基于誤差原理的瞬時單位線法參數(shù)敏感性研究

周 斌

（汕尾市水利水電規(guī)劃設(shè)計院，廣東 汕尾，516600）

1945年C.O.Clark提出了瞬時單位線的概念，1957年J.E.Nash推導出瞬時單位線的數(shù)學方程[1]。瞬時單位線法計算設(shè)計洪水也是我國計算暴雨洪水的一種主要方法，在我國天津、河北、黑龍江等省市得到了廣泛應(yīng)用[2]。20世紀80年代水電部全國暴雨洪水辦公室組織編制暴雨圖集，諸多省份相繼率定了瞬時單位線法的參數(shù)，大大推動了瞬時單位線法的廣泛應(yīng)用；21世紀初，全國暴雨洪水辦公室又組織對暴雨圖集進行修訂，部分省份的瞬時單位線法參數(shù)又在更長資料系列的基礎(chǔ)上重新率定，使計算精度進一步得到了提高[3]。

為進一步提高瞬時單位線法的計算精度，有學者研究了瞬時單位線匯流參數(shù)n、K的率定和優(yōu)化[4-7]，還有部分學者提出了變雨強的瞬時單位線法[8-10]以及變時段的瞬時單位線法[11]。采用暴雨計算設(shè)計洪水時，需要先確定地理參數(shù)、產(chǎn)匯流參數(shù)和暴雨參數(shù)等基礎(chǔ)參數(shù)，這些基礎(chǔ)參數(shù)往往存在一定的誤差，對暴雨洪水的成果精度產(chǎn)生了一定的影響；推理公式法和瞬時單位線法是常見的兩種暴雨洪水計算方法，其中推理公式法的基本參數(shù)誤差影響已有部分研究成果[12，13]。瞬時單位線峰值發(fā)生時間為（n-1）·K，具有急漲緩降的特性[3]。雖然瞬時單位線的相關(guān)性質(zhì)已被廣泛了解，但瞬時單位線與凈雨過程組合后形成了暴雨洪水計算的瞬時單位法基本方程更加繁瑣，使得基本參數(shù)誤差分析更趨復雜。采用多元函數(shù)泰勒公式展開瞬時單位線法方程，可得到各參數(shù)的誤差傳播方程，初步得到瞬時單位線法各參數(shù)對地面徑流過程成果的誤差影響，有助于影響洪水成果精度的高敏感性參數(shù)的篩選，指引這些高敏感性參數(shù)的復核率定，以期提高洪水計算精度，促進瞬時單位線法的進一步改進和發(fā)展。

1 瞬時單位線法計算洪水的基本公式

瞬時單位線是指當輸入均勻分布的單位瞬時脈沖雨量（地面凈雨）時，經(jīng)過n個線性串聯(lián)水庫的調(diào)蓄作用，在流域出口斷面形成的地面徑流過程。瞬時單位線的計算公式[1]為：

式中：n、K為參數(shù)；Γ為伽瑪函數(shù)；t為時間。

瞬時單位線可轉(zhuǎn)換為時段為△t的無因次時段單位線，任一時刻時段單位線的公式[1]為：

對于任意時刻t，瞬時單位線法出口斷面的地面徑流[1]為：

式中：F為流域面積；hi為第i時段的地面凈雨量，hi=Hi-μi；Hi為第 i時段的暴雨量，μi為第 i時段的下滲量。

影響瞬時單位線洪水成果的要素主要有流域面積F、暴雨量H、下滲量μ以及瞬時單位線參數(shù)n、K，以下分別對此5個要素進行討論。

2 敏感性分析

2.1 誤差傳遞基本方程

根據(jù)（3）式，有 Q（t）=f（F，H，μ，n，K），采用多元函數(shù)的一階泰勒公式展開，略去高階微量，有：

式中：ξQ為地表徑流量的相對誤差；ξF為流域面積的相對誤差；ξH為暴雨量的相對誤差；ξμ為下滲量的相對誤差；ξn為瞬時單位線參數(shù)n的相對誤差；ξK為K瞬時單位線參數(shù)的相對誤差。

（4）式中給出了統(tǒng)一的各基礎(chǔ)參數(shù)相對誤差傳播方程，為便于討論，以下僅討論單一基礎(chǔ)參數(shù)相對誤差對地表徑流量的相對誤差的影響效果。

2.2 F的敏感性

據(jù)（4）式，若流域面積 F 存在相對誤差 ξF，按（3）式計算洪水流量時將產(chǎn)生相應(yīng)的相對計算誤差ξQ，有：

2.3 H的敏感性

若任意時段暴雨量Hi存在相同的相對誤差ξH，計算得到洪水流量時將產(chǎn)生相應(yīng)的相對計算誤差ξQ，有：

2.4 μ的敏感性

若任意時段暴雨量μi存在相同的相對誤差ξμ，計算得到洪水流量時將產(chǎn)生相應(yīng)的相對計算誤差ξQ，有：

2.5 n的敏感性

若瞬時單位線參數(shù)n存在相同的相對誤差ξμ，計算得到洪水流量時將產(chǎn)生相應(yīng)的相對計算誤差ξQ，有：

2.6 K的敏感性

3 瞬時單位線參數(shù)n、K對洪峰發(fā)生時間的影響

4 算例

湘西南地區(qū)肖山溪以上流域，F(xiàn)=16.5km2，L=5.99km，J=0.0471；該流域百年一遇洪水，暴雨過程和凈雨過程見表1；采用瞬時單位線計算洪水，取n0=1.246、K0=1.484[14]。

表1 各參數(shù)對肖山溪地面徑流過程的敏感性分析

采用五節(jié)點分段累積的Guass—Legendre求積公式[15]求解各參數(shù)誤差方程中的積分項，并忽略凈雨發(fā)生前時段的影響，根據(jù)以及（3）式、（8）式、（9）式、（13）式和（16）式計算，得到各參數(shù)對地面徑流過程的相對誤差敏感性，見表1。另取參數(shù)n、K各縮放10%，采用（3）式計算地面徑流過程及相對誤差敏感性，見表2。為進一步驗證參數(shù)n、K的對洪水過程的影響，采用（3）式計算參數(shù)n、K縮放幅度較大時的洪水過程，見表3。

表2 參數(shù)n、K對肖山溪地面徑流過程的敏感性分析

表3 參數(shù)n、K不同取值時計算的肖山溪地面徑流過程

續(xù)表3 參數(shù)n、K不同取值時計算的肖山溪地面徑流過程

從表1可見，暴雨的相對誤差傳播敏感性最高，下滲量的影響則相對較??；從表2可見，隨著參數(shù)n、K的加大，會使得起漲段更為平瘦，峰值減小，洪水回落期更偏豐滿；對比表1和表2可見，根據(jù)地面徑流過程計算的參數(shù)n、K敏感性與（13）式和（16）式計算成果出入不大。另外，從表2和表3可見，隨著參數(shù)n、K的加大，雖然洪峰發(fā)生時間略有后移的趨勢，但這種趨勢不顯著。

5 結(jié)語

計算暴雨洪水的瞬時單位線法在我國應(yīng)用較廣，該方法的地理參數(shù)、產(chǎn)匯流參數(shù)和暴雨參數(shù)等原始參數(shù)往往存在一定的誤差，受其影響地面徑流成果也存在相應(yīng)的誤差。利用多元泰勒公式可推導出各主要參數(shù)相對誤差產(chǎn)生的地面徑流過程誤差影響公式，結(jié)合典型計算實例表明：暴雨的相對誤差傳播敏感性較高，具有一定的放大作用；流域面積的相對誤差會導致地面徑流過程等量的相對誤差；下滲量的相對誤差傳播敏感性總體相對較小，局部仍有可能較大；參數(shù)n、K的加大，會使得地面徑流峰值減小，上漲段更為平瘦、回落段更為豐滿，并存在不顯著的峰值發(fā)生時間后移趨勢。