基于固端彎矩相等原則的等效荷載法

黃 歡， 唐貴和， 李文雄*， 葉云青

(1.華南農(nóng)業(yè)大學(xué)水利與土木工程學(xué)院， 廣州 510642； 2.廣州瀚華建筑設(shè)計(jì)有限公司， 廣州 510655)

結(jié)構(gòu)力學(xué)中的計(jì)算方法眾多，龍馭球[1]在《結(jié)構(gòu)力學(xué)方法論的哲思回望》中站在哲學(xué)的角度對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)中的各種主流方法進(jìn)行了深刻的剖析，其中位移法被認(rèn)為是結(jié)構(gòu)力學(xué)中重要方法之一。在線彈性范圍內(nèi)，一定的外因作用下，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與變形之間具有固定的關(guān)系，也可以認(rèn)為確定的內(nèi)力總是和確定的位移相對(duì)應(yīng)[2]，它便是建立位移法的基礎(chǔ)。位移法通過(guò)建立單跨超靜定梁的桿端力與桿端位移之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)超靜定結(jié)構(gòu)的求解。在位移法的基礎(chǔ)上，為了避免求解聯(lián)立方程組，進(jìn)一步發(fā)展了力矩分配法，為工程試算提供了便捷的計(jì)算手段。在當(dāng)下計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)達(dá)的情況下，依然不乏從結(jié)構(gòu)力學(xué)概念出發(fā)去解決實(shí)際工程問(wèn)題的案例[3-5]。

實(shí)際上，無(wú)論是位移法還是力矩分配法，幾乎都繞不開(kāi)對(duì)固端彎矩的計(jì)算。俞瑞榮[6]以力法為基礎(chǔ)，通過(guò)簡(jiǎn)支梁彎矩圖的面積及其形心推求了等截面單跨梁固端彎矩的一般公式。孫曄青[7]采用力法研究了一端固定、一端定向支承的斜梁的轉(zhuǎn)角位移方程和兩端固端彎矩。樊友景等[8]在研究有側(cè)移斜桿時(shí)基于荷載等效變換的思想研究了斜桿在簡(jiǎn)單的常規(guī)荷載下的固端彎矩。羅雙等[9]利用虛功原理推導(dǎo)并建立了混凝土結(jié)構(gòu)正負(fù)受彎區(qū)剛度不同情況下的單跨連續(xù)梁的固端彎矩和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度系數(shù)。固端彎矩可為后續(xù)的力學(xué)分析提供便利。

在力學(xué)分析中，為了避免求解方程組，力矩分配法作為在位移法基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種漸進(jìn)算法，得益于其概念清晰，易于掌握，且適合手算。它的計(jì)算過(guò)程分為兩步，首先是確定各單跨超靜定梁的固端彎矩，然后是通過(guò)力矩分配和傳遞實(shí)現(xiàn)內(nèi)力調(diào)整，最終得到結(jié)構(gòu)的內(nèi)力結(jié)果。對(duì)于常見(jiàn)的跨內(nèi)集中荷載或均布荷載的情況，可直接利用位移法中的載常數(shù)表確定其固端彎矩[10]。然而，對(duì)于無(wú)法直接利用載常數(shù)表確定其固端彎矩的復(fù)雜荷載情況，通常需要借助線性疊加法的方法，將多荷載作用下梁的固端彎矩表示為多個(gè)單荷載作用下的固端彎矩疊加的形式。此外，對(duì)于一些三角形分布荷載，在位移法的載常數(shù)表中雖有羅列與歸納，但不易被人們記憶，導(dǎo)致其在力矩分配法使用上的不便。

在實(shí)際工程問(wèn)題中，對(duì)稱(chēng)集中荷載和三角形分布荷載是常見(jiàn)的形式。若能通過(guò)等效荷載代替這些常見(jiàn)的荷載形式，直接獲得其固端彎矩，便能建立一種比線性疊加法具有更高效率和實(shí)用性的計(jì)算方法。本文基于固端彎矩相等原則，即利用單跨超靜定梁在等效荷載和原荷載作用下固端彎矩保持一致的條件，推導(dǎo)在對(duì)稱(chēng)集中荷載、三角形分布荷載和任意荷載作用下的等效荷載施加方法，進(jìn)而結(jié)合載常數(shù)表直接算得單跨超靜定梁的固端彎矩，為力矩分配法及其他的力學(xué)分析提供一個(gè)便捷的思路。最后通過(guò)連續(xù)多跨梁和框架結(jié)構(gòu)驗(yàn)證了所提方法的可行性。

1 靜定結(jié)構(gòu)中的荷載等效變換

在靜定結(jié)構(gòu)受力問(wèn)題中，荷載等效變換是指采用將一種原荷載變換為另一種等效的荷載[2, 11-12]。荷載等效變換應(yīng)滿(mǎn)足以下兩點(diǎn)：一是原荷載與等效荷載的主矢應(yīng)相同；二是原荷載與等效荷載對(duì)同一點(diǎn)之矩應(yīng)相等。圖1(a)為對(duì)稱(chēng)集中荷載F作用下長(zhǎng)度為l的簡(jiǎn)支梁，其中左側(cè)荷載F作用點(diǎn)C與左側(cè)支座A的距離為a，右側(cè)荷載F作用點(diǎn)D與右側(cè)支座B的距離為a。圖1(b)中的荷載即為圖1(a)中對(duì)稱(chēng)荷載的靜力等效荷載，并分別繪制出梁在原荷載和靜力等效荷載作用下的彎矩圖。

從圖1可知，除CD段之外，梁在原對(duì)稱(chēng)荷載和等效荷載作用下的彎矩圖是完全一致的。這實(shí)際上是靜定結(jié)構(gòu)的重要特性，即當(dāng)作用在靜定結(jié)構(gòu)的某一幾何不變部分的荷載在該部分范圍作等效變換時(shí)，只有該區(qū)域的內(nèi)力發(fā)生變化，而其余區(qū)域的內(nèi)力保持不變[2，12]。

圖1 簡(jiǎn)支梁受對(duì)稱(chēng)荷載及等效荷載情況下的彎矩Fig.1 The bending moment diagrams of a simple supported beam subjected to the symmetrical loads and the equivalent load

2 單跨超靜定梁的荷載等效變換

超靜定結(jié)構(gòu)的等效荷載變換規(guī)律并不一定與靜定結(jié)構(gòu)相同，需根據(jù)具體問(wèn)題進(jìn)行分析。以對(duì)稱(chēng)集中荷載作用下的單跨超靜定梁為研究對(duì)象，探討等效荷載的施加方法。圖2為受兩個(gè)對(duì)稱(chēng)分布的集中荷載的等截面單跨梁，桿長(zhǎng)為l，左邊的集中荷載F與梁左支座的距離為a，與右支座的距離為b，右邊的集中荷載F與之對(duì)稱(chēng)。

可根據(jù)線彈性體系的疊加原理確定梁的固端彎矩。首先，將該受力體系分解為兩個(gè)只受單一集中荷載F的體系，如圖2(b)和圖2(c)所示。然后根據(jù)位移法中的載常數(shù)(表1)[10]算得圖2(b)和圖2(c)兩種加載條件下梁的左右兩端的固端彎端彎矩，最后通過(guò)疊加得到圖2(a)中梁的固端彎矩和彎矩圖，其中固端彎矩為

(1)

(2)

式中：MAB和MBA分別為單跨超靜定梁A端和B端的固端彎矩。

上述即為利用疊加原理的求解過(guò)程。下面介紹本文提出的基于等效荷載的求解方法，即以梁在等效荷載和原荷載作用下固端彎矩保持一致的原則建立的等效荷載法。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，此處采用單一集中荷載Fe作為等效荷載(圖3)，代替圖2中的對(duì)稱(chēng)荷載F。

根據(jù)表1可計(jì)算出圖3單跨超靜定梁兩端的固端彎矩，即

(3)

圖2 單跨超靜定梁受對(duì)稱(chēng)荷載作用Fig.2 A single-span indeterminate beam under symmetric loads

表1 單跨超靜定梁的載常數(shù)

圖3 單跨超靜定梁受等效荷載作用受力圖Fig.3 Force diagram of a single-span indeterminate beam under equivalent load

(4)

于是得

(5)

則等效荷載為

(6)

式(6)即為所求的等效荷載。最后根據(jù)表1得到固端力并繪制出圖2(a)和圖3荷載作用下的彎矩圖，如圖4所示?？梢钥闯?，單跨超靜定梁在等效荷載作用下，只有端部截面的彎矩和原體系是等效的，其他截面的彎矩已經(jīng)失真，主要原因在于等效荷載是基于固端彎矩相等的原則建立的。顯然，直接基于等效荷載求對(duì)稱(chēng)荷載作用下單跨超靜定梁的固端彎矩更為便捷。

圖4 單跨超靜定梁在原對(duì)稱(chēng)荷載和等效荷載作用的彎矩圖Fig.4 The bending moment diagram of a single-span indeterminate beam under the original symmetrical loads and the equivalent load

接下來(lái)，考察上述單跨超靜定梁的實(shí)際荷載和等效荷載之間的關(guān)系，可得

(7)

考慮到a+b=l，則有

0≤Fe≤2F

(8)

即等效荷載Fe應(yīng)在閉區(qū)間[0, 2F]上取值。

將b=l-a代入式(6)并整理后可得

(9)

因?yàn)閍∈[0,l/2]，所以Fe在此區(qū)間具有單調(diào)性。當(dāng)對(duì)稱(chēng)荷載F分別作用在支座A和支座B時(shí)，F(xiàn)e=0；當(dāng)對(duì)稱(chēng)荷載F作用在跨中時(shí)，F(xiàn)e=2F，且為Fe的最大值。顯而易見(jiàn)，只有當(dāng)對(duì)稱(chēng)荷載F作用在跨中時(shí)，等效荷載才會(huì)與原荷載具有相同的合力且對(duì)同一點(diǎn)產(chǎn)生相同的力矩。

綜上可知，對(duì)于單跨超靜定梁而言，基于梁端固端彎矩相等的原則進(jìn)行荷載等效變換，通常只能保證在等效荷載作用下的固端彎矩是準(zhǔn)確的，無(wú)法確保其他截面也得到準(zhǔn)確的彎矩。但由于梁端彎矩已經(jīng)確定，因此可進(jìn)一步基于實(shí)際荷載(疊加上實(shí)際荷載作用下簡(jiǎn)支梁的彎矩圖)方便地得到梁中彎矩的實(shí)際分布?；诠潭藦澗氐刃У脑瓌t可得到單跨超靜定梁在不規(guī)則荷載或?qū)ΨQ(chēng)荷載情況下的等效荷載，為快速獲得梁端固端彎矩提供了一種可行的途徑。表2為若干單跨超靜定梁在對(duì)稱(chēng)集中荷載和三角形分布荷載作用下的等效荷載圖及等效荷載值。

3 單跨超靜定梁在任意集中荷載下的等效變換

重點(diǎn)介紹對(duì)稱(chēng)集中荷載作用下單跨超靜定梁等效荷載的計(jì)算。由此可推而廣至一般的荷載情況，如多個(gè)任意集中荷載作用于單跨梁的情況。下面對(duì)其進(jìn)行相關(guān)研究，圖5為受任意集中荷載作用的單跨超靜定梁，根據(jù)疊加原理可得該梁的固端彎矩為

(10)

式(10)中：Fi為圖5中第i個(gè)荷載；ai和bi分別為荷載Fi距離左端A點(diǎn)和右端B點(diǎn)的距離，i=1,2,…,n。

將bi=l-ai代入式(10)并整理得

(11)

同樣地，也可得B端的固端彎矩為

(12)

梁的等效荷載如圖6所示，設(shè)Fe為等效荷載的數(shù)值，ae和be分別為等效荷載作用點(diǎn)與A、B端的距離，等效荷載圖中的梁端固端彎矩分別為

表2 非常規(guī)荷載作用下單跨超靜定梁的等效荷載

(13)

(14)

取式(14)中兩個(gè)方程的比值，可得

(15)

將ae和be代入式(14)中的第一個(gè)方程，可得等效荷載為

(16)

式(16)即為所求單跨超靜定梁在任意集中荷載作用下的等效荷載。

推導(dǎo)式(14)～式(16)時(shí)僅考慮了兩端固結(jié)的情況，對(duì)于一端固結(jié)一端鉸支的情況，確定等效荷載更為容易，因?yàn)橹恍枰獫M(mǎn)足一端固端彎矩即可，不再對(duì)此進(jìn)行推導(dǎo)。針對(duì)任意的分布荷載，也可按照上述思路并利用積分確定等效荷載圖。在實(shí)際工程問(wèn)題中，作用在單跨梁上的集中荷載往往具有一定的規(guī)律，如對(duì)稱(chēng)、等值等特點(diǎn)，因此，式(16)還可以進(jìn)一步進(jìn)行簡(jiǎn)化，使其實(shí)用化。

圖5 多個(gè)任意集中荷載作用下單跨靜定梁受力圖Fig.5 Force diagram of a single-span indeterminate beam under more arbitrary external loads

4 算例分析

算例1多跨連續(xù)梁如圖7所示，該梁各段抗彎剛度EI為一常數(shù)，其中E、I分別為彈性模量和截面慣性矩，試用力矩分配法求該梁的彎矩圖。

1、2、3、4和5為梁上的5個(gè)結(jié)點(diǎn)編號(hào)圖7 多跨超靜定梁受力圖Fig.7 Force diagram of a multi-span indeterminate beam

(3)進(jìn)行力矩分配與傳遞，如圖8所示。

(4)繪制彎矩圖：當(dāng)桿端彎矩確定的前提下，考慮實(shí)際荷載的作用，采用疊加原理即可繪制最終的彎矩圖(圖9)。需要特別注意的是，由于12桿和45桿上作用的是三角形分布荷載，彎矩圖在此區(qū)域以三次曲線變化，在繪制時(shí)需要找到簡(jiǎn)支梁?jiǎn)为?dú)在三角形分布荷載作用下的彎矩的駐點(diǎn)位置及彎矩值，這樣繪制出的彎矩圖更為準(zhǔn)確。

(5)校核：為了檢驗(yàn)結(jié)果的正確性，采用有限元軟件Sap2000對(duì)本算例進(jìn)行建模分析，計(jì)算結(jié)果如圖10所示?？梢?jiàn)，圖9和圖10的彎矩圖吻合較好，驗(yàn)證了結(jié)果的正確性。

M為彎矩圖8 彎矩的分配與傳遞Fig.8 Processes of moment distribution and carryover

圖9 多跨超靜定梁彎矩圖Fig.9 Bending moment diagram of the multi-span indeterminate beam

圖10 Sap2000的計(jì)算模型彎矩圖Fig.10 Bending moment diagram of the multi-span indeterminate beam in Sap2000

算例2某兩層一榀兩跨的框架結(jié)構(gòu)如圖11所示，梁構(gòu)件的截面尺寸均為0.5 m×0.25 m，柱構(gòu)件的截面尺寸均為0.5 m×0.5 m，材料的彈性模量E=2.49×107kN/m2。

采用所提出的等效荷載法，將編號(hào)為⑤和⑨梁上的對(duì)稱(chēng)荷載轉(zhuǎn)換為一個(gè)跨中的集中荷載8Fab/l2=15 kN(表2)，如圖12所示。為敘述方便起見(jiàn)，將荷載轉(zhuǎn)換前的受力情況稱(chēng)為工況1，將荷載等效轉(zhuǎn)換后的情況稱(chēng)為工況2，分別采用Sap2000進(jìn)行計(jì)算，并繪制出彎矩圖，如圖13所示?？梢钥闯觯司幪?hào)⑤和⑨梁上跨中部分的彎矩不同外，其他各構(gòu)件的彎矩并不受影響，因此在獲得梁端彎矩的情況下再根據(jù)⑤和⑨號(hào)梁上的實(shí)際荷載繪制出其真實(shí)彎矩即可，其他內(nèi)力可根據(jù)實(shí)際受力平衡確定。本算例再次驗(yàn)證了所提方法的正確性和可行性。

①～⑩為該框架中對(duì)應(yīng)構(gòu)件的編號(hào)，其中在編號(hào)為⑤和⑨的 梁上分別作用一對(duì)稱(chēng)荷載10 kN，忽略梁和柱的自重圖11 框架結(jié)構(gòu)受力圖Fig.11 Force diagram of a frame structure

①～⑩為該框架中對(duì)應(yīng)構(gòu)件的編號(hào)圖12 框架結(jié)構(gòu)等效荷載圖Fig.12 Equivalent force diagram of a frame structure

圖13 工況2的框架彎矩圖Fig.13 Bending moment diagram of the frame structure for case 2

5 結(jié)論

提出了超靜定梁的等效荷載解法。以對(duì)稱(chēng)集中荷載和三角形分布荷載作用下的單跨超靜定梁為例，推導(dǎo)了等效荷載變換公式及其特點(diǎn)。進(jìn)一步探討了任意多集中荷載作用下單跨超靜定梁的等效荷載確定方法。采用等效荷載可直接獲得固端彎矩，為其在力矩分配法及其他力學(xué)分析中的應(yīng)用提供了便利，且不失為一種有效的解題方法。算例表明所提方法的可行性和便捷性。