貝塞爾光束的干涉本質(zhì)和實(shí)現(xiàn)教學(xué)探討

張明輝，李勁松

(安徽大學(xué)，安徽 合肥 230601)

早在1978年，J.Durnin[1,2]首次提出的無(wú)衍射光束概念(即貝塞爾光束)在物理學(xué)界掀起了一股科學(xué)的熱潮。時(shí)至今日，貝塞爾光束不僅在非線性光學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)和原子物理學(xué)中具有重要的學(xué)術(shù)價(jià)值，而且在激光通信、激光加工和制造、激光成像、激光雷達(dá)等工程應(yīng)用領(lǐng)域亦具有重要的應(yīng)用價(jià)值[3]。然而從干涉本質(zhì)而言，傳統(tǒng)的教材和文獻(xiàn)[4,5]對(duì)于這種光束干涉成因敘述很少。為此，本文通過(guò)對(duì)雙棱鏡光場(chǎng)的思考引入對(duì)貝塞爾光場(chǎng)形成物理機(jī)制的討論，在此基礎(chǔ)上闡述產(chǎn)生該光束的實(shí)驗(yàn)裝置的物理依據(jù)，結(jié)合詳細(xì)的數(shù)值模擬，對(duì)此干涉機(jī)制給出了科學(xué)的闡述。希望通過(guò)本文的探索研究為貝塞爾光束在基礎(chǔ)物理教學(xué)方法和科學(xué)研究方面提供一定的有益參考。

1 貝塞爾光束的解

貝塞爾光束波動(dòng)方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(1)

在自由空間，其具有一個(gè)形為

(2)

的解，其中

(3)

場(chǎng)函數(shù)為(2)描述的光場(chǎng)有一個(gè)違背衍射常識(shí)的性質(zhì)：它在傳播的過(guò)程中并不發(fā)散，“無(wú)衍射光束”就此得名。后來(lái)發(fā)現(xiàn)(2)的解析表達(dá)式含有貝塞爾函數(shù)，因此這種光束也被稱為“貝塞爾光束”。

貝塞爾光束因迥異于其他光束的共性，而從它被發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在，一直受到學(xué)界和應(yīng)用界的關(guān)注[6,7]，一些教材已經(jīng)把它收錄為教學(xué)的內(nèi)容[5,8]。然而它的不發(fā)散性質(zhì)背后的物理，以及產(chǎn)生它的實(shí)驗(yàn)裝置的依據(jù)，在教學(xué)過(guò)程中并未詳細(xì)說(shuō)明。這兩個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)對(duì)雙棱鏡光場(chǎng)的思考來(lái)引入，啟發(fā)學(xué)生得到準(zhǔn)確的回答，通過(guò)這一過(guò)程可以加深對(duì)內(nèi)容的理解和掌握。

2 雙棱鏡光場(chǎng)的干涉解

圖1 雙棱鏡光場(chǎng)示意圖

I(r)=|U1(r)+U2(r)|2

(4)

其中位置矢向量

r={x,y,z}

(5)

表示空間任意位置，場(chǎng)向量U1和U2分別代表圖中兩束傾斜的光場(chǎng)。設(shè)波矢分別為k1、k2，那么

U1(r)=exp{j(k1r-ωt)},U2(r)=exp{j(k2r-ωt)}

(6)

(6)中的

(7)

將(5)-(7)帶入(4)，可得歸一化光場(chǎng)強(qiáng)度為

(8)

從(8)可以看出，在圖1所示的光束交疊區(qū)，光場(chǎng)強(qiáng)度是沿y方向分布的，周期為

(9)

的干涉條紋。圖2為雙棱鏡在半空間z>0的光場(chǎng)的強(qiáng)度分布，其中(a)雙棱鏡光場(chǎng)在主平面yOz內(nèi)的強(qiáng)度分布,(b)-(d)主平面內(nèi)kz=0,10,30時(shí)的強(qiáng)度分布剖面圖。

圖2 (a)雙棱鏡光場(chǎng)在主平面yOz內(nèi)的強(qiáng)度分, (b)-(d)主平面內(nèi)kz=0,5,10時(shí)的強(qiáng)度分布剖面圖

如果把圖1中的雙棱鏡替換為相同橫截面的角錐棱鏡，其后光場(chǎng)強(qiáng)度將變成什么樣的分布？主平面yOz內(nèi)還是上述干涉條紋嗎？對(duì)這個(gè)問(wèn)題的思考已涉及貝塞爾光束的物理實(shí)質(zhì)和實(shí)現(xiàn)裝置的設(shè)計(jì)。

3 貝塞爾光束的物理

觀察場(chǎng)函數(shù)(2)，一旦賦予其中的

(10)

它[(2)式]實(shí)際上是一個(gè)被積表達(dá)式為

dU(θ)=[A(θ)dθ]exp[j(kr-ωt)]

(11)

的積分，其中

(12)

(11)的復(fù)振幅部分與(6)是同構(gòu)的，也就是說(shuō)dU(θ)是一束振幅為[A(θ)dθ]，沿著波矢為(12)式方向傳播的平面波，方位角為θ，天頂角為φ。至此，結(jié)合3對(duì)雙棱鏡光場(chǎng)的干涉理解，場(chǎng)函數(shù)(2)的物理圖像變得清晰起來(lái)：它是具有相同天頂角角φ，在方位角θ上權(quán)重為[A(θ)dθ]的一系列平面波的干涉場(chǎng)。

上述物理結(jié)合思考3留下的思考，可以著手設(shè)計(jì)產(chǎn)生這種光束的實(shí)驗(yàn)裝置，并用數(shù)值的方法驗(yàn)證這種光束的不發(fā)散性質(zhì)。

4 實(shí)現(xiàn)貝塞爾光束的實(shí)驗(yàn)裝置

由第4節(jié)中分析的物理可以知道，需要制備一系列具有相同天頂角φ、等權(quán)重方位角θ的平面波，并實(shí)現(xiàn)他們的相干疊加，疊加后的干涉場(chǎng)即為貝塞爾光束。第3節(jié)留下的問(wèn)題已提示實(shí)現(xiàn)的手段——只需設(shè)計(jì)一透鏡，使得透射的平行光被折射成具有上述特性的平行光簇。第3節(jié)中雙棱鏡的作用是把一束入射的平行光分解為兩束傾斜傳播的平行光，其后的重疊區(qū)即為干涉場(chǎng)區(qū)。受此啟發(fā)，一個(gè)最容易想到的實(shí)驗(yàn)裝置是把圖1中的雙棱鏡替換為相同橫截面的角錐棱鏡，這樣當(dāng)一束平行光入射時(shí)，它可以分解為沿方位角0≤θ<2π方向等權(quán)重的一系列具有相同天頂角φ平面波簇，其后的半空間z>0即為平面波簇的干涉區(qū)域。

此外，還可以設(shè)計(jì)一環(huán)狀的相干光源[如圖3b]，把它放置在垂直于傳播方向普通透鏡的物方焦平面上，這樣光源上位于任一θ處的點(diǎn)，均可視作一個(gè)點(diǎn)光源，它所發(fā)出的光場(chǎng)經(jīng)透鏡折射后，在像方半空間z>0形成方位角0≤θ<2π的具有相同天頂角φ=arctan(R/f)的平面波的疊加場(chǎng)。它的實(shí)現(xiàn)方式可按照?qǐng)D3b設(shè)計(jì)，使用平行光束照射擺放在物方焦平面上的圓環(huán)形的透光屏，透鏡的像方即為所需要的干涉場(chǎng)。

圖3 產(chǎn)生貝塞爾光束的一種裝置

5 數(shù)值驗(yàn)證

把(5)改寫(xiě)為r={ρ,z}，其中ρ=(x,y)為徑向坐標(biāo)，與(12)一同代入(11)，求積分得

(13)

其歸一化光場(chǎng)強(qiáng)度是

(14)

可見(jiàn)用上述裝置產(chǎn)生的光場(chǎng)，其強(qiáng)度I(ρ,z)只與徑向坐標(biāo)的模有關(guān)，而與傳播距離無(wú)關(guān)。結(jié)合貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)，從(14)可以看出，如果令

(15)

其中2.408近似為貝塞爾函數(shù)J0(x)的第一個(gè)零點(diǎn)，得到

(16)

可視作光束的半徑；如果令

(17)

π近似為塞爾函數(shù)J0(x)的第k個(gè)零點(diǎn)(k≥2)，得到

(18)

可視作光束的邊帶寬度。圖4是根據(jù)(14)模擬的橫截面yOx強(qiáng)度分布，圖5(a)是光場(chǎng)在主平面yOz內(nèi)的強(qiáng)度分布，(b)-(d)是主平面內(nèi)kz=0,10,30時(shí)的強(qiáng)度分布剖面圖。對(duì)照該圖可以看出裝置后方的束狀光場(chǎng)確實(shí)沒(méi)有發(fā)散。

圖4 裝置[圖3]產(chǎn)生的光場(chǎng)在垂直于 z的橫截面yOx內(nèi)的強(qiáng)度分布

圖5 (a)裝置[圖3]產(chǎn)生的光場(chǎng)在主平面yOz內(nèi)的強(qiáng)度分布, (b)-(d)主平面內(nèi)kz=0,10,30時(shí)的強(qiáng)度分布剖面圖

7 結(jié) 論

結(jié)合無(wú)衍射光束的積分表達(dá)式，從雙棱鏡光場(chǎng)的干涉機(jī)理為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生理解無(wú)衍射光束由干涉實(shí)質(zhì)形成的實(shí)質(zhì)，同時(shí)理解產(chǎn)生這種光束的裝置的設(shè)計(jì)原理。角錐光束是近年來(lái)學(xué)術(shù)界和應(yīng)用界的研究熱點(diǎn)[6,7]，本文的工作將有助于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)這種新型光束的理解和掌握，便于他們對(duì)這一領(lǐng)域進(jìn)行研究和跟蹤，同時(shí)為基礎(chǔ)物理教學(xué)老師在講解該知識(shí)點(diǎn)時(shí)，提供一定的理論參考。