從屬于葉形區(qū)域星象函數(shù)類的優(yōu)化性質(zhì)

由向平, 湯 獲, 馬麗娜

(赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

1 引言與基本定義

單復(fù)變幾何函數(shù)論中星象函數(shù)優(yōu)化性質(zhì)的研究最早始于MacGregor[1], 之后, 對由不同(非)線性算子刻畫的單(多)葉函數(shù)類和亞純函數(shù)類優(yōu)化問題的研究得到廣泛關(guān)注[2-17]. 但上述研究優(yōu)化結(jié)果均基于算子的等價(jià)關(guān)系. 最近, Tang等[18-20]在未強(qiáng)加任何算子的條件下研究了與正、余弦函數(shù)有關(guān)的解析函數(shù)的優(yōu)化性質(zhì), 從而使優(yōu)化問題的研究得到進(jìn)一步發(fā)展. 但關(guān)于葉形區(qū)域解析函數(shù)優(yōu)化問題的研究目前報(bào)道較少. 基于此, 本文主要考慮從屬于葉形區(qū)域星象函數(shù)類的優(yōu)化性質(zhì).

(1)

其中:n∈={1,2,…};m∈0={0}∪; 算子Dn:為S?l?gean算子[4], 定義為

注1在定義1中, 如果選取不同的參數(shù)值m,n, 則可得如下函數(shù)子類:

如圖1所示;

圖1 函數(shù)的圖像

圖2 函數(shù)的圖像

由于綜合效率=純技術(shù)效率*規(guī)模效率，所以，可以把導(dǎo)致醫(yī)養(yǎng)結(jié)合養(yǎng)老服務(wù)投入產(chǎn)出效率低的原因分為兩種：一是規(guī)模效率低，即養(yǎng)老服務(wù)的供給結(jié)構(gòu)不合理，二是純技術(shù)效率較低，即養(yǎng)老服務(wù)機(jī)構(gòu)的資源利用率不高，導(dǎo)致投入要素沒有得到最有效的使用。因此，需要進(jìn)一步分析導(dǎo)致9個(gè)DEA無效的機(jī)構(gòu)醫(yī)養(yǎng)結(jié)合養(yǎng)老服務(wù)效率低的原因。

2 主要結(jié)果

則對|z|≤r1, 可得|Dm+1f(z)|≤|Dm+1g(z)|, 其中r1=r1(n)(n∈)為下列方程的最小正根:

(3r-r3)n-(1-r2)n(1+rn)=0.

(2)

證明: 因?yàn)間∈Lm,n, 故利用從屬關(guān)系和式(1), 易得

(3)

(4)

的解析函數(shù)族[21].

結(jié)合式(3)和式(4), 可得

(5)

由于Dmf(z) ?Dmg(z), 故由優(yōu)化定義可知

Dmf(z)=φ(z)Dmg(z).

(6)

對式(6)兩邊關(guān)于z求導(dǎo), 再乘以z得

Dm+1f(z)=zφ′(z)Dmg(z)+φ(z)Dm+1g(z).

(7)

(8)

將式(5)和式(8)代入式(7), 可得

(9)

若設(shè)|z|=r, |φ(z)|=ρ(0≤ρ≤1), 則式(9)即化為

|Dm+1f(z)|≤Φ1(r,ρ)|Dm+1g(z)|,

其中

為了確定r1, 可取

其中

易見, 取ρ=1, 則Ψ1(r,ρ)可取到最小值, 即有

min{Ψ1(r,ρ):ρ∈[0,1]}=Ψ1(r,1)=ψ1(r),

其中

又因?yàn)棣?(r)在(0,1)上連續(xù), 且

ψ1(0)=1>0,ψ1(1)=-2<0,

故存在r1, 使得當(dāng)r∈[0,r1]時(shí), 有ψ1(r)≥0, 這里r1=r1(n)為方程(2)的最小正根. 證畢.

根據(jù)定理1及注1, 可得下述推論.

|Dm+1f(z)|≤|Dm+1g(z)| (|z|≤r4),

這里r4是如下方程的最小正根:

6r7+r6-24r5-3r4+26r3+3r2-1=0.

(11)