài)穩(wěn)定控制

    針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)軸是否為慣性對(duì)稱軸,利用開關(guān)算法和退步控制技術(shù),本文設(shè)計(jì)了實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)航天器姿態(tài)漸近穩(wěn)定的控制律。剛體航天器的欠驅(qū)動(dòng)控制較難處理的是對(duì)失控軸角速度的控制,因此本文先對(duì)姿態(tài)角速度進(jìn)行穩(wěn)定控制,再對(duì)姿態(tài)角進(jìn)行穩(wěn)定控制。

    退步控制是一種基于李雅普諾夫穩(wěn)定理論的控制器遞推設(shè)計(jì)方法,一般用于控制量與被控量間存在一個(gè)或多個(gè)積分器的非線性系統(tǒng)[11]。退步控制設(shè)計(jì)過程如下:將一子系統(tǒng)(假設(shè)該子系統(tǒng)中不含直接控制量)中的其他狀態(tài)變量視作“虛擬控制量”,按李雅普諾夫設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)“中間控制律”,使該子系統(tǒng)的狀態(tài)實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)定;引入誤差變量,利用直接控制量設(shè)計(jì)誤差系統(tǒng),使真實(shí)狀態(tài)變量與“虛擬控制量”間具有某種漸近特性,從而得到最終的退步控制律,實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)的漸近鎮(zhèn)定或跟蹤。

    設(shè)計(jì)欠驅(qū)動(dòng)控制律需要用兩個(gè)函數(shù)。對(duì)雙積分系統(tǒng)

    用退步控制算法,函數(shù)

    具有性質(zhì):在控制律u=f(x1,x2,β)作用下,可使雙積分系統(tǒng)式(4)由任意初始狀態(tài)到達(dá)最終狀態(tài)(β,0)。此處:x1,x2分別為姿態(tài)角和姿態(tài)角速度;k1,k2,α均為大于0的控制參數(shù);β為任意常數(shù)。不失一般性,令β=0,利用李雅普諾夫定理分析系統(tǒng),可得

    在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。取李雅普諾夫函數(shù)

    則有

    因V(x)正定,-V(x)半負(fù)定,故系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。進(jìn)一步分析可知,-V(x)=0所包含的最大不變集中僅有1個(gè)點(diǎn)(x1,x2)=(0,0),由LaSalle不變集定理可知,系統(tǒng)的狀態(tài)最終會(huì)收斂至原點(diǎn),即系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。

    設(shè)[ω10ω20ω30φ0θ0ψ0]為描述航天器全局運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài),取控制目標(biāo)為

    2.1 姿態(tài)角速度穩(wěn)定控制律設(shè)計(jì)

    當(dāng)欠驅(qū)動(dòng)軸為非對(duì)稱軸,即I1≠I2時(shí),可通過姿態(tài)動(dòng)力學(xué)之間的耦合進(jìn)行三軸姿態(tài)角速度的控制。通過3次姿態(tài)機(jī)動(dòng),即可實(shí)現(xiàn)姿態(tài)角速度的穩(wěn)定控制。

    考慮欠驅(qū)動(dòng)軸為非對(duì)稱軸的航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程可表示為

    機(jī)動(dòng)1:執(zhí)行反饋控制律

    式中:k3為大于0的控制參數(shù);上標(biāo)表示控制律的切換次數(shù)。在此控制律作用下,ω1,ω2,很快衰減為零,且當(dāng)ω1=ω2=0時(shí),將有ω3=(常數(shù))。此處:ω3為繞欠驅(qū)動(dòng)軸旋轉(zhuǎn)的自旋角速度。

    機(jī)動(dòng)2:執(zhí)行反饋控制律

    機(jī)動(dòng)3:執(zhí)行反饋控制律

    在此控制律作用下,經(jīng)過有限時(shí)間t=/k3,將再次有ω1=ω2=0,積分可得,此時(shí)ω3=0,即系統(tǒng)的姿態(tài)角速度收斂至狀態(tài)[ω1ω2ω3]=[0 0 0]。

    至此,實(shí)現(xiàn)了欠驅(qū)動(dòng)剛體航天器姿態(tài)角速度的穩(wěn)定控制。

    2.2 姿態(tài)角穩(wěn)定控制律設(shè)計(jì)

    在姿態(tài)角速度收斂的基礎(chǔ)上,利用函數(shù)f(x1,x2,β),根據(jù)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,每次只利用1個(gè)控制力矩,通過改變姿態(tài)角速度ω1,ω2,進(jìn)而改變一個(gè)姿態(tài)角,5次機(jī)動(dòng)后,即可實(shí)現(xiàn)姿態(tài)角穩(wěn)定控制。

    考慮姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

    機(jī)動(dòng)4:執(zhí)行反饋控制律

    直至φ=0,ω=0,即系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移至

    該次機(jī)動(dòng)僅用到控制力矩u1。前4次機(jī)動(dòng)后,有。

    機(jī)動(dòng)5:執(zhí)行反饋控制律

    直至θ=0,ω2=0,即系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移至

    該次機(jī)動(dòng)僅用控制力矩u2。在前5次機(jī)動(dòng)的基礎(chǔ)上,再次有。

    機(jī)動(dòng)6:執(zhí)行反饋控制律

    直至φ=0.5π,ω1=0,即系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移至

    該次機(jī)動(dòng)僅用到控制力矩u21。在前6次機(jī)動(dòng)的基礎(chǔ)上,將有。

    機(jī)動(dòng)7:執(zhí)行反饋控制律

    直至ψ=0,ω2=0,即系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移至

    該次機(jī)動(dòng)僅用到控制力矩u2。在7次機(jī)動(dòng)的基礎(chǔ)上,又有。

    機(jī)動(dòng)8:執(zhí)行反饋控制律

    直至φ=0,ω1=0,即系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移到了目標(biāo)狀態(tài)

    根據(jù)精度要求決定是否重新執(zhí)行機(jī)動(dòng)1。由此實(shí)現(xiàn)了欠驅(qū)動(dòng)航天器姿態(tài)漸近穩(wěn)定控制。

    2.3 欠驅(qū)動(dòng)軸為對(duì)稱軸的航天器姿態(tài)穩(wěn)定

    當(dāng)欠驅(qū)動(dòng)軸為對(duì)稱軸,即I1=I2時(shí),姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程式(2)變?yōu)?/p>

    可知ω3恒為常值,且不可控。此時(shí)若假設(shè)ω3(0)=0,可得簡(jiǎn)化模型。文獻(xiàn)[6]證明簡(jiǎn)化模型在任意平衡點(diǎn)是“短時(shí)間局部可控的”,從而可進(jìn)行非連續(xù)控制律設(shè)計(jì)。

    此時(shí),只需經(jīng)過6次機(jī)動(dòng)即可實(shí)現(xiàn)軸對(duì)稱欠驅(qū)動(dòng)剛體航天器的姿態(tài)控制,其分析過程同欠驅(qū)動(dòng)軸為非對(duì)稱軸情況類似。

    3 仿真

    3.1 非軸對(duì)稱欠驅(qū)動(dòng)航天器姿態(tài)控制

    采用控制律式(11)~(13)、(15)~(19)對(duì)系統(tǒng)式(10)、(14)進(jìn)行穩(wěn)定。取控制參數(shù)k1=k2=0.25,α=0.8,k3=0.7;轉(zhuǎn)動(dòng)慣量常數(shù)α1=α2=-1,α3=-0.42857;姿態(tài)角速度的初值為ω(0)=[0.05-0.04-0.03]rad/s,姿態(tài)角初值為φ0=π/3,θ0=π/6,ψ0=π/4,仿真結(jié)果如圖2~4所示。

    由仿真結(jié)果可知:在t=20s左右時(shí),姿態(tài)角速度收斂至零附近;在t=50s左右時(shí),控制律式(15)作用,滾動(dòng)角φ收斂至零;在t=75s左右時(shí),控制律式(16)作用,俯仰角θ收斂至零;在t=125s左右時(shí),控制律式(17)作用,滾動(dòng)角φ收斂至π/2;在t=155s左右時(shí),控制律式(18)作用,偏航角ψ收斂至零;在t=225s左右時(shí),控制律式(19)作用,滾動(dòng)角φ再次收斂至零;在t=350s左右時(shí),姿態(tài)角速度和姿態(tài)角均收斂至零附近,姿態(tài)角的控制精度達(dá)到5×10-2(°),驗(yàn)證了本文控制律的有效性。

    圖2 姿態(tài)角速度Fig.2 Attitude angular velocity

    圖3 姿態(tài)角Fig.3 Attitude angle

    圖4 控制輸入Fig.4 Control input

    3.2 軸對(duì)稱欠驅(qū)動(dòng)航天器姿態(tài)控制

    采用控制律式(11)、(15)~(19)對(duì)系統(tǒng)式(20)、(14)進(jìn)行穩(wěn)定。取控制參數(shù)k1=k2=0.2,α=0.5,k3=0.5;慣量常數(shù)α1=-0.2,α2=0.2;姿態(tài)角速度初值ω(0)=[0.001 2-0.001 25]rad/s,姿態(tài)角初值φ0=π/2,θ0=π/4,ψ0=π/2,仿真結(jié)果 如 圖5~7。

    圖5 姿態(tài)角速度Fig.5 Attitude angular velocity

    圖6 姿態(tài)角Fig.6 Attitude angle

    圖7 控制輸入Fig.7 Control input

    由仿真結(jié)果可知:在t=40s左右時(shí),控制律式(15)作用,滾動(dòng)角φ收斂至零;在t=100s左右時(shí),控制律式(16)作用,俯仰角θ收斂至零;在t=150s左右時(shí),控制律式(17)作用,滾動(dòng)角φ收斂至π/2;在t=230s左右時(shí),控制律式(18)作用,偏航角ψ收斂至零;在t=200s左右時(shí),控制律式(19)作用,滾動(dòng)角φ再次收斂至零;在t=500s左右時(shí),姿態(tài)角速度和姿態(tài)角均收斂至零附近,姿態(tài)角的控制精度達(dá)到5×10-3(°),驗(yàn)證了本文控制律的有效性。

    4 結(jié)束語

    本文對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)只能提供兩軸獨(dú)立控制力矩的欠驅(qū)動(dòng)航天器的姿態(tài)控制進(jìn)行了研究。利用開關(guān)算法和退步控制技術(shù),通過在不同控制律間的切換,分別設(shè)計(jì)了姿態(tài)角速度穩(wěn)定和姿態(tài)角穩(wěn)定的控制律,實(shí)現(xiàn)了欠驅(qū)動(dòng)剛體航天器姿態(tài)漸近穩(wěn)定控制律的設(shè)計(jì)。數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了該控制律的有效性,以及良好的動(dòng)態(tài)過程和控制精度。本文控制律的優(yōu)點(diǎn)是可在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)航天器姿態(tài)漸近穩(wěn)定,缺點(diǎn)主要是因采用不同控制律間的切換實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制,魯棒性較差,對(duì)存在干擾和慣量積非零情況也需進(jìn)一步研究。

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