從“三個理解”角度談學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)

張森焱

數(shù)學(xué)教學(xué)的“三個理解”即：理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué).“理解數(shù)學(xué)”是提高數(shù)學(xué)課堂效率的前提，只有理解所教內(nèi)容“是什么”，教師只有清楚地知道要“教什么”，才能確定教學(xué)目標(biāo)，才有可能在數(shù)學(xué)課堂中予以表達(dá);“理解學(xué)生”是實(shí)現(xiàn)課堂有效教學(xué)的基礎(chǔ).“以人為本，以學(xué)生成長為中心”的教育理念已根植于教師的心靈，“傳統(tǒng)的教師中心”“教科書中心”的課堂正在走向“以學(xué)生為本”“以學(xué)定教”的“生長課堂”。

一、理解數(shù)學(xué)，通過一個概念數(shù)學(xué)化的過程來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。解決數(shù)學(xué)問題只有先抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，才能更好地制定出解決問題的策略。教師在日常教學(xué)中如何將一個數(shù)學(xué)概念進(jìn)行數(shù)學(xué)化來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，筆者以《三角函數(shù)的周期性》這節(jié)課概念的構(gòu)建進(jìn)行說明。

1.情境引入。古詩“離離原上草，一歲一枯榮。野火燒不盡，春風(fēng)吹又生。遠(yuǎn)芳侵古道，晴翠接荒城。又送王孫去，萋萋滿別情?！?/p>

一周期性就是現(xiàn)實(shí)生活中一些現(xiàn)象的數(shù)學(xué)表達(dá)，詩中“一歲一枯榮”、“春風(fēng)吹有生”體現(xiàn)了生活中一些周而復(fù)始的現(xiàn)象。數(shù)學(xué)與詩歌的的聯(lián)系在于意境，詩歌的引入能為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)增加活力，形象生動的表達(dá)數(shù)學(xué)現(xiàn)象，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)概念。

2.學(xué)生活動。問題1：在自然界，在我們生活中有很多現(xiàn)象，是過了一段時間又重復(fù)出現(xiàn)的，你能找到類似的生活實(shí)例嗎？

課堂要與生活實(shí)際結(jié)合在一起，問題1的設(shè)置讓學(xué)生體驗(yàn)了數(shù)學(xué)來源于生活的現(xiàn)實(shí)世界。問題1的提出，讓學(xué)生很快就能聯(lián)系到我們生活中常見的現(xiàn)象，如：一周七天、一年四季、秒針在鐘面上的位置、十二生肖、天干地支、鐘擺等等。這些我們生活中常見的生活現(xiàn)象都是過了一段時間都重復(fù)出現(xiàn)的。問題2：數(shù)學(xué)是自然規(guī)律的高度概括與抽象，你能用數(shù)學(xué)的語言說說這些現(xiàn)象的規(guī)律嗎？問題2是將問題1中的自然現(xiàn)象用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行科學(xué)的概括，也正體現(xiàn)了史寧中教授所說“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”。借助于必修1中所講的函數(shù)的概念，我們可以將一周七天表示為f（x）=f（x+7）;一年四季表示為f（x）=f（x+4）;秒針在鐘面上位置表示為f（x）=f（x+60）;十二生肖表示為f（x）=f（x+12）……問題3：面對這一系列的現(xiàn)象，大家能否提出一個概念（或者模型）來刻畫這些現(xiàn)象嗎？（找共性）通過問題1、2、3的層層引入，我們順其自然地引入了函數(shù)周期性的概念即：對于函數(shù)f（x），如果存在一個非零的常數(shù)T，對于定義域中的每一個x，都有f（x）=f（x+T），那么函數(shù)y=f（x）為周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。

二、理解學(xué)生，設(shè)置“最近發(fā)展區(qū)”來培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。什么是一節(jié)好課？筆者以為一節(jié)好課就是要使所有設(shè)置的問題在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。教師只有弄清學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和已有的知識經(jīng)驗(yàn)才能做到有的放矢，才能充分發(fā)揮學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中的主體地位。如何尋找學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)？筆者認(rèn)為可以從以下兩方面入手：（1）將課堂數(shù)學(xué)知識與學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來;（2）將當(dāng)前要學(xué)知識與學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來。筆者在進(jìn)行高三數(shù)學(xué)教學(xué)時曾遇到這樣一個填空題：已知CD為△ABC的角平分線，且AD=2，BD=1。當(dāng)△ABC面積最大時，cosC=_____________。

這道題很多學(xué)生在處理的時候找不到合適的方法。表面上看起來這是一個關(guān)于三角函數(shù)以及解三角形的問題，很多學(xué)生按照這樣一個解題思路走進(jìn)了一個解題的誤區(qū)。此時教師可以先引出兩道學(xué)生常見的題目：1.課本原題（必修2第112頁習(xí)題2.2第12題）：已知點(diǎn)M（x，y）與兩個定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離之比為1/2，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？畫出滿足條件的點(diǎn)M所構(gòu)成的曲線。2.（2008高考江蘇卷第13題）滿足條件AB=2，AC=? ? ?的三角形的面積的最大值為_________。

以這兩道常見的題型，找到學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的“生長點(diǎn)”。通過回顧這兩道常見的例題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)原例題中隱含著“阿波羅尼斯圓”。

三、理解教學(xué)，以數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)“問題串”來培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。1.數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的落實(shí)。在研究《曲線上一點(diǎn)處切線》這節(jié)內(nèi)容時，筆者先引入了劉徽“割圓術(shù)”這樣一個文化故事。割圓術(shù)：是以“圓內(nèi)接正多邊形的面積”，來無限逼近“圓面積”。“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣?！惫P者以這樣的一個文化故事引入，讓學(xué)生對“無限逼近”“以直代曲”有了初步的認(rèn)識，并激發(fā)了學(xué)生愛國熱情和民族自豪感。2.“問題驅(qū)動”在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的開展。問題1：在下面三個坐標(biāo)系中分別畫出y=x+1，y=-x+1，y=x2的圖像;

（1）說出這三個圖像自左向右的變化規(guī)律;

（2）能用圖象上動點(diǎn)P（x，y）的橫、縱坐標(biāo)關(guān)系來說明上升或者下降趨勢嗎？

問題2：你能否用一個數(shù)學(xué)模型來對問題1、2、3進(jìn)行歸納總結(jié)？

數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)意識去分析和解決實(shí)際問題能力的重要載體。因而，教師要注意結(jié)合教材和學(xué)生知識結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)問題串，以問題驅(qū)動思維，教師適時進(jìn)行點(diǎn)撥，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。通過一系列層層遞進(jìn)的問題驅(qū)動，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入到相應(yīng)的問題情境，聯(lián)想相關(guān)的概念、定理、公式，建立合適的數(shù)學(xué)模型，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。

（作者單位：江蘇省梁豐高級中學(xué)）